非線性規(guī)化模型

非線性規(guī)化模型第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四為非線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)（一般）形式。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)是線性函數(shù)時(shí)，（NLP）就變成（LP）。如果令稱為可行域，則可（NLP）寫成簡(jiǎn)單形式當(dāng)時(shí)稱為無約束問題，否則稱為約束問題。第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

某裝飾材料公司欲以每桶2元的價(jià)錢購(gòu)進(jìn)一批彩漆一般來說隨著彩漆售價(jià)的提高，預(yù)期銷售量將減少，并對(duì)此進(jìn)行了估算，見表1。為了盡快收回資金并獲得較多的贏利，裝飾材料公司打算做廣告，投入一定的廣告費(fèi)后，銷售量將有一個(gè)增長(zhǎng)，可由銷售增長(zhǎng)因子來表示。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子關(guān)系見表2?，F(xiàn)在的問題是裝飾材料公司采取怎樣的營(yíng)銷戰(zhàn)略預(yù)期的利潤(rùn)最大？廣告的費(fèi)用及其效應(yīng)第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四表1

表2第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

符號(hào)說明及問題的分析

設(shè)x表示售價(jià)（單位：元），y表示預(yù)期銷售量（單位：桶），z表示廣告費(fèi)（單位：元），k表示銷售增長(zhǎng)因子。投入廣告費(fèi)后，實(shí)際銷售量記為s

獲得的利潤(rùn)記為P（單位：元）。由表1易見預(yù)期銷售量y隨著售價(jià)x的增加而單調(diào)下降，而銷售增長(zhǎng)因子k在開始時(shí)隨著廣告費(fèi)z的增加而增加，在廣告費(fèi)z等于50000元時(shí)達(dá)到最大值，然后在廣告費(fèi)增加時(shí)反而有所回落，為此可用Mathematica畫出散點(diǎn)圖.

第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四即

文件名：ch621.mad1={{2.00,41000},{2.50,38000},{3.00,34000},{3.50,32000},{4.00,29000},{4.50,28000},{5.00,25000},{5.50,22000},{6.00,20000}};

f1=ListPlot[d1,PlotStyle->{PointSize[0.05],RGBColor[0,0,1]}]

d2={{0,1.00},{10000,1.40},{20000,1.70},{30000,1.85},

{40000,1.95},{50000,2.00},{60000,1.95},{70000,1.80}};

f2=ListPlot[d2,PlotStyle->{PointSize[0.05],RGBColor[0,0,1]}]

第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

運(yùn)行之后，可顯示圖1，圖2

圖-1圖-2第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

從圖1和圖2易見，售價(jià)x與預(yù)期銷售量y近似于一條直線，廣告費(fèi)z與銷售增長(zhǎng)因子k近似于一條二次曲線。為此可令：

y=a+bx

k=c+dz+ez2

系數(shù)a，b，c，d，e是待定參數(shù)。模型的建立投入廣告費(fèi)后，實(shí)際銷售量s等于預(yù)期銷售量y乘以銷售增長(zhǎng)因子k，即s=ky。所獲得的利潤(rùn)：

第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

我們期望利潤(rùn)P達(dá)到最大，即第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

由于目標(biāo)函數(shù)不是線性函數(shù)，因此這一問題的數(shù)學(xué)模型為有約束條件的非線性規(guī)劃模型。在日常生活中非線性規(guī)劃問題要比線性規(guī)劃問題普遍。模型求解首先利用Mathematica計(jì)算（1）（2）中的參數(shù)a，b，c，d，e，并畫出散點(diǎn)圖和擬合曲線。第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四文件名：ch622.ma

f3=Fit[d1,{1,x},x]f4=Plot[f3,{x,1,7}]

Show[f1,f4]

f5=Fit[d2,{1,x,x^2},x]

f6=Plot[f5,{x,0,70000}]

Show[f2,f6]

運(yùn)行之后，顯示

Out[3]=50422.2-5133.33x

Out[5]=1.01875+0.0000409226x-4.2559510-10x2

及擬合曲線圖-3和圖-4。

第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四圖-3

第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

圖-4第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

即：

其次用MATLAB求解優(yōu)化模型，因MATLAB中僅能求極小值，為此將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為且x=5.9113，z=33113，函數(shù)P達(dá)到最大值16670。第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)多目標(biāo)規(guī)劃模型在工程技術(shù)、生產(chǎn)管理以及國(guó)防建設(shè)等部門中，所遇到的問題往往需要同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)在某種意義下的最優(yōu)問題一、引例例2.9投資問題。假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)，有數(shù)量為B億元的資金可用于投資，并由m個(gè)項(xiàng)目可供選擇。如果對(duì)第個(gè)項(xiàng)目投資的話，需用資金億元，并可獲得收益億元，試確定最佳投資方案。第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四解：所謂最佳投資方案是指：投資最少；收益最大。若令目標(biāo)函數(shù)為求：投資最少：收益最大：約束函數(shù)為：第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四二、多目標(biāo)規(guī)劃模型

多目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式為稱之為多目標(biāo)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型。第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四若記

則上述模型可簡(jiǎn)記為第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四應(yīng)當(dāng)注意，在實(shí)際問題中，除所有目標(biāo)函數(shù)都求最小值之外，還有其他情形存在，只要通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可轉(zhuǎn)化為上述情形，例如：（1）當(dāng)所有目標(biāo)函數(shù)都求最大值時(shí)，只須注意，求一個(gè)函數(shù)的最大值可以轉(zhuǎn)化為求這個(gè)函數(shù)的負(fù)函數(shù)的最小值，便知這時(shí)的數(shù)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為這還是（VP）的形式（2）當(dāng)對(duì)一部分目標(biāo)函數(shù)求最小值，即其余目標(biāo)求最大值時(shí)，不妨假定前r個(gè)目標(biāo)函數(shù)都是求最小值；其余p-r個(gè)目標(biāo)函數(shù)都是求最大值；第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四而約束集合都是R，于是這時(shí)的數(shù)學(xué)模型便可轉(zhuǎn)化為

這也是（VP）的形式。（3）當(dāng)對(duì)一部分目標(biāo)函數(shù)求最小值，對(duì)另一部分目標(biāo)求最大值時(shí)，而其余目標(biāo)函數(shù)則要求限制在一定范圍即可時(shí)，我們可以假定都求最小值；都為求最大值；其余的限制為，其中諸及均為常數(shù)；而約束集合仍是R。這時(shí)只要我們令第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四便知這種情形的數(shù)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為

不難看出，這仍是（VP）的形式。此外還要注意，由于，總可以寫成及，因此為簡(jiǎn)單起見，有時(shí)也將（VP）干脆寫成

其中第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四三、建模舉例例2.10投資收益和風(fēng)險(xiǎn)問題（這是全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題）。市場(chǎng)上有

種資產(chǎn)（股票、債券、……）供投資者選擇，某公司有數(shù)額為的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)間的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)種資產(chǎn)進(jìn)行評(píng)估，估算在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買有平均收益率為，并預(yù)測(cè)出購(gòu)買的損失率為?？紤]到投資分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的中的最大一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四購(gòu)買Si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為pi，并且當(dāng)購(gòu)買額不超過給定值ui時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買ui計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是r0，且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)（r0=5%）。

（1）已知n=4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。

（2）試就一般情況對(duì)以上問題進(jìn)行討論，利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四Siri（%）qi（%）pi（%）ui（元）S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四S740.7685.6178S831.233.433.1220S933.653.32.7475S1036.8402.9248S1111.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四1、模型的假設(shè)及符號(hào)說明

（1）模型的假設(shè)

①在一個(gè)時(shí)期內(nèi)所給出的保持不變。

②在一個(gè)時(shí)間內(nèi)所購(gòu)買的各種資產(chǎn)（如股票、證券等）不進(jìn)行買賣交易，即在買入后不再賣出。

③每種投資是否收益是相互獨(dú)立的。

④在投資過程中，無論盈利與否必須先付交易費(fèi)。第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四（2）符號(hào)說明

M（元）：公司現(xiàn)有投資總金額；

Si（i=0~n）：欲購(gòu)買的第i種資產(chǎn)種類（其中i=0表示存入銀行）；

xi（i=0~n）：公司購(gòu)買Si金額；

ri（i=0~n）：公司購(gòu)買Si的平均收益率；

qi（i=0~n）：公司購(gòu)買Si的平均損失率；

pi（i=0~n）：公司購(gòu)買Si超過ui時(shí)所付交易費(fèi)率。

第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四

2、問題的分析

設(shè)購(gòu)買Si的金額為xi，所付的交易費(fèi)ci（xi）令c0（x0）=0

（1）

投資額M相當(dāng)大，所以總可以假定對(duì)每個(gè)Si的投資xi≥ui，這時(shí)（1）式可簡(jiǎn)化為

（2）

第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)Si投資的凈收益

（3）

對(duì)Si投資的風(fēng)險(xiǎn)

（4）

對(duì)Si投資所需資金（投資金額xi與所需的手續(xù)費(fèi)ci（xi）之和）即

（5）第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)購(gòu)買Si的金額為xi（i=0~n），投資組合

x=（x0，x1，…，xn）的凈收益總額

（6）

整體風(fēng)險(xiǎn)：

（7）

資金約束：

（8）

第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四3、多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

我們的想法是凈收益總額R（x）盡可能大，而整體風(fēng)險(xiǎn)Q（x）又盡可能小，則該問題的數(shù)學(xué)模型可歸為多目標(biāo)規(guī)劃模型，即

（9）

第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四模型（9）屬于多目標(biāo)規(guī)劃模型，為了對(duì)其求解，可把多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃。

①假定投資的平均風(fēng)險(xiǎn)水平，則投資M的風(fēng)險(xiǎn)，若要求整體風(fēng)險(xiǎn)Q（x）限制在風(fēng)險(xiǎn)k以內(nèi)，即

Q（x）≤k，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為

（10）

第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四②假定投資的平均收益率為，則投資M的收益，若要求總的收益R（x）大于等于h，即R（x）≥h，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為

（11）

第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四③假定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)——收益的相對(duì)偏好參數(shù)為ρ，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為：

（12）

④將總收益R（x）與整體風(fēng)險(xiǎn)

Q（x）相比，則模型（9）可化為：

（13）

第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四討論題1、某工廠需采購(gòu)某種生產(chǎn)原料，該原料市場(chǎng)上有A和B兩種，單價(jià)分別是2元/kg和1.5元/kg，現(xiàn)需求所花的總費(fèi)用不超過300元，購(gòu)得原料總重量不少于120kg，其中A原料不得少于60kg。問如何確定最佳采購(gòu)方案，花最少的錢，采購(gòu)最多數(shù)量的原料，試建立這個(gè)問題的模型。第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期四2、選課策略某學(xué)校規(guī)定，運(yùn)籌學(xué)專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)時(shí)至少學(xué)習(xí)過兩門數(shù)學(xué)課，三門運(yùn)籌學(xué)課和兩門計(jì)算機(jī)課，這些課程的編號(hào)、名稱、學(xué)分、所屬類別和先修課要求如下表所示，那么畢業(yè)時(shí)學(xué)生最少可以學(xué)習(xí)這些課程中的哪些課程？如果某個(gè)學(xué)生既希望選修課程的數(shù)量少，又希望所獲得的學(xué)分多，他可以選修哪些課程？第3