N選修4系列(文科)

N選修4系列N1選修4-1幾何證明選講22.N1[2012?遼寧卷]如圖1—8,。O和。0’相交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn)，連結(jié)DB并延長(zhǎng)交。0于點(diǎn)E，證明：(1)AC?BD=AD?AB；(2)AC=AE.圖1—822.證明：⑴由AC與。0’相切于A，得ZCAB=ZADB,同理/ACB=ZDAB,所以△ACB-△DAB從而AC=霖,ADBD即AC?BD=AD?AB.(2)由AD與。0相切于A，得ZAED=ZBAD,又/ADE=ZBDA,得△EADs^ABD.從而AEADAB=BD，即AE?BD=AD?AB.結(jié)合(1)的結(jié)論，得AC=AE.22.N1[2012.課標(biāo)全國(guó)卷]如圖1—5,D,E分別為△ABC邊AB,AC的中點(diǎn)，直線DE交^ABC的外接圓于F,G兩點(diǎn).若CF//AB，證明：(1)CD=BC；(2心BCDs△GBD.圖1-522.證明：（1）因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，所以DEyBC.又已知CFyAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF二BD=AD.而CF||AD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD=AF.因?yàn)镃FyAB，所以BC=AF，故CD=BC.(2)因?yàn)镕GyBC，故GB=CF.由（1）可知BD=CF，所以GB=BD.而nDGB=nEFC=zDBC，故△BCD八GBD.12.N1［2012?全國(guó)卷］正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AE=BF=1.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（）A.8B.6C.4D.312.B［解析］本小題主要考查反射原理及三角形相似知識(shí)的應(yīng)用，解題的突破口為確定反射后點(diǎn)P的位置.結(jié)合點(diǎn)E、F的位置進(jìn)行作圖推理，利用反射過(guò)程中平行直線及相似三角形作圖可得點(diǎn)P回到E點(diǎn)時(shí)與正方形的邊碰撞次數(shù)為6次，故選B.15.N1［2012?廣東卷］（幾何證明選講選做題）如圖1—3所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B,D是弦AC上的點(diǎn)，/PBA=ZDBA.若AD=m,AC=n，則AB=.箕圖1—315.-..mn［解析］本題考查弦切角定理以及三角形相似知識(shí)，解決本題的突破口是利用弦切角定理得到nPBA=nACB，再利用三角形相似求出.因?yàn)镻B是圓的切線，所以nPBA二nACB.又因?yàn)閚PBA=nDBA,所以nDBA=nACB.又因?yàn)閚A=nA,所以△ABD-△ACB,所以ABAD77；二言，所以AB2二ADXAC=mn，所以AB二、Jmn.ACAB '21A.N1［2012?江蘇卷］如圖1—7,AB是圓O的直徑，D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使BD=DC,連結(jié)AC,AE,DE.求證：NE=ZC.寸圖1—721A.證明：如圖，連結(jié)OD,因?yàn)锽D=DC,O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DyAC，于是nODB二nC.因?yàn)镺B二OD，所以nODB=nB.于是nB=nC.因?yàn)辄c(diǎn)A,E,B,D都在圓O上，且D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以nE和nB為同弧所對(duì)的圓周角，故nE二nB.所以nE=nC.15B.N1［2012?陜西卷］如圖1—6,在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E,EF±DB，垂足為F,若AB=6,AE=1,則DF?DB=圖1圖1—615B：5［解析］本題考查了射影定理的知識(shí)，解題的突破口是找出直角三角形內(nèi)的射影定理.連接AD，在R8ABD中，DE1AB，所以DE2=AEXEB=5，在R8EBD中，EF±DB，所以DE2=DFXDB=5.13.N1［2012?天津卷］如圖1—3所示，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F,AF=3,FB=1,EF=2，則線段CD的長(zhǎng)為 .圖1圖1—3413.3［解析］由相交弦的性質(zhì)可得AFXFB=EFXFC，-FC=——CEFAFX-FC=——CEFACFCAF3 8又?「FC||BD,-AD=BD==AB=4，即BD=3，由切割線定理得BD2=DAXDC=4DC2，解之得DC=3.N2選修4-2矩陣21B.N2［2012^江蘇卷］已知矩陣A的逆矩陣A-121B.N2［2012^江蘇卷］已知矩陣A的逆矩陣A-1=1L21—2，求矩陣A的特征值.21B.解：因?yàn)锳-1A=E所以A=(A-1)-1.因?yàn)锳-1=所以A=(A-1)-1=[2-3于是矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(丸)=-2令fA)=0，解得A的特征值A(chǔ)1=-1，A2=4.2的最小正周期是cos2的最小正周期是cosx3.C3、N2[2012.上海卷]函數(shù)f(x)= 43.n［解析］考查二階矩陣和三角函數(shù)的值域，以矩陣為載體，實(shí)為考查三角函數(shù)的性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡(jiǎn)．f(x)=sinxcosx+2=2sin2x+2，由三角函數(shù)周期公式得，T=目=n.N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程.N3［2012.遼寧卷］在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2+y2=4,圓C2：（x—2）2+y2=4.（1）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓C1,C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1,C2的交點(diǎn)坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示）；（2）求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程..解：⑴圓C1的極坐標(biāo)方程為p=2,圓C2的極坐標(biāo)方程為p=4cos3."二2， n解］ 得p=2,3二±3,p=4cos3故圓c1與圓c2交點(diǎn)的坐標(biāo)為。，n）,（2,-n）.注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一．（2）（解法一）Ix=pcos3, _ _由］i3得圓c1與c2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（1,V3）,（1,-布.%二1,廠L故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為j -小WtW小.〔y二t,fx=1, _（或參數(shù)方程寫(xiě)成j -幣WyWV3）、y二y,（解法二）在直角坐標(biāo)系下求得弦c1c2的方程為x=1（-，J3WyW“、/3）.Ix=pcos3,將x=1代入］ 得pcos3=1,、y二psin3從而p二cb.x=1,于是圓c1與c2的公共弦的參數(shù)方程為1 3n n-3W3W3.x2coss,23.N3［2012?課標(biāo)全國(guó)卷］已知曲線C1的參數(shù)方程是〔y二玄畝；（s為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是p=2,正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A,B,C,D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,3）.⑴求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求IPAl2+lPBl2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.23.解：(1)由已知可得/nc.CA12cos3,251113),

工 6n.nA 。一n?B(2cos舊+引,2sm|^j+]JJ,C(2cos(j+nJ,2sin(j+n)),D(^2cos(j+3n^,2sin(j+32^),即4(1,，,3),B(-\”,1),C(-1,-\''3),D(市,-1).(2)設(shè)P(2cos(p,3sinq)，令S=IPA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,則S=16cos2P+36sin2p+16=32+20sin2P.因?yàn)?Wsin2PW1,所以S的取值范圍是［32,52］.4)，圓心為直線21C.N3［2012.江蘇卷］在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（、22,psin（e—§=—乎與極軸的交點(diǎn)，求圓4)，圓心為直線21C.解：在psin(e-§=-芋中令e=0，得p=1,所以圓C的圓心坐標(biāo)為（1,0）.因?yàn)閳Ac經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（啦,n）,所以圓c的半徑pc=l\J'（\；2）2+12-2X1X22cos4=1,于是圓C過(guò)極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cose.10.N3［2012.湖南卷］在極坐標(biāo)系中，曲線C1：p（?、：■2cose+sin3）=1與曲線C2：p=a（a>0）的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a= .10.W［解析］本題考查直線與圓的極坐標(biāo)方程，具體的解題思路和過(guò)程：把直線與圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)代入圓方程求解.直線方程為:;,2x直線方程為:;,2x+y-1=0乎,0）代入得（與2+02=a2與％軸的交點(diǎn)為度又a>0，所以a=-22.，0），圓的方程為X2+y2=a2,把交點(diǎn)［易錯(cuò)點(diǎn)］本題易錯(cuò)一：不會(huì)轉(zhuǎn)化，無(wú)法把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；易錯(cuò)二：直線與圓的交點(diǎn)實(shí)為直線與X軸的交點(diǎn)，如果不會(huì)轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致計(jì)算加大，多走彎路.x=1y=一電2t（t（t為參數(shù)），則曲線蟲(chóng)tx=1y=一電2t（t（t為參數(shù)），則曲線蟲(chóng)t2tIx=A^cose( nA<C2的參數(shù)方程分別為j=/sine(e為參數(shù)，0WeW2J和C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2,1）［解析］利用方程思想解決，C1化為一般方程為：x2+y2=5,C2化為直角坐y=x-1,標(biāo)方程為：y=x-1,聯(lián)立方程組得：j2 2=5即x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.又由C1中e的取值范圍可知，交點(diǎn)在第一象限，所以交點(diǎn)為（2,1）.C.N3［2012?陜西卷］直線2pcose=1與圓p=2cose相交的弦長(zhǎng)為.15C:、巧［解析］本題考查了極坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)，解題的突破口為把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).由2pcose=1得2%二1①，由p=2cose得p2=2pcos6，即％2+y2=2%②，聯(lián)立①②得y=士乎，所以弦長(zhǎng)為"''3.N4選修4-5不等式選講15A.N4［2012?陜西卷］若存在實(shí)數(shù)％使1%—a1+1%—1W3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.15.A：—2WaW4［解析］本題考查了不等式解法的相關(guān)知識(shí)，解題的突破口是理解不等式的幾何意義J%-a|+%-1|<3表示的幾何意義是在數(shù)軸上一點(diǎn)%到1的距離與到a的距離之和小于或等于3個(gè)單位長(zhǎng)度此時(shí)我們可以以1為原點(diǎn)找離此點(diǎn)小于或等于3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)即為a的取值范圍，不難發(fā)現(xiàn)-2WaW4.24.N4［2012-遼寧卷］已知f%)=1a%+11(a￡R),不等式f(%)W3的解集為{%|—2W%W1}.(1)求a的值；(2)若f%)—“|<k恒成立，求k的取值范圍.24.解：(1)由Ia%+1K3得-4Wa%W2.又f(%)W3的解集為{%I-2W%W1},所以當(dāng)aW0時(shí)，不合題意.當(dāng)a>0時(shí)，-4W%意，得aaa=2.1, %<-1,(2)記h(%)=f(%)-2/%，則h(%)= -4%-3，-1<%<-2，.1%三-11，412，所以|h(%)W1,因此k三1.21D.N4［2012-江蘇卷］已知實(shí)數(shù)%,y滿足：II%+yI<1,I2%—yI<6,求證：IIy1<焉21D.證明：因?yàn)?IyI=I3yI=I2(%+y)-(2%-y)IW2II%+yI+I2%-yI,由題設(shè)知I%+yI<3,I2%-yI<6，從而3IIyI<|+6=5，所以IIyI<.24.N4［2012-課標(biāo)全國(guó)卷］已知函數(shù)f(%)=I%+aI+I%—2I.(1)當(dāng)a=—3時(shí)，求不等式f(%)三3的解集；(2)若f(%)WI%—4I的解集包含［1,2］,求a的取值范圍.-2%+5,%W2,24.解:(1)當(dāng)a=-3時(shí)，f(%)=|1,2<%<3,2%-5,%三3.當(dāng)%W2時(shí)，由f(%)三3得-2%+5三3，解得%W1;當(dāng)2<%<3時(shí)，f(%)三3無(wú)解；當(dāng)%三3時(shí)，由f(%)三3得2%-5三3，解得%