2014年高考北京理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理科）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．（1）【2014年北京，理1，5分】已知集合，，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】集合．故，故選C．（2）【2014年北京，理2，5分】下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】對(duì)于A，在上為增函數(shù)，符合題意，對(duì)于B，在上為減函數(shù)，不合題意，對(duì)于C，為上的減函數(shù)，不合題意，對(duì)于D，為上的減函數(shù)，不合題意，故選A．（3）【2014年北京，理3，5分】曲線（為參數(shù)）的對(duì)稱中心（）（A）在直線上（B）在直線上（C）在直線上（D）在直線上【答案】B【解析】參數(shù)方程，所表示的曲線為圓心在，半徑為1的圓．其對(duì)稱中心為圓心．逐個(gè)代入選項(xiàng)可知，在直線上，故選B．（4）【2014年北京，理4，5分】當(dāng)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）（A）7（B）42（C）210（D）840【答案】C【解析】當(dāng)輸入的，時(shí)，判斷框內(nèi)的判斷條件為．故能進(jìn)入循環(huán)的依次為7，6，5．順次執(zhí)行，則有，故選C．（5）【2014年北京，理5，5分】設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“”為遞增數(shù)列的（） （A）充分且不必要條件（B）必要且不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】D【解析】對(duì)于等比數(shù)列，若，則當(dāng)時(shí)有為遞減數(shù)列．故“”不能推出“為遞增數(shù)列”．若為遞增數(shù)列，則有可能滿足且，推不出．綜上，“”為“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選D．（6）【2014年北京，理6，5分】若滿足且的最小值為，則的值為（）（A）2（B）（C）（D）【答案】D【解析】若，沒有最小值，不合題意．若，則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示．由圖可知，在點(diǎn)處取最小值．故，解得，故選D．（7）【2014年北京，理7，5分】在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，若，，分別表示三棱錐在，，坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）（A）（B）且（C）且（D）且【答案】D【解析】在平面上的投影為，故，設(shè)在和平面上的投影分別為和，則在和平面上的投影分別為和．∵，，故，故選D．（8）【2014年北京，理8，5分】有語文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績評(píng)定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種．若同學(xué)每科成績不低于同學(xué)，且至少有一科成績比高，則稱“同學(xué)比同學(xué)成績好”，現(xiàn)有若干同學(xué)，他們之間沒有一個(gè)人比另一個(gè)成績好，且沒有任意兩個(gè)人語文成績一樣，數(shù)學(xué)成績也一樣的．問滿足條件的最多有多少學(xué)生（）（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】B【解析】用ABC分別表示優(yōu)秀、及格和不及格．顯然語文成績得A的學(xué)生最多只有1個(gè)，語文成績得B的也最多只有1個(gè)，得C的也最多只有1個(gè)，因此學(xué)生最多只有3個(gè)．顯然，（AC）（BB）（CA）滿足條件，故學(xué)生最多3個(gè)，故選B．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分．（9）【2014年北京，理9，5分】復(fù)數(shù)．【答案】【解析】復(fù)數(shù)，故．（10）【2014年北京，理10】已知向量、滿足，，且，則．【答案】【解析】由，有，于是，由，可得，又，故．（11）【2014年北京，理11，5分】設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為______．【答案】，【解析】雙曲線的漸近線為，故的漸近線為，設(shè)：并將點(diǎn)代入的方程，解得，故的方程為，即．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)________時(shí)，的前項(xiàng)和最大．【答案】8【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，于是有，，故．故，，為的前項(xiàng)和中的最大值．（13）【2014年北京，理13，5分】把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有_______種．【答案】36單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以．進(jìn)一步，“對(duì)任意恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)，即．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．所以若對(duì)任意恒成立，則最大值為，最小值為．解法二：令，則，由⑴知，，故在上單調(diào)遞減，從而的最小值為，故，最大值為，最小值為，下面進(jìn)行證明：，，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，從而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．從而當(dāng)時(shí)，．故的最小值小于等于．若，則在上有唯一解，且時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，此時(shí),與恒成立矛盾，故，綜上知：的最小值為．（19）【2014年北京，理19，14分】已知橢圓．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：（1）由題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．所以，，從而．因此，．故橢圓的離心率．（2）直線與圓相切．證明如下：解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，其中．因?yàn)?，所以，即，解得．?dāng)時(shí)，，代入橢圓的方程，得，故直線的方程為．圓心到直線的距離．此時(shí)直線與圓相切．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．圓心到直線的距離．又，，故．此時(shí)直線與圓相切．解法二：由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，，①當(dāng)時(shí)，，易知，此時(shí)直線的方程為或，原點(diǎn)到直線的距離為，此時(shí)直線與圓相切；②當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)或；聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱性知，取點(diǎn)計(jì)算，直線的方程為：，即，原點(diǎn)到直線距離，此時(shí)直線與圓相切．綜上知，直線一定與圓相切．解法三：①當(dāng)時(shí)，，易知，此時(shí)，，原點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)直線與圓相切；②當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)，則，，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)或；于是，，，所以，直線與圓相切；綜上知，直線一定與圓相切．（20）【2014年北京，理20，13分】對(duì)于數(shù)對(duì)序列，記，，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（1）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，求的值；（2）記為四個(gè)數(shù)中最小值，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)組成的數(shù)對(duì)序列和，試分別對(duì)和的兩種情況