四年級奧數(shù)《舉一反三》全的

四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)資料姓名：__________________-PAGE4-銀海是我的光榮，我是銀海的驕傲-PAGE3-小學(xué)四年級奧數(shù)舉一反三第1講至第40講全目錄第1講找規(guī)律（一）第2講找規(guī)律（二）第3講簡單推理第4講應(yīng)用題（一）第5講算式謎（一）第6講算式謎（二）第7講最優(yōu)化問題第8講巧妙求和（一）第9講變化規(guī)律（一）第10講變化規(guī)律第11講錯中求解第12講簡單列舉第13講和倍問題第14講植樹問題第15講圖形問題第16講巧妙求和第17講數(shù)數(shù)圖形第18講數(shù)數(shù)圖形第19講應(yīng)用題第20講速算與巧算第21講速算與巧算（二）第22講平均數(shù)問題第23講定義新運算第24講差倍問題第25講和差問題第26周巧算年齡第二十七周較復(fù)雜的和差倍問題第二十八周周期問題第二十九周行程問題（一）第三十周用假設(shè)法解題第三十一周還原問題第三十二周邏輯推理第三十三周速算與巧算（三）第三十四周行程問題（二）第三十五周容斥原理第三十六周二進制第三十七周應(yīng)用題（三）第三十八周應(yīng)用題（四）第三十九周盈虧問題第四十周數(shù)學(xué)開放題第1講找規(guī)律（一）一、知識要點（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）（7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）

第2講找規(guī)律（二）一、知識要點對于較復(fù)雜的按規(guī)律填數(shù)的問題，我們可以從以下幾個方面來思考：1.對于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的方法，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就要及時調(diào)整思路，換一種方法再分析；2.對于那些分布在某些圖中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊位置有關(guān)，這是我們解這類題的突破口。3.對于找到的規(guī)律，應(yīng)該適合這組數(shù)中的所有數(shù)或這組算式中的所有算式。二、精講精練【例題1】根據(jù)下表中的排列規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細觀察、分析表格中的數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：12+6=18，8+7=15，即每一橫行中間的數(shù)等于兩邊的兩個數(shù)的和。依此規(guī)律，空格中應(yīng)填的數(shù)為：4+8=12。練習(xí)1：找規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)?！纠}2】根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個圖形的括號里應(yīng)填什么數(shù)？【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)前面兩個圈中三個數(shù)之間有這樣的關(guān)系：5×12÷10=6

4×20÷10=8根據(jù)這一規(guī)律，第三個圈中右下角應(yīng)填的數(shù)為：8×30÷10=24.練習(xí)2：根據(jù)前面圖形中數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個圖形的空格里應(yīng)填什么數(shù)。（1）

（2）

（3）

【例題3】先計算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫出后幾題的得數(shù)。12345679×9=

12345679×18=12345679×54=

12345679×81=【思路導(dǎo)航】題中每個算式的第一個因數(shù)都是12345679，它是有趣的“缺8數(shù)”，與9相乘，結(jié)果是由九個1組成的九位數(shù)，即：111111111。不難發(fā)現(xiàn)，這組題得數(shù)的規(guī)律是：只要看每道算式的第二個因數(shù)中包含幾個9，乘積中就包含幾個111111111。因為：12345679×9=111111111所以：12345679×18=12345679×9×2=22222222212345679×54=12345679×9×6=666666666

12345679×81=12345679×9×9=999999999.練習(xí)3：找規(guī)律，寫得數(shù)。（1）1+0×9=

2+1×9=

3+12×9=

4+123×9=

9+12345678×9=（2）1×1=

11×11=

111×111=

111111111×111111111=（3）19+9×9=

118+98×9=

1117+987×9=11116+9876×9=

111115+98765×9=【例題4】找規(guī)律計算。（1）81－18=（8－1）×9=7×9=63（2）72—27=（7－2）×9=5×9=45（3）63－36=（□－□）×9=□×9=□【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)：一個兩位數(shù)與交換它的十位、個位數(shù)字位置后的兩位數(shù)相減，只要用十位與個位數(shù)字的差乘9，所得的積就是這兩個數(shù)的差。練習(xí)4：1．利用規(guī)律計算。（1）53－35

（2）82－28

（3）92－29

（4）61－16

（5）95－592．找規(guī)律計算。（1）62+26=（6+2）×11=8×11=88（2）87+78=（8+7）×11=15×11=165（3）54+45=（□+□）×11=□×11=□【例題5】計算（1）26×11

（2）38×11【思路導(dǎo)航】一個兩位數(shù)與11相乘，只要把這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的和插入這兩個數(shù)字中間，就是所求的積。（1）26×11=2（2+6）6=286（2）38×11=3（3+8）8=418注意：如果兩個數(shù)字的和滿十，要向前一位進一。練習(xí)5：計算下面各題。（1）27×11

（2）32×11（3）39×11

（4）46×11（5）92×11

（6）98×11

第3講簡單推理一、知識要點解答推理問題，要從許多條件中找出關(guān)鍵條件作為推理的突破口。推理要有條理地進行，要充分利用已經(jīng)得出的結(jié)論，作為進一步推理的依據(jù)。二、精講精練【例題1】一包巧克力的重量等于兩袋餅干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋餅干等于幾袋牛肉干的重量？【思路導(dǎo)航】根據(jù)“一包巧克力的重量=兩袋餅干的重量”與“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出：兩袋餅干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋餅干的重量=兩袋牛肉干的重量。練習(xí)1：（1）一只菠蘿的重量等于4根香蕉的重量，兩只梨子的重量等于一只菠蘿的重量，一只梨子的重量等于幾根香蕉的重量？（2）3包巧克力的重量等于兩袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于幾袋牛肉干的重量？（3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量。一只小豬的重量等于幾只鴨的重量？【例題2】一頭象的重量等于4頭牛的重量，一頭牛的重量等于3匹小馬的重量，一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量。一頭象的重量等于幾頭小豬的重量？【思路導(dǎo)航】根據(jù)“一頭象的重量等于4頭牛的重量”與“一頭牛的重量等于3匹小馬的重量”可推出：“一頭象的重量等于12匹小馬的重量”，而“一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量”，因此，一頭象的重量等于36頭小豬的重量。練習(xí)2：（1）一只西瓜的重量等于兩個菠蘿的重量，1個菠蘿的重量等于4個蘋果的重量，1個蘋果的重量等于兩個橘子的重量。1只西瓜的重量等于幾個橘子的重量？（2）一頭牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一頭牛每天吃青草18千克（3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量，兩只鴨的重量等于6條魚的重量。問：兩只小豬的重量等于幾條魚的重量？【例題3】根據(jù)下面兩個算式，求○與□各代表多少？○＋○＋○=18○＋□=10【思路導(dǎo)航】在第一個算式中，3個○相加的和是18，所以○代表的數(shù)是：18÷3=6，又由第二個算式可求出□代表的數(shù)是：10－6=4.練習(xí)3：（1）根據(jù)下面兩個算式，求□與△各代表多少？□＋□＋□＋□=32△ －□=20（2）根據(jù)下面兩個算式，求○與□各代表多少？○＋○＋○=15○＋○＋□＋□＋□=40（3）根據(jù)下面兩個算式，求○與△各代表多少？○－△=8△＋△＋△=○【例題4】根據(jù)下面兩個算式，求○與△各代表多少？△－○=2○＋○＋△＋△＋△=56【思路導(dǎo)航】由第一個算式可知，△比○多2；如果將第二個算式的○都換成△，那么5個△=56＋2×2，△=12，再由第一個算式可知，○=12－2=10.練習(xí)4：（1）根據(jù)下面兩個算式求□與○各代表多少？□－○=8□＋□＋○＋○=20（2）根據(jù)下面兩個算式，求△與○各代表多少？△＋△＋△＋○＋○=78△＋△＋○＋○＋○=72（3）根據(jù)下面兩個算式，求△與□各代表多少？△＋△＋△－□－□=12□＋□＋□－△－△=2【例題5】甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三小的學(xué)生，在區(qū)運動會上他們分別獲得跳高、跳遠和壘球冠軍。已知：二小的是跳遠冠軍；一小的不是壘球冠軍，甲不是跳高冠軍；乙既不是二小的也不是跳高冠軍。問：他們?nèi)齻€人分別是哪個學(xué)校的？獲得哪項冠軍？【思路導(dǎo)航】由“二小的是跳遠冠軍”可知壘球、跳高冠軍是一小或三小的；因為“一小的不是壘球冠軍”，所以一小一定是跳高冠軍，三小的是壘球冠軍；由“甲不是跳遠冠軍”，“乙既不是二小的也不是跳高冠軍”可知，一小的甲是跳高冠軍，二小的丙是跳遠冠軍，三小的乙是壘球冠軍。練習(xí)5：（1）有三個女孩穿著嶄新的連衣裙去參加游園會。一個穿花的，一個穿白的，一個穿紅的。但不知哪一個姓王、哪一個姓李、哪一個姓劉。只知道姓劉的不喜歡穿紅的，姓王的既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子。你能猜出這三個女孩各姓什么嗎？（2）小兔、小貓、小狗、小猴和小鹿參加100米比賽，比賽結(jié)束后小猴說：“我比小貓跑得快?！毙」氛f：“小鹿在我前面沖過終點線?！毙⊥谜f：“我們的名次排在小猴前面，小狗在后面。”（3）五個女孩并排坐著，甲坐在離乙、丙距離相等的座位上，丁坐在離甲、丙距離相等的座位上，戌坐在她兩個姐姐之間。請問誰是戌的姐姐？

第4講應(yīng)用題（一）一、知識要點解答應(yīng)用題時，必須認真審題，理解題意，深入細致地分析題目中數(shù)量間的關(guān)系，通過對條件進行比較、轉(zhuǎn)化、重新組合等多種手段，找到解題的突破口，從而使問題得以順利解決。二、精講精練【例題1】某玩具廠把630件玩具分別裝在5個塑料箱和6個紙箱里，1個塑料箱與3個紙箱裝的玩具同樣多。每個塑料箱和紙箱各裝多少件玩具？【思路導(dǎo)航】如果玩具全部裝在塑料箱或全部裝在紙箱里，那么可以求出一個紙箱或一個塑料箱裝多少件。因為3個紙箱與一個塑料箱裝的同樣多，所以6個紙箱與2個塑料箱裝的同樣多。這樣，5個塑料箱裝的玩具件數(shù)和7個塑料箱裝的就同樣多。由此，可求出一個塑料箱裝多少件。練習(xí)1：（1）百貨商店運來300雙球鞋分別裝在2個木箱和6個紙箱里。如果兩個紙箱同一個木箱裝的球鞋同樣多，每個木箱和每個紙箱各裝多少雙球鞋？（2）新華小學(xué)買了兩張桌子和5把椅子，共付款195元。已知每張桌子的價錢是每把椅子的4倍，每張桌子多少元？（3）王叔叔買了3千克荔枝和4千克桂圓，共付款156元。已知5千克【例題2】一桶油，連桶重180千克，用去一半油后，連桶還有100【思路導(dǎo)航】原來油和桶共重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克，說明用去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的重量就是80×2=160（千克），油桶的重量就是180－練習(xí)2：（1）一筐梨，連筐重38千克，吃去一半后，連筐還有20（2）一筐蘋果，連筐共重35千克，先拿一半送給幼兒園小朋友，再拿剩下的一半送給一年級小朋友，余下的蘋果連筐重11（3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原來的2倍，油桶連油重38千克；如果把油加到原來的4倍，這里油和桶共重46【例題3】有5盒茶葉，如果從每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶葉正好和原來4【思路導(dǎo)航】由條件“每盒取出200克，5盒剩下的茶葉正好和原來4盒茶葉重量相等”可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶葉正好等于原來的5－4=1練習(xí)3：（1）有6筐梨子，每筐梨子個數(shù)相等，如果從每筐中拿出40個，6筐梨子剩下的個數(shù)總和正好和原來兩筐的個數(shù)相等。原來每筐有多少個？（2）在5個木箱中放著同樣多的橘子。如果從每個木箱中拿出60個橘子，那么5個木箱中剩下的橘子的個數(shù)的總和等于原來兩個木箱里橘子個數(shù)的和。原來每個木箱中有多少個橘子？（3）某食品店有5箱餅干，如果從每個箱子里取出20千克，那么5個箱子里剩下的餅干正好等于原來3【例題4】一個木器廠要生產(chǎn)一批課桌。原計劃每天生產(chǎn)60張，實際每天比原計劃多生產(chǎn)4張，結(jié)果提前一天完成任務(wù)。原計劃要生產(chǎn)多少張課桌？【思路導(dǎo)航】這道題的關(guān)鍵是要求出工作時間。因為實際比原計劃提前1天完成任務(wù)，這就相當(dāng)于把原計劃最后1天的任務(wù)平均分到前面的幾天去做，正好分完。實際比原計劃每天多生產(chǎn)4張，所以實際生產(chǎn)的天數(shù)是60÷4=15天，原計劃生產(chǎn)的天數(shù)是15＋1=16天。所以原計劃要生產(chǎn)60×16=960張。練習(xí)4：（1）電視機廠接到一批生產(chǎn)任務(wù)，計劃每天生產(chǎn)90臺，可以按期完成。實際每天多生產(chǎn)5臺，結(jié)果提前1天完成任務(wù)。這批電視機共有多少臺？（2）小明看一本故事書，計劃每天看12頁，實際每天多看8頁，結(jié)果提前2天看完。這本故事書有多少頁？（3）修一條公路，計劃每天修60米，實際每天比計劃多修15米，結(jié)果提前【例題5】有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只，從甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使兩盒中的圖釘相等？【思路導(dǎo)航】由條件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只。要盒兩盒中的圖釘相等，只要把甲盒比乙盒多的24只圖釘平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以應(yīng)拿出24÷2=12只。練習(xí)5：（1）有兩袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18（2）有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只。每次從甲盒中拿4只放到乙盒，拿幾次才能使兩盒相等？（3）有兩袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。每次從多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里，拿幾次才能使兩袋糖同樣多？

第5講算式謎（一）一、知識要點“算式謎”一般是指那些含有未知數(shù)字或缺少運算符號的算式。解決這類問題，可以根據(jù)已學(xué)過的知識，運用正確的分析推理方法，確定算式中的未知數(shù)字和運用符號。由于這類題目的解答過程類似全平時進行的猜謎語游戲，所以，我們把這類題目稱為“算式謎題”。解答算式謎問題時，要先仔細審題，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，找到突破口，逐步試驗，分析求解，通常要運用倒推法、湊整法、估值法等。二、精講精練【例題1】在下面算式的括號里填上合適的數(shù)?！舅悸穼?dǎo)航】根據(jù)題目特點，先看個位：7＋5=12，在和的個位（）中填2，并向十位進一；再看十位，（）+4+1的和個位是1，因此，第一個加數(shù)的（）中只能填6，并向百位進1；最后來看百位、千位，6+（）+1的和的個位是2，第二個加數(shù)的（）中只能填5，并向千位進1；因此，和的千位（）中應(yīng)填8。練習(xí)1：（1）在括號里填上合適的數(shù)。（2）在方框里填上合適的數(shù)。

（3）下面的豎式里，有4個數(shù)字被遮住了，求豎式中被蓋住的4個數(shù)字的和?！纠}2】下面各式中“巨”、“龍”、“騰”、“飛”分別代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時，下列的算式成立?！舅悸穼?dǎo)航】先看個位，3個“飛”相加的和的個位數(shù)字是1，可推知“飛”代表7；再看十位，3個“騰”相加，再加上個位進來的2，所得的和的個位是0，可推知“騰”代表6；再看百位，兩個“龍”相加，加上十位進上來的2，所得和的個位是0，“龍”可能是4或9，考慮到千位上的“巨”不可能為0，所以“龍”只能代表4，“巨”只能代表1。練習(xí)2：【例題3】下面各式中的“兵”、“炮”、“馬”、“卒”各代表0—9這十個數(shù)字中的某一個，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這些漢字各代表哪些數(shù)字？【思路導(dǎo)航】這道題應(yīng)以“卒”入手來分析。“卒”和“卒”相加和的個位數(shù)字仍然是“卒”，這個數(shù)字只能是0。確定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“車”是1；再由十位上的情況可推知“馬”是4，進而推得“炮”是2。練習(xí)3：【例題4】將0、1、2、3、4、5、6這七個數(shù)字填在圓圈和方格內(nèi)，每個數(shù)字恰好出現(xiàn)一次，組成一個整數(shù)算式?！稹痢?□=○÷○【思路導(dǎo)航】要求用七個數(shù)字組成五個數(shù)，這五個數(shù)有三個是一位數(shù)，有兩個是兩位數(shù)。顯然，方格中的數(shù)和被除數(shù)是兩位數(shù)，其他是一位數(shù)。0和1不能填入乘法算式，也不能做除數(shù)。由于2×6=12（2將出現(xiàn)兩次），2×5=10（經(jīng)試驗不合題意），2×4=8（7個數(shù)字中沒有8），2×3=6（6不能成為商）。因此，0、1、2只能用來組成兩位數(shù)。經(jīng)試驗可得：3×4=12=6=÷5.練習(xí)4：（1）將0、1、3、5、6、8、9這七個數(shù)字填在圓圈和方筐里，每個數(shù)字恰好出現(xiàn)一次組成一個整數(shù)算式?！稹痢?□=○÷○（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立?！酢隆?□÷□（3）用1、2、3、7、8這五個數(shù)字可以列成一個算式：（1+3）×7=28。請你用0、1、2、3、4、6這六個數(shù)字列成一個算式。【例題5】把“＋、－、×、÷”分別放在適當(dāng)?shù)膱A圈中（運算符號只能用一次），并在方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下面的兩個等式成立。36○0○15=1521○3○5=□【思路導(dǎo)航】先從第一個等式入手，等式右邊是15，與等式左邊最后一個數(shù)15相同，因為0+15=15，所以，只要使36與0的運算結(jié)果為0就行。顯然，36×0+15=15因為第一個等式已填“×”、“+”，在第二個等式中只有“－”、“÷”可以填，題目要求在方框中填整數(shù)，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21與3之間，而3與5之間填“－”。練習(xí)5：（1）把“＋、－、×、÷”分別填入下面的圓圈中，并在方框中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使下面每組的兩個等式成立。①9○13○7=10014○2○5=□②17○6○2=1005○14○7=□（2）將1～9這九個數(shù)字填入□中（每個數(shù)字只能用一次），組成三個等式?！酰?□□－□=□□×□=□

第6講算式謎（二）一、知識要點解決算式謎題，關(guān)鍵是找準突破口，推理時應(yīng)注意以下幾點：1．認真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部判斷；2．利用列舉和篩選相結(jié)合的方法，逐步排除不合理的數(shù)字；3．試驗時，應(yīng)借助估值的方法，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，達到快速而準確的目的；4．算式謎解出后，要驗算一遍。二、精講精練【例題1】在下面的方框中填上合適的數(shù)字?！舅悸穼?dǎo)航】由積的末尾是0，可推出第二個因數(shù)的個位是5；由第二個因數(shù)的個位是5，并結(jié)合第一個因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個因數(shù)的百位是3；由第一個因數(shù)為376與積為31□□0，可推出第二個因數(shù)的十?dāng)?shù)上是8。題中別的數(shù)字就容易填了。練習(xí)1：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)?！纠}2】在下面方框中填上適合的數(shù)字?！舅悸穼?dǎo)航】由商的十位是1，以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位是1。由第一次除后余下的數(shù)是1，可推知被除數(shù)的十位只可能是7、8、9。如果是7，除數(shù)的個位是0，那么最后必有余數(shù)；如果被除數(shù)是8，除數(shù)的個位就是1，也不能除盡；只有當(dāng)被除數(shù)的十位是9時，除數(shù)的個位是2時，商的個位為6，正好除盡。完整的豎式是：練習(xí)2：在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立?！纠}3】下面算式中的a、b、c、d這四個字母各代表什么數(shù)字？【思路導(dǎo)航】因為四位數(shù)abcd乘9的積是四位數(shù)，可知a是1；d和9相乘的積的個位是1，可知d只能是9；因為第二個因數(shù)9與第一個因數(shù)百位上的數(shù)b相乘的積不能進位，所以b只能是0（1已經(jīng)用過）；再由b=0，可推知c=8。練習(xí)3：花=花=紅=柳=綠=華=羅=庚=金=杯=盼=望=祖=國=

早=日=統(tǒng)=一=

【例題4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字中間加上“＋、－”兩種運算符號，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。23456789=100【思路導(dǎo)航】先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個數(shù)組成一個數(shù)。比如：123與100比較接近，所以把前三個數(shù)字組成123，后面的數(shù)字湊出23就行。因為45與67相差22，8與9相差1，所以得到一種解法：123＋45－67＋8－9=100再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11，所此可得另一種解法：123＋45－67＋8－9=100.練習(xí)4：：（1）在下面等號左邊的數(shù)字之間添上一些加號，使其結(jié)果等于99（數(shù)字的順序不能改變）。87654321=99（2）一個乘號和七個加號添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。123456789=100（3）添上適當(dāng)?shù)倪\算符號和括號，使下列等式成立。12345=100【例題5】在下面的式子里添上括號，使等式成立。7×9＋12÷3－2=23【思路導(dǎo)航】采用逆推法，從最后一步運算開始考慮。假如最后一步是用前面計算的結(jié)果減2，那么前面式子的運算結(jié)果應(yīng)等25，又因為25×3=75，而前面7×9＋12又正好等于75，所以，應(yīng)給前面兩步運算加括號。（7×9＋12）÷3－2=23練習(xí)5：1.在下面的式子里添上括號，使等式成立。（1）7×9＋12÷3－2=75（2）7×9＋12÷3－2=47（3）88＋33－11÷11×2=52.在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字中間加上“＋、－”兩種運算符號，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。

第7講最優(yōu)化問題一、知識要點在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時間最少，效果最佳。這類問題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會遇到“費用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大（小）值，這類問題在數(shù)學(xué)中稱為極值問題。以上的問題實際上都是“最優(yōu)化問題”。二、精講精練【例題1】用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個，剪一個餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問煎3個餅至少需要多少分鐘？【思路導(dǎo)航】先將兩個餅同時放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個餅都熟了一面，這時可將一個取出，另一個翻過去，再放入第三個。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個取出，把第三個翻過去，再將第一個放入煎，再煎一分鐘就會全部煎好。所以，煎3個餅至少需要3分鐘。練習(xí)1：1.烤面包時，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘？2.用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時放兩個。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個大餅，最少要用幾分鐘？3.小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時能放4個大餅，烙一個要用4分鐘（每面各需要2分鐘）?？尚∪A烙6個大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？【例題2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？【思路導(dǎo)航】經(jīng)驗表明，能同時做的事，盡量同時做，這樣可以節(jié)省時間。水壺不洗，不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時進行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以同時進行。根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，同時洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16分鐘。練習(xí)2：1.小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開水需要10分鐘，把開水灌進熱水瓶需要2分鐘，取奶需要5分鐘，整理書包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？2.小強給客人沏茶，燒開水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點喝上茶，你認為最合理的安排，多少分鐘就可以了？3.在早晨起床后的1小時內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉刷牙8分鐘，讀外語30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？【例題3】五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時到達學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時間總和最短？【思路導(dǎo)航】校醫(yī)應(yīng)該給治療時間最短的先治病，治療時間長的最后治療，才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生室的時間總和最短。這樣，三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時間總和是1+4+9=14分鐘。練習(xí)3：1．甲、乙、丙三人分別拿著2個、3個、1個熱水瓶同時到達開水供應(yīng)點打熱水。熱水龍頭只有一個，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時間最少？2．甲、乙、丙三人到商場批發(fā)部洽談業(yè)務(wù)，甲、乙、丙三人需要的時間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時間最少？最少時間是多少？3．甲、乙、丙、丁四人同時到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使他們所花的總時間最少？最少時間是多少？【例題4】用18厘米【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，圍成的長方形的一條長與一條寬的和是18÷2=9厘米。顯然，當(dāng)長與寬的差越小，圍成的長方形的面積越大。又已知長和寬的長度都是整厘米數(shù)，因此，當(dāng)長是5厘米，寬是4厘米時，圍成的長方形的面積最大：5練習(xí)4：1.用長26厘米的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)，圍成的長方形的面積最大是多少？2.一個長方形的周長是20分米，它的面積最大是多少？3.一個長方形的面積是36平方厘米，并且長和寬的長度都是整厘米數(shù)。這個長方形的周長最長是多少厘米？【例題5】用3～6這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大?！舅悸穼?dǎo)航】解決這個問題應(yīng)考慮兩點：（1）盡可能把大數(shù)放在高位；（2）盡可能使兩個數(shù)的差最小。所以應(yīng)把6和5這兩個數(shù)字放在十位，4和3放在個位。根據(jù)“兩個因數(shù)的差越小，積越大”的規(guī)律，3應(yīng)放在6的后面，4應(yīng)放在5的后面。63×54=3402.練習(xí)5：1.用1～4這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。2.用5～8這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。3.用3～8這六個數(shù)字分別組成兩個三位數(shù)，使這兩個三位數(shù)的乘積最大。

第8講巧妙求和（一）一、知識要點若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項。其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數(shù)列中項的個數(shù)稱為項數(shù)。從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項的差稱為公差。在這一章要用到兩個非常重要的公式：“通項公式”和“項數(shù)公式”。通項公式：第n項=首項+（項數(shù)－1）×公差項數(shù)公式：項數(shù)=（末項－首項）÷公差＋1二、精講精練【例題1】有一個數(shù)列：4，10，16，22.…，52.這個數(shù)列共有多少項？【思路導(dǎo)航】容易看出這是一個等差數(shù)列，公差為6，首項是4，末項是52.要求項數(shù)，可直接帶入項數(shù)公式進行計算。項數(shù)=（52－4）÷6＋1=9，即這個數(shù)列共有9項。練習(xí)1：1.等差數(shù)列中，首項=1.末項=39，公差=2.這個等差數(shù)列共有多少項？2.有一個等差數(shù)列：2.5，8，11.…，101.這個等差數(shù)列共有多少項？3.已知等差數(shù)列11.16，21.26，…，1001.這個等差數(shù)列共有多少項？【例題2】有一等差數(shù)列：3.7，11.15，……，這個等差數(shù)列的第100項是多少？【思路導(dǎo)航】這個等差數(shù)列的首項是3.公差是4，項數(shù)是100。要求第100項，可根據(jù)“末項=首項+公差×（項數(shù)－1）”進行計算。第100項=3+4×（100－1）=399.練習(xí)2：1.一等差數(shù)列，首項=3.公差=2.項數(shù)=10，它的末項是多少？2.求1.4，7，10……這個等差數(shù)列的第30項。3.求等差數(shù)列2.6，10，14……的第100項?！纠}3】有這樣一個數(shù)列：，…，99，100。請求出這個數(shù)列所有項的和?！舅悸穼?dǎo)航】如果我們把，…，99，100與列100，99，…，3.2.1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每個小括號內(nèi)的兩個數(shù)的和都是101.一共有100個101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2.就是所求數(shù)列的和。1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的數(shù)列是一個等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2這個公式也叫做等差數(shù)列求和公式。練習(xí)3：計算下面各題。（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例題4】求等差數(shù)列2，4，6，…，48，50的和?！舅悸穼?dǎo)航】這個數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項數(shù)是多少：項數(shù)=（末項－首項）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首項=2.末項=50，項數(shù)=25等差數(shù)列的和=（2+50）×25÷2=650.練習(xí)4：計算下面各題。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例題5】計算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）【思路導(dǎo)航】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)列其實是把1～100這100個數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個等差數(shù)列，每個數(shù)列都有50個項。因此，我們也可以把這兩個數(shù)列中的每一項分別對應(yīng)相減，可得到50個差，再求出所有差的和。（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1=50練習(xí)5：用簡便方法計算下面各題。（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）

第9講變化規(guī)律（一）一、知識要點和、差的規(guī)律見下表（m≠0）一個加數(shù)（a）另一個加數(shù)（b）和（c）±m(xù)不變±m(xù)不變±m(xù)±m(xù)±m(xù)m不變被減數(shù)（a）減數(shù)（b）差（c）±m(xù)不變±m(xù)不變±m(xù)m±m(xù)±m(xù)不變二、精講精練【例題1】兩個數(shù)相加，一個加數(shù)增加9，另一個加數(shù)減少9，和是否發(fā)生變化？【思路導(dǎo)航】一個加數(shù)增加9，假如另一個加數(shù)不變，和就增加9；假如一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)減少9，和就減少9；和先增加9，接著又減少9，所以不發(fā)生變化。練習(xí)1：1.兩個數(shù)相加，一個數(shù)減8，另一個數(shù)加8，和是否變化？2.兩個數(shù)相加，一個數(shù)加3.另一個數(shù)也加3.和起什么變化？3.兩個數(shù)相加，一個數(shù)減6，另一個數(shù)減2.和起什么變化？【例題2】兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加10，要使和增加6，那么另一個加數(shù)應(yīng)有什么變化？【思路導(dǎo)航】一個加數(shù)增加10，假如另一個加數(shù)不變，和就增加10?，F(xiàn)在要使和增加6，那么另一個加數(shù)應(yīng)減少10－6=4。練習(xí)2：1.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加8，要使和增加15，另一個加數(shù)應(yīng)有什么變化？2.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加8，要使和減少15，另一個加數(shù)應(yīng)有什么變化？3.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)減少8，要使和減少8，另一個加數(shù)應(yīng)有什么變化？【例題3】兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加8，減數(shù)也增加8，差是否起變化？【思路導(dǎo)航】被減數(shù)增加8，假如減數(shù)不變，差就增加8；假如被減數(shù)不變，減數(shù)增加8，差就減少8。兩個數(shù)的差先增加8，接著又減少8，所以不起什么變化。練習(xí)3：1.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少6，減數(shù)也減少6，差是否起變化？2.兩數(shù)相減，被減數(shù)增加12.減數(shù)減少12.差起什么變化？3.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少10，減數(shù)增加10，差起什么變化？【例題4】兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大8倍，另一個因數(shù)縮小2倍，積將有什么變化？【思路導(dǎo)航】如果一個因數(shù)擴大8倍，另一個因數(shù)不變，積將擴大8倍；如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)縮小2倍，積將縮小2倍。積先擴大8倍又縮小2倍，因此，積擴大了8÷2=4倍。練習(xí)4：1.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)縮小4倍，另一個因數(shù)擴大4倍，和是否起變化？2.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大3倍，另一個因數(shù)縮小12倍，積將有什么變化？3.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大3倍，另一個因數(shù)擴大6倍，積將有什么變化？【例題5】兩數(shù)相除，如果被除數(shù)擴大4倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？【思路導(dǎo)航】如果被除數(shù)擴大4倍，除數(shù)不變，商就擴大4倍；如果被除數(shù)不變，除數(shù)縮小2倍，商就擴大2倍。商先擴大4倍，接著又擴大2倍，商將擴大4×2=8倍。練習(xí)5：1.兩數(shù)相除，被除數(shù)擴大30倍，除數(shù)縮小5倍，商將怎樣變化？2.兩數(shù)相除，被除數(shù)縮小12倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？3.兩數(shù)相除，除數(shù)擴大6倍，要使商擴大3倍，被除數(shù)應(yīng)怎樣變化？

第10講變化規(guī)律一、知識要點乘、除變化規(guī)律見下表（m≠0）被乘數(shù)（a）乘數(shù)（b）積（c）×÷m不變×÷m不變×÷m×÷m×÷m÷×m不變被除數(shù)（a）除數(shù)（b）商（c）×÷m不變×÷m不變×÷m÷×m×÷m×÷m不變我們學(xué)習(xí)了和、差、積、商的變化規(guī)律，這一周，我們利用這些規(guī)律來解決一些較簡單的問題。二、精講精練【例題1】兩數(shù)相減，被減數(shù)減少8，要使差減少12.減數(shù)應(yīng)有什么變化？【思路導(dǎo)航】被減數(shù)減少8，假如減數(shù)不變，差也減少8；現(xiàn)在要使差減少12.減數(shù)應(yīng)增加12－8=4。練習(xí)1：1.兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加6，要使差增加15，減數(shù)應(yīng)有什么變化？2.兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加20，要使差減少12.減數(shù)應(yīng)有什么變化？3.兩數(shù)相減，減數(shù)減少9，要使差增加16，被減數(shù)應(yīng)有什么變化？【例題2】兩個數(shù)相除，商是8，余數(shù)是20，如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？【思路導(dǎo)航】兩數(shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)，商不變，余數(shù)擴大相同的倍數(shù)。所以商是8，余數(shù)是20×10=200。練習(xí)2：1.兩數(shù)相除，商是6，余數(shù)是30，如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？2.兩個數(shù)相除，商是9，余數(shù)是3。如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大120倍，商是多少？余數(shù)是多少？3.兩個數(shù)相除，商是8，余數(shù)是600。如果被除數(shù)和除數(shù)同時縮小100倍，商是多少？余數(shù)是多少？【例題3】兩數(shù)相乘，積是48。如果一個因數(shù)擴大2倍，另一個因數(shù)縮小3倍，那么積是多少？【思路導(dǎo)航】一個因數(shù)擴大2倍，積擴大2倍；另一個因數(shù)縮小3倍，積縮小3倍。所以最后的積是48×2÷3=32。練習(xí)3：1.兩數(shù)相乘，積是20。如果一個因數(shù)擴大3倍，另一個因數(shù)縮小4倍，那么積是多少？2.兩數(shù)相除，商是19。如果被除數(shù)擴大20倍，除數(shù)縮小4倍，那么商是多少？3.兩數(shù)相除，商是27。如果被除數(shù)擴大12倍，除數(shù)擴大6倍，那么商是多少？【例題4】小華在計算兩個數(shù)相加時，把一個加數(shù)個位上的1錯誤地寫成7，把另一個加數(shù)十位上的3錯誤地寫成8，所得的和是1996。原來兩個數(shù)相加的正確答案是多少？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，一個加數(shù)個位上的1被寫成了7，這樣錯寫一個加數(shù)比原來增加了6；另一個加數(shù)十位上的3寫成8，增加了50。這樣，所得的結(jié)果就比原來增加了6+50=56。所以，原來兩數(shù)相加的正確答案是：1996－（6＋56）=1940。練習(xí)4：1.小明在計算加法時，把一個加數(shù)十位上的0錯寫成8，把另一個加數(shù)個位上的6錯寫成9，所得的和是532。正確的和是多少？2.小強在計算加法時，把一個加數(shù)十位上的7錯寫成1.把個位上的8錯寫成0，所得的和是285。正確的和是多少？3.小亮在計算加法時，把一個加數(shù)個位上的5錯寫成3.把另一個加數(shù)十位上的3錯寫成8，所得的和是650。正確的和是多少？【例題5】王霞在計算題時，由于粗心大意，把被減數(shù)個位上的3錯寫成5，把十位上的6錯寫成0，這樣算得差是189。正確的差是多少？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，被減數(shù)個位上的3寫成5，因此增加了2；十位上的6寫成0，因此減少60。這樣錯寫的被減數(shù)比原來減少了60－2=58。因為減數(shù)不變，根據(jù)差的變化規(guī)律，正確的差要比錯誤的差多50。正確的差是：189＋58=247。練習(xí)5：1.小軍在做題時，把被減數(shù)個位上的3錯寫成8，把十位上的0錯寫成6，這樣算得的差是198。正確的差是多少？2.小剛在做題時，把減數(shù)個位上的9錯寫成6，把十位上的3錯寫成8，這樣算得的差是268。正確的差是多少？3.小紅在做題時，把被減數(shù)十位上的0錯寫成8，把減數(shù)個位上的8錯寫成3.這樣算得的差是632。正確的差是多少？

第11講錯中求解一、知識要點在加、減、乘、除式的計算中，如果粗心大意將算式中的一些運算數(shù)或符號抄錯，就會導(dǎo)致計算結(jié)果發(fā)生錯誤。這一周，我們就來討論怎樣利用錯誤的答案求出正確的結(jié)論。二、精講精練【例題1】小玲在計算除法時，把除數(shù)65寫成56，結(jié)果得到的商是13.還余52。正確的商是多少？【思路導(dǎo)航】要求出正確的商，必須先求出被除數(shù)是多少。我們可以先抓住錯誤的得數(shù)，求出被除數(shù)：13×56＋52=780。所以，正確的商是：780÷65=12。練習(xí)1：1.小星在計算除法時，把除數(shù)87錯寫成78，結(jié)果得到的商是5，余數(shù)是45。正確的商應(yīng)該是多少？2.甜甜和蜜蜜在用同一個數(shù)做被除數(shù)。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32還余6，蜜蜜計算的結(jié)果應(yīng)該是多少？3.小虎在計算除法時，把被除數(shù)1250寫成1205，結(jié)果得到的商是48，余數(shù)是5。正確的商應(yīng)該是多少？【例題2】小芳在計算除法時，把除數(shù)32錯寫成320，結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，把除數(shù)32改成320擴大到原來的10倍，又因為被除數(shù)不變，根據(jù)商的變化規(guī)律，正確的商應(yīng)該是錯誤商的10倍。所以正確的商應(yīng)該是48×10=480。練習(xí)2：1.小麗在計算除法時，把除數(shù)530末尾的0漏寫了，得到的商是40。正確的商應(yīng)該是多少？2.小馬在計算除法時，把被除數(shù)1280誤寫成12800，得到的商是32。正確的商應(yīng)該是多少？3.小欣在計算除法時，把被除數(shù)420錯寫成240，結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？【例題3】小冬在計算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)137錯寫成173.這樣商比原來多了3.而余數(shù)正好相同。正確的商和余數(shù)是多少？【思路導(dǎo)航】因為被除數(shù)137被錯寫成了173.被除數(shù)比原來多了173－137=36，又因為商比原來多了3.而且余數(shù)相同，所以除數(shù)是36÷3=12。又由137÷12=11……5，所以余數(shù)是5。練習(xí)3：1.小軍在計算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)208錯寫成268，結(jié)果商增加了5，而余數(shù)正好相同。正確的除數(shù)和余數(shù)是多少？2.李明在計算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)171錯寫成117，結(jié)果商比原來少了3.而余數(shù)正好相同。求這道除法算式正確的商和余數(shù)。3.劉強在計算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)137錯寫成174，結(jié)果商比原來多3.余數(shù)比原來多1。求這道除法算式的除數(shù)和余數(shù)。【例題4】小龍在做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題時，把一個因數(shù)的個位數(shù)字4錯當(dāng)作1.乘得的結(jié)果是525，實際應(yīng)為600。這兩個兩位數(shù)各是多少？【思路導(dǎo)航】一個因數(shù)的個位4錯當(dāng)作1.所得的結(jié)果比原來少了（4－1）個另一個因數(shù)；實際的結(jié)果與錯誤的結(jié)果相差600－525=75，75÷3=25，600÷25=24。所以一個因數(shù)是24，另一個因數(shù)是25。練習(xí)4：1.小鋒在計算乘法時，把一個因數(shù)的個位數(shù)8錯當(dāng)作3.得345，實際應(yīng)為420。這兩個因數(shù)各是多少？2.小菊做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法時，把一個因數(shù)的個位數(shù)字1誤寫成7，結(jié)果得646，實際應(yīng)為418。這兩個兩位數(shù)各是多少？3.李曉在計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目時，把一個因數(shù)十位上的3誤當(dāng)作8，結(jié)果得2150，這道題的正確積應(yīng)是900。這兩個兩位數(shù)各是多少？【例題5】方方和圓圓做一道乘法式題，方方誤將一個因數(shù)增加14，計算的積增加了84，圓圓誤將另一個因數(shù)增加14，積增加了168。那么，正確的積應(yīng)是多少？【思路導(dǎo)航】由“方方將一個因數(shù)增加14，計算結(jié)果增加了84”可知另一個因數(shù)是84÷14=6；又由“圓圓誤將另一個因數(shù)增加14，積增加了168”可知，這個因數(shù)是168÷14=12。所以正確的積應(yīng)是12×練習(xí)5：1.兩個數(shù)相乘，如果一個因數(shù)增加10，另一個因數(shù)不變，那么積增加80；如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)增加6，那么積增加72。原來的積是多少？2.兩個數(shù)相乘，如果一個因數(shù)增加3.另一個因數(shù)不變，那么積增加18；如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)減少4，那么積減少200。原來的積是多少？3.小敏在做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題時，把一個因數(shù)的個位數(shù)字5誤寫成3.得出的乘積是552；另一個學(xué)生卻把這個5寫成8，得出的乘積是672。正確的乘積是多少？

第12講簡單列舉一、知識要點有些題目，因其所求問題的答案有多種，直接列式解答比較困難，在這種情況下，我們不妨采用一一列舉的方法解決。這種根據(jù)題目的要求，通過一一列舉各種情況最終達到解答整個問題的方法叫做列舉法。二、精講精練【例題1】從南通到上海有兩條路可走，從上海到南京有3條路可走。王叔叔從南通經(jīng)過上海到南京去，有幾種走法？【思路導(dǎo)航】為了幫助理解，先畫一個線路示意圖，并用①、②、③、④、⑤表示其中的5條路。我們把王叔叔的各種走法一一列舉如下：根據(jù)以上列舉可以發(fā)現(xiàn)，從南通經(jīng)過①到上海再到南京有3種方法，從南通經(jīng)過②到上海再到南京也有3種方法，共有兩個3種方法，即3×2=6（種）。練習(xí)1：1.小明從家到學(xué)校有3條路可走，從學(xué)校到少年宮有兩條路，小明從家經(jīng)過學(xué)校到少年宮有幾種走法？2.從甲地到乙地，有兩條走達鐵路和4條直達公路，那么從甲地到乙地有多少種不同走法？3.從甲地到乙地，有兩條直達鐵路，從乙地到丙地，有4條直達公路。那么，從甲地到丙地有多少種不同的走法？【例題2】用紅、黃、藍三種信號燈組成一種信號，可以組成多少種不同的信號？【思路導(dǎo)航】要使信號不同，就要求每一種信號顏色的順序不同，我們把這些不同的信號一一列舉如下：從上面的排列中可以發(fā)現(xiàn)，紅色信號燈排在第一位置時，有兩種不同的信號，黃色信號燈排在第一位置時，也有兩種不同的信號，藍色信號燈排在第一位置時，也有兩種不同的信號。因此，共有2×3=6種不同的排法。練習(xí)2：1．甲、乙、丙三個同學(xué)排成一排，有幾種不同的排法？2．小紅有3種不同顏色的上衣，4種不同顏色的裙子，問她共有多少種不同的穿法？3．用3、4、5、6四個數(shù)字可以組成多少個不同的四位數(shù)？【例題3】有三張數(shù)字卡片，分別為3、6、0。從中挑出兩張排成一個兩位數(shù)，一共可以排成多少個兩位數(shù)？【思路導(dǎo)航】排成時要注意“0”不能排在最高位，下面我們進行分類考慮。（1）十位上排6，個位上有兩個數(shù)字可選，這樣的數(shù)共有兩個：60，63；（2）十位上排3.個位上也有兩個數(shù)字可選，這樣的數(shù)也有兩個：30，60。從以上列舉容易發(fā)現(xiàn)，一共可以排成2×2=4（個）兩位數(shù)?！纠}3】有三張數(shù)字卡片，分別為3、6、0。從中挑出兩張排成一個兩位數(shù)，一共可以排成多少個兩位數(shù)？【思路導(dǎo)航】排成時要注意“0”不能排在最高位，下面我們進行分類考慮。（1）十位上排6，個位上有兩個數(shù)字可選，這樣的數(shù)共有兩個：60，63；（2）十位上排3.個位上也有兩個數(shù)字可選，這樣的數(shù)也有兩個：30，60。從以上列舉容易發(fā)現(xiàn)，一共可以排成2×2=4（個）兩位數(shù)。練習(xí)3：1.用0、2、9這三個數(shù)字，可以組成多少個不同的兩位數(shù)？2.用8、6、3、0這四個數(shù)字，可以組成多少個不同的三位數(shù)？最大的一個是多少？3.用0、1、5、6這四個數(shù)字，可以組成多少個不同的四位數(shù)？從小到大排列，1650是第幾個？【例題4】從1～～8這八個數(shù)字中，每次取出兩個數(shù)字，要使它們的和大于8，有多少種取法？【思路導(dǎo)航】為了既不重復(fù)，又不遺漏地統(tǒng)計出結(jié)果，應(yīng)該按一定的順序來分類列舉，可以按“幾＋8、幾＋7、幾＋5、幾＋6、幾＋5”1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共7個；2＋7、3＋7、4＋7、……6＋7，共5個；3＋6、4＋6、5＋6，共3個；4＋5共1個。這樣，兩個數(shù)的和大于8的算式共有7＋5＋3＋1=16（個），所以，共有16種不同的取法。練習(xí)4：1.從1～6這六個數(shù)中，每次取兩個數(shù)，要使它們的和大于6，有多少種取法？2.從1～9這九個數(shù)中，每次取兩個數(shù)，要使它們的和大于10，有多少種取法？3.營業(yè)員有一個伍分幣，4個貳分幣，8個壹分幣，他要找給顧客9分錢，有幾種找法？【例題5】在一次足球比賽中，4個隊進行循環(huán)賽，需要比賽多少場？（兩個隊之間比賽一次稱為1場）【思路導(dǎo)航】4個隊進行循環(huán)賽，也就是說4個隊每兩個隊都要賽一場，設(shè)4個隊分別為A、B、C、D，我們可以用圖表示4個隊進行循環(huán)賽的情況。A隊和其他3個隊各比賽1次，要賽3場；B隊和其他兩個隊還要各比賽1次，要賽2場；C隊還要和D隊比賽1次，要賽1場。這樣，一共需要比賽3＋2＋1=6（場）。練習(xí)5：1.在一次羽毛球賽中，8個隊進行循環(huán)賽，需要比賽多少場？2.在一次乒乓球賽中，參加比賽的隊進行循環(huán)賽，一共賽了15場。問有幾個隊參加比賽？3.某學(xué)區(qū)舉行“苗苗杯”小學(xué)生足球賽，共有6所學(xué)校的足球隊比賽，比賽采取循環(huán)制，每個隊都要和其他各隊賽一場，根據(jù)積分排名次。這些比賽分別安排在3個學(xué)校的球場上進行，平均每個學(xué)校要安排幾場比賽？

第13講和倍問題一、知識要點已知兩個數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。解答和倍應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：和÷（倍數(shù)＋1）=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)（和－小數(shù)=大數(shù)）二、精講精練【例題1】學(xué)校有科技書和故事書共480本，科技書的本數(shù)是故事書的3倍。兩種書各有多少本？【思路導(dǎo)航】為了便于理解題意，我們畫圖來分析：由圖可知，如果把故事書的本數(shù)看作一份，那么科技書的本數(shù)就是這樣的3份，兩種書的總本數(shù)就是這樣的1＋3=4份。把480本書平均分成4份，1份是故事書的本數(shù)，3份是科技書的本數(shù)。480÷（1＋3）=120（本）120×3=360（本）.練習(xí)1：1.用錫和鋁制成的合金是720千克，其中鋁的重量是錫的5倍。鋁和錫各用了多少千克？2.甲、乙兩數(shù)的和是112.甲數(shù)除以乙數(shù)的商是6，甲、乙兩數(shù)各是多少？3.一塊長方形黑板的周長是96分米，長是寬的3倍。這塊長方形黑板的長和寬各是多少分米？【例題2】果園里有梨樹、桃樹和蘋果樹共1200棵，其中梨樹的棵數(shù)是蘋果樹的3倍，桃樹的棵數(shù)是蘋果樹的4倍。求梨樹、桃樹和蘋果樹各有多少棵？【思路導(dǎo)航】如果把蘋果樹的棵數(shù)看作1份，三種樹的總棵數(shù)是這樣的1+3+4=8份。所以，蘋果樹有1200÷8=150（棵），梨樹有150×3=450（棵），桃樹有150×4=600（棵）.練習(xí)2：1.李大伯養(yǎng)雞、鴨、鵝共960只，養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍。雞、鴨、鵝各養(yǎng)了多少只？2.甲、乙、丙三數(shù)之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。3.商店有鉛筆、鋼筆、圓珠筆共560支，圓珠筆的支數(shù)是鋼筆的3倍，鉛筆的支數(shù)與圓珠筆的支數(shù)同樣多。鉛筆、鋼筆和圓珠筆各有多少支？【例題3】有三個書櫥共放了330本書，第二個書櫥里的書是第一個的2倍，第三個書櫥里的書是第二個的4倍。每個書櫥里各放了多少本書？【思路導(dǎo)航】把第一個書櫥里的本數(shù)看作1份，那么第二個書櫥里的本數(shù)是這樣的2份，第三個就是這樣的2×4=8份，三個書櫥里的總本數(shù)就是這樣的1+2+8=11份。所以，第一個書櫥里放了330÷11=30（本），第二個書櫥里放了30×2=60（本），第三個書櫥里放了60×4=240（本）。練習(xí)3：1．甲、乙、丙三個數(shù)之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。2．三塊鋼板共重621千克，第一塊的重量是第二塊的3倍，第二塊的重量是第三塊的2倍。三塊鋼板各重多少千克？3．甲、乙、丙三個修路隊共修路1200米，甲隊修的米數(shù)是乙隊的2倍，乙隊修的數(shù)數(shù)是丙隊的3【例題4】少先隊員種柳樹和楊樹共216棵，楊樹的棵數(shù)比柳樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？【思路導(dǎo)航】如果楊樹少種20棵，那么柳樹和楊樹的總棵數(shù)是216－20=196（棵），這里楊樹的棵數(shù)恰好是柳樹的3倍。所以，柳樹的棵數(shù)是196÷（1＋3）=49（棵），楊樹的棵數(shù)是216－49=167（棵）。練習(xí)4：1.糧站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍還多3002.小華和小明兩人參加數(shù)學(xué)競賽，兩人共得168分，小華的得分比小明的2倍少42分。兩人各得多少分？3.學(xué)校購買了720本圖書分給高、中、低三個年級，高年級分得的比低年級的3倍多8本，中年級分得的比低年級的2倍多4本。高、中、低年級各分得圖書多少本？【例題5】三個筑路隊共筑路1360米，甲隊筑的米數(shù)是乙隊的2倍，乙隊比丙隊多240【思路導(dǎo)航】把乙隊的米數(shù)看作1份，甲隊筑的米數(shù)是這樣的2份。假設(shè)丙隊多筑240米，那么三個隊共筑了1360＋240=1600米，正好是乙隊的2＋1＋1=4倍。所以，乙隊筑了1600÷4=400米，甲隊筑了400×2=800米，丙隊筑了400練習(xí)5：1.三個植樹隊共植樹1900棵，甲隊植樹的棵數(shù)是乙隊的2倍，乙隊比丙隊少植300棵。三個隊各植樹多少棵？2.三個數(shù)的和是1540，甲數(shù)是丙數(shù)的7倍，乙數(shù)比甲數(shù)多40。三個數(shù)各是多少？3.城東小學(xué)共有籃球、足球和排球共95個，其中足球比排球少5個，排球的個數(shù)是籃球個數(shù)的2倍?；@球、足球、排球各有多少個？

第14講植樹問題一、知識要點1．線段上的植樹問題可以分為以下三種情形：（1）如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1.即：棵數(shù)=段數(shù)＋1；（2）如果一端植樹，另一端不植樹，那么棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)；（3）如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)應(yīng)比段數(shù)少1.即：棵數(shù)=段數(shù)－1。2．在封閉的路線上植數(shù)，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)。二、精講精練【例題1】城中小學(xué)在一條大路邊從頭至尾栽樹28棵，每隔6米【思路導(dǎo)航】題中已知栽樹28棵，28棵樹之間有28－1=27段，每隔6米為一段，所以這條大路長6×27=162練習(xí)1：1.在一條馬路一邊從頭至尾植樹36棵，每相鄰兩棵樹之間隔8米2.同學(xué)們做早操，21個同學(xué)排成一排，每相鄰兩個同學(xué)之間的距離相等，第一個人到最后一個人的距離是40米3.一條路長200米，在路的一旁從頭至尾每隔5【例題2】在一個周長是240米的游泳池周圍栽樹，每隔5【思路導(dǎo)航】這道題是封閉線路上的植樹問題，植樹的棵數(shù)和段數(shù)相等。240÷5=48（棵）練習(xí)2：1.一個魚塘的周長是1500米，沿魚塘周圍每隔62.在圓形的水池邊，每隔3米種一棵樹，共種樹603.在一塊長80米，寬60米的長方形地的周圍種樹，每隔【例題3】在一座長800米的大橋兩邊掛彩燈，起點和終點都掛，一共掛了202【思路導(dǎo)航】大橋兩邊一共掛了202盞彩燈，每邊各掛202÷2=101盞，101盞彩燈把800米長的大橋分成101－1=100段，所以，相鄰兩盞彩燈之間的距離是800÷100=8練習(xí)3：1.在一條長100米的大路兩旁各栽一行樹，起點和終點都栽，一共栽522.一座長400米的大橋兩旁掛彩燈，每兩個相隔43.六年級學(xué)生參加廣播操比賽，排了5路縱隊，隊伍長20米，前后兩排相距1【例題4】一個木工鋸一根19米的木料，他先把一頭損壞部分鋸下來1米，然后鋸了【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，把長19－1=18米的木條鋸了5次，可以鋸成5＋1=6段，所以每根短木條長18÷6=3練習(xí)4：1.一個木工鋸一根長17米的木料，他先把一頭損壞的部分鋸下來2米，然后鋸了2.有一根圓鋼長22米，先鋸下2米，剩下的鋸成每根都是3.有一個工人把長12米的圓鋼鋸成了3米長的小段，鋸斷一次要【例題5】有一幢10層的大樓，由于停電電梯停開。某人從1層走到3層需要30秒，照這樣計算，他從3層走到10需要多少秒？【思路導(dǎo)航】把每一層樓所需要的時間看作一個間隔，1層至3層有兩個時間間隔，所以每個間隔用去的時間是30÷（3－1）=15秒，3層到10層經(jīng)過了10－3=7個時間間隔，所以，他從3層到10層需要15×7=105秒。練習(xí)5：1.把6米長的木料平均鋸成3段要6分鐘，照這樣計算，如果鋸成62.時鐘4點敲4下，6秒鐘敲完。那么12點鐘敲12下，多少秒鐘敲完？3.一游人以等速在一條小路上散步，路邊相鄰兩棵樹的距離都相等，他從第一棵樹走到第10棵樹用了11分鐘，如果這個游人走22分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹？

第15講圖形問題一、知識要點解答有關(guān)“圖形面積”問題時，應(yīng)注意以下幾點：1.細心觀察，把握圖形特點，合理地進行切拼，從而使問題得以順利地解決；2.從整體上觀察圖形特征，掌握圖形本質(zhì)，結(jié)合必要的分析推理和計算，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。二、精講精練【例題1】人民路小學(xué)操場長90米，寬45米。改造后，長增加10米，寬增加5米。現(xiàn)在操場面積比原來增加了多少平方米？【思路導(dǎo)航】用操場現(xiàn)在的面積減去操場原來的面積，就得到增加的面積。操場現(xiàn)在的面積是（90+10）×（45+5）=5000平方米，操場原來的面積是90×45=4050平方米練習(xí)1：1.有一塊長方形的木板，長22分米，寬8分米。如果長和寬分別減少10分米、3分米，面積比原來減少多少平方分米？2.一塊長方形鐵板，長18分米，寬13分米。如果長和寬各減少2分米，面積比原來減少多少平方分米？3.一塊長方形地，長是80米，寬是45米。如果把寬增加【例題2】一個長方形，如果寬不變，長增加6米，那么它的面積增加54平方米；如果長不變，寬減少3米，那么它的面積減少36平方米。這個長方形原來的面積是多少平方米？【思路導(dǎo)航】由“寬不變，長增加6米，面積增加54平方米”可知，它的寬為54÷6=9米；由“長不變，寬減少3米，面積減少36平方米”可知，它的長為36練習(xí)2：1.一個長方形，如果寬不變，長減少3米，那么它的面積減少24平方米；如果長不變，寬增加4米2.一個長方形，如果寬不變，長增加5米，那么它的面積增加30平方米；如果長不變，寬增加3米，那么它的面積增加3.一個長方形，如果它的長減少3米，或它的寬減少2米，那么它的面積都減少36【例題3】下圖是一個養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段16米【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，因為一面利用著墻，所以兩條長加一條寬等于16米。而寬是4米，那么長是（16－4）÷2=6米，占地面積是6×練習(xí)3：1.右圖是某個養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段長13米的籬笆圍成的一個長方形養(yǎng)雞場，求養(yǎng)雞場的占地面積。2.用56米長的木欄圍成長或?qū)捠?03.用15米【例題4】街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？【思路導(dǎo)航】把水泥路分成四個同樣大小的長方形（如下圖）。因此，一個長方形的面積是12÷4=3平方米。因為水泥路寬1米，所以小長方形的長是3÷1=3米。從圖中可以看出正方形花壇的邊長是小長方形長與寬的差，所以小正方形的邊長是3－1=2米。中間花壇的面積是2×練習(xí)4：1.有一個正方形的水池，如下圖的陰影部分，在它的周圍修一個寬8米的花池，花池的面積是480平方米，求水池的邊長。

2.四個完全相同的長方形和一個小正方形拼成了一個大正方形（如圖），大正方形的面積是64平方米，小正方形的面積是4平方米，長方形的短邊是多少米？3.已知大正方形比小正方形的邊長多4厘米，大正方形的面積比小正方形面積大96平方厘米（如下圖）。問大小正方形的面積各是多少？【例題5】一塊正方形的鋼板，先截去寬5分米的長方形，又截去寬8分米的長方形（如圖），面積比原來的正方形減少181平方分米。原正方形的邊長是多少？【思路導(dǎo)航】把陰影部分剪下來，并把剪下的兩個小長方形拼起來（如圖），再被上長、寬分別是8分米、5分米的小長方形，這個拼合成的長方形的面積是181+8×5=221平方分米，長是原來正方形的邊長，寬是8+5=13分米。所以，原來正方形的邊長是221÷13=17分米。練習(xí)5：1.一個正方形一條邊減少6分米，另一條邊減少10分米后變?yōu)橐粋€長方形，這個長方形的面積比正方形的面積少260平方米，求原來正方形的邊長。2.一個長方形的木板，如果長減少5分米，寬減少2分米，那么它的面積就減少66平方分米，這時剩下的部分恰好是一個正方形。求原來長方形的面積。3.一塊正方形的的玻璃，長、寬都截去8厘米后，剩下的正方形比原來少448平方厘米，這塊正方形玻璃原來的面積是多大？

第16講巧妙求和一、知識要點某些問題，可以轉(zhuǎn)化為求若干個數(shù)的和，在解決這些問題時，同樣要先判斷是否求某個等差數(shù)列的和。如果是等差數(shù)列求和，才可用等差數(shù)列求和公式。在解決自然數(shù)的數(shù)字問題時，應(yīng)根據(jù)題目的具體特點，有時可考慮將題中的數(shù)適當(dāng)分組，并將每組中的數(shù)合理配對，使問題得以順利解決。二、精講精練【例題1】劉俊讀一本長篇小說，他第一天讀30頁，從第二天起，他每天讀的頁數(shù)都前一天多3頁，第11天讀了60頁，正好讀完。這本書共有多少頁？【思路導(dǎo)航】根據(jù)條件“他每天讀的頁數(shù)都比前一天多3頁”可以知道他每天讀的頁數(shù)是按一定規(guī)律排列的數(shù)，即30、33、36、……57、60。要求這本書共多少頁也就是求出這列數(shù)的和。這列數(shù)是一個等差數(shù)列，首項=30，末項=60，項數(shù)=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（頁）想一想：如果把“第11天”改為“最后一天”該怎樣解答？練習(xí)1：1.劉師傅做一批零件，第一天做了30個，以的每天都比前一天多做2個，第15天做了48個，正好做完。這批零件共有多少個？2.胡茜讀一本故事書，她第一天讀了20頁，從第二天起，每天讀的頁數(shù)都比前一天多5頁。最后一天讀了50頁恰好讀完，這本書共有多少頁？3.麗麗學(xué)英語單詞，第一天學(xué)會了6個，以后每天都比前一天多學(xué)1個，最后一天學(xué)會了16個。麗麗在這些天中學(xué)會了多少個英語單詞？【例題2】30把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試幾次？【思路導(dǎo)航】開第一把鎖時，如果不湊巧，試了29把鑰匙還不行，那所剩的一把就一定能把它打開，即開第一把鎖至多需要試29次；同理，開第二把鎖至多需試28次，開第三把鎖至多需試27次……等打開第29把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能打開。所以，至多需試29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。練習(xí)2：1.有80把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？2.有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試28次，就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各個盒子里的羽毛球只數(shù)不相等？【例題3】某班有51個同學(xué)，畢業(yè)時每人都和其他的每個人握一次手。那么共握了多少次手？【思路導(dǎo)航】假設(shè)51個同學(xué)排成一排，第一個人依次和其他人握手，一共握了50次，第二個依次和剩下的人握手，共握了49次，第三個人握了48次。依次類推，第50個人和剩下的一人握了1次手，這樣，他們握手的次數(shù)和為：50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.練習(xí)3：1.學(xué)校進行乒乓球賽，每個選手都要和其他所有選手各賽一場。如果有21人參加比賽，一共要進行多少場比賽？2.在一次同學(xué)聚會中，一共到43位同學(xué)和4位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他同學(xué)握一次手。那么一共握了多少次手？3.假期里有一些同學(xué)相約每人互通兩次電話，他們一共打了78次電話，問有多少位同學(xué)相約互通電話？【例題4】求1～99這99個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。【思路導(dǎo)航】首先應(yīng)該弄清楚這題是求99個連續(xù)自然數(shù)的數(shù)字之和，而不是求這99個數(shù)之和。為了能方便地解決問題，我們不妨把0算進來（它不影響我們計算數(shù)字之和）計算0～99這100個數(shù)的數(shù)字之和。這100個數(shù)頭尾兩配對后每兩個數(shù)的數(shù)字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50對，所以，1～99這99個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和是18×50=900。練習(xí)4：1.求1～199這199個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。2.求1～999這999個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。3.求1～3000這3000個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。.【例題5】求1～209這209個連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和?！舅悸穼?dǎo)航】不妨先求0～199的所有數(shù)字之和，再求200～209的所有數(shù)字之和，然后把它們合起來。0～199的所有數(shù)字之和為（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～209的所有數(shù)字之和為2×10+1+2+…+9=65。所以，1～209這209個連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和為1900+65=1965。練習(xí)5：1.求1～308連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。2.求1～2009連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。3.求連續(xù)自然數(shù)2000～5000的全部數(shù)字之和。

第17講數(shù)數(shù)圖形一、知識要點我們已經(jīng)認識了線段、角、三角形、長方形等基本圖形，當(dāng)這些圖形重重疊疊地交錯在一起時就構(gòu)成了復(fù)雜的幾何圖形。要想準確地計數(shù)這類圖形中所包含的某一種基本圖形的個數(shù)，就需要仔細地觀察，靈活地運用有關(guān)的知識和思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，才能獲得正確的結(jié)果。要準確、迅速地計數(shù)圖形必須注意以下幾點：1.弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。2.要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。二、精講精練【例題1】數(shù)出下面圖中有多少條線段?！舅悸穼?dǎo)航】要正確解答這類問題，需要我們按照一定的順序來數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。從圖中可以看出，從A點出發(fā)的不同線段有3條：AB、AC、AD；從B點出發(fā)的不同線段有2條：BC、BD；從C點出發(fā)的不同線段有1條：CD。因此，圖中共有3+2+1=6條線段。練習(xí)1：：數(shù)出下列圖中有多少條線段。

（2）（3）【例題2】數(shù)一數(shù)下圖中有多少個銳角?！舅悸穼?dǎo)航】數(shù)角的方法和數(shù)線段的方法類似，圖中的五條射線相當(dāng)于線段上的五個點，因此，要求圖中有多少個銳角，可根據(jù)公式1+2+3……（總射線數(shù)－1）求得：1+2+3+4=10（個）.練習(xí)2：：下列各圖中各有多少個銳角？【例題3】數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個三角形?！舅悸穼?dǎo)航】圖中AD邊上的每一條線段與頂點O構(gòu)成一個三角形，也就是說，AD邊上有幾條線段，就構(gòu)成了幾個三角形，因為AD上有4個點，共有1+2+3=6條線段，所以圖中有6個三角形。練習(xí)3：：數(shù)一數(shù)下面圖中各有多少個三角形。【例題4】數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個三角形。【思路導(dǎo)航】與前一個例子相比，圖中多了一條線段EF，因此三角形的個數(shù)應(yīng)是AD和EF上面的線段與點O所圍成的三角形個數(shù)的和。顯然，以AD上的線段為底邊的三角形也是1+2+3=6個，所以圖中共有6×2=12個三角形。練習(xí)4：：數(shù)一數(shù)下面各圖中各有多少個三角形。【例題5】數(shù)一數(shù)下圖中有多少個長方形?！舅悸穼?dǎo)航】數(shù)長方形與數(shù)線段的方法類似?？梢赃@樣思考，圖中的長方形的個數(shù)取決于AB或CD邊上的線段，AB邊上的線段條數(shù)是1+2+3=6條，所以圖中有6個長方形。練習(xí)5：：數(shù)一數(shù)下面各圖中分別有多少個長方形。

第18講數(shù)數(shù)圖形一、知識要點在解決數(shù)圖形問題時，首先要認真分析圖形的組成規(guī)律，根據(jù)圖形特點選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瓤梢灾饌€計數(shù)，也可以把圖形分成若干個部分，先對每部分按照各自構(gòu)成的規(guī)律數(shù)出圖形的個數(shù)，再把他們的個數(shù)合起來。二、精講精練【例題1】數(shù)一數(shù)下圖中有多少個長方形？【思路導(dǎo)航】圖中的AB邊上有線段1+2