非線性控制系統(tǒng)的分析

非線性控制系統(tǒng)的分析第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四9.1典型非線性特性及其對系統(tǒng)性能的影響與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)具有如下特點：（1）非線性系統(tǒng)不適用疊加原理，輸出與輸入間不存在線性比例關系。（2）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結構和參數(shù)有關，而且還和輸入信號與初值的大?。ǔ跏计睿┯嘘P。例如小初始偏差時穩(wěn)定的系統(tǒng)，大偏差時就可能不穩(wěn)定。（3）自振：所謂自振，是在沒有外施信號作用時，非線性系統(tǒng)產生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定振蕩現(xiàn)象；而線性系統(tǒng)的等幅振蕩則只是系統(tǒng)的一種臨界穩(wěn)定狀態(tài)，只要系統(tǒng)的參數(shù)稍有變化，這種臨界等幅振蕩就會趨于發(fā)散或者變?yōu)槭諗俊Ｒ簿褪钦f，線性系統(tǒng)的這種等幅振蕩是暫時性的，而非線性系統(tǒng)的自振則是穩(wěn)定的、頑固的。（4）跳躍諧振與多值響應：當輸入信號的頻率由小到大和由大到小變化時，非線性系統(tǒng)的幅頻值可能出現(xiàn)突跳式的不連續(xù)現(xiàn)象，即所謂跳躍諧振與多值響應，如圖9.1-1所示。（5）組合頻率響應：當輸入某正弦信號時，非線性系統(tǒng)的輸出一般都是由輸入正弦的各次諧波（組合頻率）分量所組成的非正弦周期函數(shù)，具有組合頻率響應的特點。第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四1）

飽和特性（9.1-1）

圖9.1-1跳躍諧振與多值響應圖9.1-2飽和特性及其等效變增益第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四

2）死區(qū)特性所謂死區(qū)也叫不靈敏區(qū)，系指輸入信號偏小時，死區(qū)特性元件沒有輸出，僅當輸入增加到某個值以上時，該元件才有輸出。死區(qū)特性及其等效變增益特性如圖9.1-3a.、b.所示。死區(qū)特性對系統(tǒng)產生的主要影響有：①使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大、定位精度降低；②當系統(tǒng)的輸入信號為斜坡等函數(shù)時，還會引起系統(tǒng)輸出在時間上的滯后；③小信號時，死區(qū)特性的等效增益

k很小，能提高小起始偏差情況下的系統(tǒng)穩(wěn)定性；④等效增益會減小系統(tǒng)的總開環(huán)增益，可提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性，降低動態(tài)振蕩傾向；⑤死區(qū)能濾掉從輸入端引入的小幅值干擾信號，從而提高系統(tǒng)對小擾動的抗干擾能力。圖9.1-3死區(qū)特性及其等效變增益特性第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四3）間隙特性在機械傳動中，為了保證齒輪在傳動中轉動靈活、防止發(fā)生齒輪嚙合卡死現(xiàn)象，齒輪之間總是留有一定的間隙。由于間隙的存在，當主動輪的運動方向改變時，主動輪需要轉過與從動輪之間的間隙行程后，才能推動從動輪轉動。齒輪傳動及其間隙特性如圖9.1-4所示。系統(tǒng)中若有間隙特性元件，不僅會使系統(tǒng)的輸出產生相位滯后，導致系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的減小，使動態(tài)性能惡化，容易產生自振；而且間隙區(qū)會降低定位精度、增大系統(tǒng)靜差。圖9.1-4齒輪傳動及其間隙特性第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四繼電特性繼電器、接觸器等都具有繼電特性。實際繼電器工作時，只有流經線圈的電流大于吸合值（或線圈兩端所加的電壓大到某一數(shù)值）后，繼電器的銜鐵方能吸合，所以，繼電特性一般都有死區(qū)存在。此外，由于繼電器的吸合電流一般都大于釋放電流，因此，實際的繼電特性具有滯環(huán)特點。三種典型的繼電特性如圖9.1-5所示。圖9.1-5中，圖a.為不考慮死區(qū)和滯環(huán)的理想繼電特性；圖b.為只考慮死區(qū)的繼電特性；圖c.為只考慮滯環(huán)的繼電特性；圖d.則為帶滯環(huán)的實際繼電特性。圖9.1-5三種典型的繼電特性第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四9.2非線性控制系統(tǒng)的分析方法目前研究非線性控制系統(tǒng)的常用工程方法有如下四種：(1)相平面法：將控制系統(tǒng)的運動過程用相平面上某點的移動軌跡來表示，是一種通過時域求解一、二階常微分方程，繪制、分析相軌跡的圖解法；能夠比較直觀、準確、全面地分析一、二階線性或非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應、穩(wěn)態(tài)精度以及初值與參數(shù)對控制系統(tǒng)運動的影響；缺點是僅限于一、二階系統(tǒng)的分析。(2)描述函數(shù)法：在一定的假設條件下，通過諧波線性化近似，對非線性部件的基波輸出分量進行頻域分析，是線性系統(tǒng)頻率特性法在非線性控制系統(tǒng)的推廣，主要用于系統(tǒng)穩(wěn)定性和自振的分析，這種方法不受系統(tǒng)階次的限制，對非線性控制系統(tǒng)的初步分析和設計非常方便；缺點是不能給出時間響應的確切信息，不如相平面法精確。(3)李雅普諾夫法：通過構造李雅普諾夫函數(shù)，根據能量的收斂或發(fā)散來分析非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性（詳見下篇：現(xiàn)代分析方法）；缺點是構造合適的李雅普諾夫函數(shù)比較困難。(4)計算機求解法：通過計算機直接求解非線性系統(tǒng)的微分方程，可以分析和設計復雜的非線性控制系統(tǒng)，隨著計算機的廣泛應用，計算機求解法將有更大的發(fā)展前景。第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四9.2.1

相平面法1）相平面法的基本概念一般二階時不變系統(tǒng)的常微分方程為（9.2-1）以時間t

作為參變量，以為橫坐標、為縱坐標，則以和構成的二維狀態(tài)空間即為相平面。相平面上的每個相點都對應于系統(tǒng)的每一個狀態(tài)；沿著時間t增大的方向，將許多相點連接起來即形成一條相軌跡。由于相平面只能表示和兩個獨立變量，所以相平面法只能用來研究一、二階線性或非線性系統(tǒng)。2）相軌跡的繪制方法（1）二階線性系統(tǒng)的相軌跡

（2）相軌跡的繪制第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四圖9.2-2二階線性系統(tǒng)的6種特征根及對應的相軌跡與奇點第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四相軌跡的繪制方法有解析法和圖解法兩種：當系統(tǒng)的微分方程比較簡單、便于積分求解時，一般用解析法繪制；當采用解析法求解有困難時，可用圖解法繪制。

對于式（9.2-1），令，有，所以可得（9.2-5）式（9.2-5）是關于和的一階微分方程，即二階非線性系統(tǒng)的相軌跡方程。由式（9.2-5），令，即有（9.2-6）或（9.2-7）①解析法：即直接對系統(tǒng)的狀態(tài)方程進行積分求解——先將系統(tǒng)的狀態(tài)方程化為相軌跡方程，再對相軌跡方程求積分，得到x1和x2的關系式，即可逐點繪出系統(tǒng)的相軌跡圖。第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四例9.2-1試對圖9.2-3非線性系統(tǒng)，用解析法繪出系統(tǒng)的相軌跡。解：由圖，非線性為理想繼電特性，有，對線性部分，入出關系為令，，則有，可得

，兩邊積分，可得圖9.2-3例9.2-1非線性系統(tǒng)第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四②圖解法：不需直接求解系統(tǒng)的微分方程，而是通過作圖來畫出系統(tǒng)的相軌跡。常用圖解法有等傾線法和δ法兩種。等傾線法：利用式（9.2-7）與式（9.2-6），即通過二階非線性系統(tǒng)相軌跡的斜率方程與等傾線方程，設定不同的α與β

，即可在相平面上畫出許多等傾線并建立相應相軌跡的切線方向場；由給定的初始狀態(tài)（相軌跡的起始相點）出發(fā)，便可沿等傾線的切線方向完成系統(tǒng)的相軌跡；因為任何一條曲線都是可以用一系列足夠短的折線來逼近的。圖9.2-4例9.2-1系統(tǒng)的相軌跡第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四例9.2-2試用等傾線法繪制二階線性系統(tǒng)在時的相軌跡。解：令，則有，可得等傾線方程，即（9.2-8）可見，此系統(tǒng)相軌跡的等傾線都是過原點且斜率為

β的直線。由式（9.2-8）有，當α取不同的值時，可得到表9.2-1。起始相點出發(fā)，即可繪出該系統(tǒng)的相軌跡，如圖9.2-5所示。

第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四圖9.2-5

例9.2-2的相軌跡第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四δ法：實際上，也可以認為相軌跡是由一系列圓心沿x

軸滑動的圓弧所組成的連續(xù)曲線。（3）相軌跡的三種極限環(huán)極限環(huán)是一種特殊的相軌跡，是最常見的奇線。根據極限環(huán)附近相軌跡的運動特點，可以分為穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的與半穩(wěn)定的三種極限環(huán)。①穩(wěn)定的極限環(huán)：若起始于極限環(huán)外部和內部的相軌跡最終都趨向于這個極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)；系統(tǒng)在微小擾動下，相軌跡可能稍稍離開極限環(huán)，但最終仍能回到這個極限環(huán)，所以系統(tǒng)的運動狀態(tài)對應為穩(wěn)定的自振運動；由于極限環(huán)內部的相軌跡是發(fā)散至極限環(huán)，而極限環(huán)外部的相軌跡則是收斂到極限環(huán)，所以穩(wěn)定的極限環(huán)內部是不穩(wěn)定的區(qū)域，而外部則是穩(wěn)定的區(qū)域；穩(wěn)定的極限環(huán)可以通過實驗觀察到，如圖9.2-8a.所示。②不穩(wěn)定的極限環(huán)：若起始于極限環(huán)外部和內部的相軌跡最終都遠離極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)，對應的周期運動是不穩(wěn)定的；任何微小擾動都將使系統(tǒng)狀態(tài)離開不穩(wěn)定極限環(huán)，所以不穩(wěn)定的極限環(huán)內部是漸近穩(wěn)定的區(qū)域，而外部則是不穩(wěn)定區(qū)域，如圖9.2-8b.所示；不穩(wěn)定的極限環(huán)在實驗中是無法觀察到的。③半穩(wěn)定的極限環(huán)：若起始于極限環(huán)內（外）部的相軌跡最終遠離極限環(huán)，而起始于極限環(huán)外（內）部的相軌跡最終趨向極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的極限環(huán)，對應的系統(tǒng)運動是穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的，如圖9.2-8c.、d.所示（在實驗中無法觀察到）；圖9.2-8c.中，極限環(huán)的內、外部都是系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)的運動最終將收斂于環(huán)內的奇點；而圖9.2-8d.中，極限環(huán)的內、外部則都是不穩(wěn)定的區(qū)域，系統(tǒng)的運動最終將發(fā)散于無窮遠處。第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四3）由相軌跡求系統(tǒng)的瞬時響應9.2.2

非線性控制系統(tǒng)的相平面分析1）分段線性方法所謂分段線性方法，一般是根據典型非線性特性的分段情況：先用分界線（也叫開關線或轉換線）將相平面劃分為幾個線性區(qū)域；再按照系統(tǒng)的結構圖分別列寫各區(qū)域的線性微分方程，并應用線性系統(tǒng)的相平面分析方法和結論，分別繪出各區(qū)域的相軌跡；最后根據系統(tǒng)狀態(tài)變化的連續(xù)性，在各區(qū)域開關線的轉換點上將相軌跡銜接成連續(xù)曲線，即可得到非線性系統(tǒng)的完整相圖。圖9.2-8穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的與半穩(wěn)定的三種極限環(huán)第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四2）非線性控制系統(tǒng)的相平面分析9.2.3描述函數(shù)法描述函數(shù)法是一種近似方法。在一定的條件下，通過對非線性部件的基波輸出分量進行諧波線性化近似并得到非線性部件的描述函數(shù)，再按照線性系統(tǒng)的頻域法對非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振進行分析；描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，在非線性控制系統(tǒng)的初步分析和設計中非常方便；描述函數(shù)法的缺點是不如相平面法精確。1）諧波線性化所謂諧波線性化，就是用非線性元件在正弦輸入下輸出的基波分量近似取代輸出的過程。非線性元件的描述函數(shù)N(X)定義為非線性元件在正弦輸入下輸出的基波分量與正弦輸入的復數(shù)比，即（9.2-33）第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四諧波線性化是有條件的，具體歸納為以下4點：⑴非線性系統(tǒng)可以歸化為下面圖9.2-16所示的典型結構；⑵由于描述函數(shù)法多用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振分析，可令，而且非線性元件的輸入為正弦擾動信號，即；⑶正弦擾動下非線性元件的輸出具有奇對稱（如死區(qū)、飽和等的輸出）或奇諧對稱（如間隙、實際繼電等的輸出）特性，可以保證非線性元件輸出的直流分量與偶次諧波均等于零；⑷系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波性能，以確保諧波線性化的近似精度，對于一般的控制系統(tǒng)，這個條件是能滿足的，而且線性部分的階次越高，低通濾波越好、近似精度越高。圖9.2-16非線性控制系統(tǒng)的典型結構第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四2）

非線性系統(tǒng)的結構歸化問題⑴結構歸化的總原則①非線性元件的輸入、輸出關系始終不能改變；②擾動輸入和系統(tǒng)輸出的位置可以改變，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振分析沒有影響。⑵非線性元件的結構歸化①并聯(lián)非線性元件的化簡——特性曲線直接對應疊加。②串聯(lián)非線性元件的化簡——前面非線性元件的輸出為后面非線性元件的輸出，前后的順序不可隨便更換。⑶非線性系統(tǒng)的結構歸化圖9.2-20非線性系統(tǒng)的結構歸化第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四3）典型非線性特性的描述函數(shù)非線性元件的描述函數(shù)可按以下步驟計算進行?！じ鶕蔷€性元件的特性，當輸入為時，確定輸出的波形；·計算的基波分量，其中，且對于單值奇對稱輸出，有；而對奇諧對稱輸出，則有；·按照描述函數(shù)的定義式（9.2-33），求得非線性元件的描述函數(shù)。⑴理想繼電特性的描述函數(shù)⑵飽和特性的描述函數(shù)⑶死區(qū)特性的描述函數(shù)第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四9.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)1）把線性控制中的Nyquist穩(wěn)定判據推廣到非線性控制系統(tǒng)經過諧波線性化與結構歸化，由圖9.2-16有則系統(tǒng)的特征方程為（9.2-38）或