2023屆河北省張家口市逐鹿中學高三4月第二次模擬考試數學試題【含答案】

絕密★啟用前張家口市2023年高三年級第二次模擬考試數學試題注意事項：班級姓名1.答卷前，考生務必將自己的姓名?班級和考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復數在復平面上對應的點為，則（）B.-B.-1C.D.3.已知點為圓上的動點，則直線與圓的位置關系為（）A.相交B.相離C.相切D.相切或相交4.已知向量，若，則實數的值為（）C.-B.1C.-1D.5.2021年5月15日，中國首次火星探測任務天問一號探測器在火星成功著陸.截至目前，祝融號火星車在火星上留下1900多米的“中國腳印”，期待在2050年實現載人登陸火星.已知所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉周期的二次方的比值都相等.若火星與地球的公轉周期之比約為，則地球運行軌道的半長軸與火星運行軌道的半長軸的比值約為（）A.B.C.D.6.探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（）A.B.C.D.7.歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數，且與互質的正整數的個數，例如：.數列滿足，其前項和為，則（）A.1024B.2048C.1023D.20478.已知函數，若曲線上存在點使得，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.中央廣播電視總臺《2023年春節(jié)聯歡晩會》以溫暖人心的精品節(jié)目?亮點滿滿的技術創(chuàng)新?美輪美奐的舞美效果為全球華人送上了一道紅紅火火的文化大?.某機構隨機調查了18位觀眾對2023年春晩節(jié)目的滿意度評分情況，得到如下數據：，.若恰好是這組數據的上四分位數，則的值可能為（）A.83B.84C.85D.8710.將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若恒成立，則（）A.函數的最小正周期為B.函數的圖象的對稱中心為C.函數在上的最小值為1，最大值為D.函數的極小值點為11.已知在棱長為1的正方體中，點為下底面上的動點，則（）A.當在對角線上運動時，三棱錐的體積為定值B.當在對角線上運動時，異面直線與所成角可以取到C.當在對角線上運動時，直線與平面所成角可以取到D.若點到棱的距離是到平面的距離的兩倍，則點的軌跡為橢圓的一部分12.設函數在區(qū)間上有定義，若，使得對于在區(qū)間上的任意，當時，恒有，則稱函數在區(qū)間上一致連續(xù).也就是說，若函數在區(qū)間上一致連續(xù)，對于區(qū)間內任意，只要充分接近，那么與也能夠充分接近，則下列結論正確的是（）A.函數在區(qū)間上一致連續(xù)B.函數在區(qū)間上一致連續(xù)C.函數在區(qū)間上一致連續(xù)D.函數在區(qū)間上一致連續(xù)三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知的展開式的各二項式系數的和為64，則常數項為__________.（用數字作答）14.函數的最小值為__________.15.已知拋物線與軸的交點分別為，點的坐標為，若過三點的圓與軸的另一個交點為，則__________.16.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點作直線交橢圓于兩點，若，則橢圓的離心率為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數列的首項為其前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和為，求證：.18.（本小題滿分12分）在銳角中，角所對的邊分別為，若.（1）求；（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，分別為的中點，平面與底面的交線為.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，試問在直線上是否存在點，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿足？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.20.（本小題滿分12分）已知甲盒中裝有大小質地完全相同的3個白球?2個紅球，乙盒中裝有大小質地完全相同的4個白球?1個紅球.（1）從甲?乙兩盒中各任取兩個球，記取出的球中紅球的個數為隨機變量，求的分布列和數學期望；（2）先從甲盒中任取兩個球放入乙盒，再從乙盒中任取兩個球，求從乙盒中取出兩個白球的概率.21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的一條漸近線為，右焦點為.（1）求雙曲線的方程；（2）若過點作直線交雙曲線的右支于兩點，點滿足，求證：存在兩個定點，使得為定值，并求出這個定值.22.（本小題滿分12分）已知函數.（1）若函數為其定義域上的單調函數，求實數的取值范圍；（2）若函數的極值點為，求證：.張家口市2023年高三年級第二次模擬考試數學參考答案題號123456789101112答案CDCDABCDABCBCABBC1.C解析：由題意可得，于是，，因此.故選C.[命題意圖]本題考查集合的運算及簡單不等式的解法，考查學生的數學運算素養(yǎng).2.D解析：由題意可得，于是，，故.故選D.[命題意圖]本題考查復數的幾何意義以及復數的除法?乘方運算，考查學生的數學運算素養(yǎng).3.C解析：利用圓心距和半徑的關系來確定直線與圓的位置關系.由題意可得，于是，所以，兩者相切.故選C.[命題意圖]本題考查直線與圓的位置關系的判定，考查學生的數學運算和邏輯推理素養(yǎng).4.D解析：由向量數量積的性質可得.于是，，即，所以，.故選D.[命題意圖]本題考查向量的運算及數量積的性質，考查學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng).5.A解析：設地球的公轉周期為，則火星的公轉周期為.設地球?火星運行軌道的半長軸分別為，，則，于是，.故選A.[命題意圖]本題考查函數建模?分數指數冪與根式的互化以及閱讀理解能力，考查學生的數學運算和數學建模素養(yǎng).6.B解析：在縱斷面內，以反射鏡的頂點（即拋物線的頂點）為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標系，如圖，由題意可得.設拋物線的標準方程為，于是，解得.所以，拋物線的焦點到頂點的距離為，即光源到反射鏡頂點的距離為.故選B.[命題意圖]本題考查拋物線的標準方程和幾何性質，考查學生閱讀理解和將實際問題數學化能力.7.C解析：根據歐拉函數的定義可得，一般地，.事實上，表示從1到的正整數中，與互質的正整數的個數，相當于去掉從1到的正整數中所有2的倍數的個數（共個數），因此，.所以，.故選C.[命題意圖]本題考查數學新定義及數列求和，考查學生靈活運用新定義分析和解決問題的能力，考查學生邏輯推理和數學運算素養(yǎng).8.D解析：由題意可得，函數為增函數.若，則；同理，若，則，均與題設條件不符.由可得，且.因此，關于的方程在上有解，整理得在上有解.設，則為上的減函數，注意到，故，從而函數在上單調遞增.所以，.因此，實數的取值范圍是.故選D.[命題意圖]本題考查函數的圖象與性質?函數的零點的綜合運用，考查學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng).9.ABC解析：顯然不是最小的數，也不是最大的數.由于上四分位數即第75百分位數，于是13.5，將這些數據按照從小到大排列后，第14個數為上四分位數.而除去后，從小到大排列得到的第13個數為83，所以的可能取值為.故選ABC.[命題意圖]本題考查統(tǒng)計中的百分位數，考查學生的數據分析和數學運算素養(yǎng).10.BC解析：由題意，.將其圖象向左平移個單位長度，得到函數，而恒成立，即函數為偶函數，于是.又，所以，，因此，函數.所以，函數的最小正周期為錯誤；由，即時，，因此，函數的圖象的對稱中心為，B正確；當時，，所以在上的最小值為1，最大值為，C正確；令，即為函數的極小值點，錯誤.故選BC.[命題意圖]本題考查三角函數的恒等變換?三角函數的圖象性質與三角函數圖象的變換，考查學生的代數變形能力和數學運算素養(yǎng).11.AB解析：當在對角線上運動時，平面，從而點到平面的距離為定值，從而三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，正確；以為原點，分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，則，由在對角線上運動，，，于是.假設存在點滿足異面直線與所成角為，因此，，解得.所以，異面直線與所成角可以取到，B正確；注意到直線平面，所以，平面的一個法向量為，于是，，解得.所以，錯誤；注意到點到棱的距離為，過點作的垂線，垂足為，則點到平面的距離為，在平面內，動點到定點的距離與到定直線的距離之比為2，即動點的軌跡在雙曲線上，錯誤.故選.[命題意圖]本題考查立體幾何中動點軌跡，異面直線所成角?線面角的計算，考查利用空間向量處理空間角，利用圓錐曲線的定義確定立體幾何中動點的軌跡，考查學生的邏輯推理?直觀想象和數學運算素養(yǎng).12.BC解析：對于選項，令，當充分大時，；另一方面，，不滿足，因此，函數在上不一致連續(xù).對于選項，令，且，則，取，當，且時，，所以，函數在區(qū)間上一致連續(xù).對于選項，取，當時，有，因此，函數在區(qū)間上一致連續(xù).利用題目給出的一致連續(xù)的定義，我們可以得到函數在區(qū)間不一致連續(xù)的定義：對給定的某正數，不論取值多么小，總至少有，，滿足，但，則稱函數在區(qū)間不一致連續(xù).對于選項，對給定的充分小，不妨設，取，則，但，這說明，函數在區(qū)間上不一致連續(xù).故選BC.[命題意圖]本題考查學生閱讀理解能力及邏輯推理素養(yǎng)，考查學生靈活運用所學知識解決問題的能力.13.-160解析：由題意可得，于是，.設第項為常數項，則，即，解得.所以，該展開式的常數項為.[命題意圖]本題考查二項展開式通項公式以及二項式系數的性質，考查學生的數學運算素養(yǎng).14.1解析：函數的定義域為.由復合函數的單調性可知，在上單調遞減，在上單調遞增.而.所以，函數的最小值為1.[命題意圖]本題考查函數的單調性及應用求最值，考查學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng).15.1解析：由題意可得，點在拋物線上，且點在軸上方，即.設過，三點的圓的方程為.令，則有；令，則有.設的橫坐標分別為，則也為方程的根，由韋達定理可得，；同理，為方程的根，由韋達定理可得.因此，，即.[命題意圖]本題考查圓的定義及方程的應用，考查學生的數學抽象能力和數學運算素養(yǎng).16.解析：如圖，由，可得，又，故，且.設，則，而，于是.由橢圓的定義可知，，即.延長交橢圓于點，連接，則由橢圓的對稱性可知，.又，故，即為等腰三角形，于是，.在中，設，由余弦定理可得，即.所以，橢圓的離心率為.[命題意圖]本題考查橢圓的定義?幾何性質?離心率的計算，考查學生數形結合?邏輯推理?直觀想象和數學運算素養(yǎng).17.解：（1）由題意，當時，.當時，.又，所以，當時，有，即.這表明從第二項起，數列是以為首項的常數列，即.所以，數列的通項公式為（2）由（1）可得，.當時，，所以，.綜上所述，對，都有.[命題意圖]本題考查利用遞推關系確定數列的通項公式以及數列求和方法，考查學生的邏輯推理能力和數學運算素養(yǎng).18.解：（1）由，得，即，又，所以.因為，所以，.（2）由題意可得恒成立.由余弦定理可得，于是，.所以，則，由正弦定理得.在銳角中，，則，且，故，所以，所以因此，，于是，.所以，實數的取值范圍是.[命題意圖]本題考查利用正弦定理?余弦定理解三角形問題，考查邊元結構的取值范圍，考查學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng).19.解：（1）由題意可得，，又平面平面，所以，平面.又平面，平面與底面的交線為，所以，.從而，，而平面平面，所以，平面.（2）由（1）可知，在底面內過點作的平行線，即平面與底面的交線.由題意可得，即.故的面積.設，點到平面的距離為，則，于是.注意到側面是邊長為2的正三角形，取的中點記為，連接，則，從而平面.取的中點記為，連接，則.于是，以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，則，設.于是，.設平面的法向量為，則，，即取，，則，即.又直線與平面所成角為，于是，而異面直線所成角為，于是，假設存在點滿足題設，則，整理得.所以，這樣的點存在，且有.[命題意圖]本題考查立體幾何中的面與面的交線?線面平行?線面垂直?線面角與異面直線所成角的計算，考查學生的邏輯推理能力和數學表達能力.20.解：（1）由題意可得，隨機變量的所有可能取值為.表示從甲?乙兩盒中取出的都是白球，故；表示甲盒中取出1個白球1個紅球?乙盒中取出2個白球或甲盒中取出2個白球?乙盒中取出1個白球1個紅球，故；表示從甲盒中取出2個紅球?乙盒中取出1個白球1個紅球，故.于是，.所以，隨機變量的分布列為0123數學期望為.（2）設事件：從甲盒中取出兩個紅球，事件：從甲盒中取出兩個白球，事件：從甲盒中取出一個紅球一個白球，事件：從乙盒中取出兩個白球.則兩兩互斥，且.且于是所以，從甲盒中任取兩個球放入乙盒后，從乙盒中取出兩個白球的概率為.[命題意圖]本題考查概率與統(tǒng)計