集合與實變函數(shù)

集合與實變函數(shù)第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第一章集合與映射集合的概念集合的運算集合間的映射集合的基數(shù)集合的拓撲集合的測度第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四具有某種確定性質的事物或對象的全體，稱之為集合，記為A。羅素悖論：所有集合放在一起，是否是集合？某一個理發(fā)師，聲稱：給所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)，那他的頭發(fā)怎么辦？第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四類：其元素是集合的集合，記為

第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四映射類型：單射、滿射、雙射第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四可數(shù)集合的性質任意無窮集合都有可數(shù)子集可數(shù)集合的子集至多是可數(shù)集合可數(shù)個可數(shù)集合的并仍然是可數(shù)集合無窮集合不一定都是可數(shù)的，入如（0，1）第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二、集合上的拓撲結構第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四度量空間第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四有了開集的概念，就可以定義閉集、映射的連續(xù)等等概念第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四直線上的開集、閉集和完備集第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四拓撲空間第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四歐式空間的重要定理第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四三、集合的測度第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四直線上集合的測度第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四可測集類就是全體Borel集和全體零測度集合的“可加”集合類的確存在不可測集合，如商集合[0,1]/Q在二維以上的歐式空間，也可以作類似的推廣，其上的Lebesgue測度理論與直線上的情形很相似。第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第二章、L-可測函數(shù)和L-微積分理論一、可測函數(shù)第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二、L-積分可以通過依次引入下列各函數(shù)類的L-積分：非負簡單函數(shù)、非負可測函數(shù)、有界可測函數(shù)、一般可測函數(shù)在有界可測集和一般可測集合上的積分L-積分與R-積分有著幾乎完全一樣的性質：單調性、線性、對集合的有限（可數(shù)）可加性、積分的絕對連續(xù)性等等第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四兩者的區(qū)別與聯(lián)系改變函數(shù)f在零測度集上的定義，其L-積分不變。第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四積分與極限換序第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四Fubini定理第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第55頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四三、微分條件太強了，在L-積分中，只需要函數(shù)F(x)是絕對連續(xù)，就夠了第56頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第57頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四有趣的問題嚴格遞增的連續(xù)函數(shù)是不是處處可導，其導函數(shù)一定大于0？其導函數(shù)是不是可積，積分等于端點處的函數(shù)值之差？例如Cantor函數(shù)第58頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四十九世紀初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個別點外總是可微的。后來，德國數(shù)學家維爾斯特拉斯提出了一個由級數(shù)定義的函數(shù)，這個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，但是維爾斯特拉斯證明了這個函數(shù)在任何點上都沒有導數(shù)。這個證明使許多數(shù)學家大為吃驚。第59頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四函數(shù)空間L^2[a,b]上平方可積的函數(shù)的全體，將幾乎處處相等的不同函數(shù)視為同一個元素，就得到了一個商集L^2，通過定義距離，正交等概念，可得到一無窮維的歐式空間。在L^2中建