變量間的相關(guān)關(guān)系講義

變量間的相關(guān)關(guān)系講義兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系(如：函數(shù)關(guān)系)，或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是學(xué)成績(jī)好壞與物理成績(jī)的關(guān)系等都是相關(guān)關(guān)系。則變量之間具有相關(guān)關(guān)系(不確定性的關(guān)系)，如果所有樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系只說(shuō)明兩個(gè)變量在數(shù)量上的關(guān)系，不表明他們之間的因果關(guān)系，也可能是一種伴隨關(guān)系。s的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如一塊農(nóng)田的小麥產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)隨機(jī)變是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。1.在考慮兩個(gè)量的關(guān)系時(shí)，為了對(duì)變量之間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解，人們常將變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來(lái)，這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖，通常稱(chēng)這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖。2.從散點(diǎn)圖可以看出如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)集中的大致趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來(lái)近似，這種近似的過(guò)程稱(chēng)為曲線擬合。3.對(duì)于相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的的值也由小變大，這種相關(guān)稱(chēng)為正相關(guān)，正相關(guān)時(shí)散點(diǎn)圖的點(diǎn)散布在從左下角到由上角的區(qū)域內(nèi)。從左上角到右下角的區(qū)域。找出來(lái)，其橫點(diǎn)的分布，如果點(diǎn)的分布大學(xué)生的身高和學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)就沒(méi)有相關(guān)關(guān)系。點(diǎn)睛：散點(diǎn)圖又稱(chēng)散點(diǎn)分布圖，是以一個(gè)變量為橫坐標(biāo)，另一變量為縱坐標(biāo)，利用散點(diǎn)(坐標(biāo)點(diǎn))的分布形態(tài)反映變量統(tǒng)計(jì)關(guān)系的一種圖形。特點(diǎn)是能直觀表現(xiàn)出影響因素和預(yù)測(cè)對(duì)象之間的總體關(guān)系趨勢(shì)。優(yōu)點(diǎn)是能通過(guò)直觀的關(guān)系。散點(diǎn)圖不僅可傳遞變量間關(guān)系類(lèi)型的信息，也能反映變量間關(guān)系的明確程度 (1)回歸直線的定義 (2)回歸直線的特征如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡(jiǎn)稱(chēng)回歸方程)，那么我們就可以比較清楚的了解對(duì)應(yīng)兩個(gè)變量之間的相關(guān)性，就像平均數(shù)可以作為一個(gè)變量的數(shù)據(jù)的代表一樣，這條直線也可以作為兩個(gè)變量之間具有相關(guān)關(guān)系的代表。(3)回歸直線方程xynnxiyiin致分布在點(diǎn)睛：1)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)整體上分布在一條直線附近時(shí)，可以應(yīng)用線性回歸分析的方法分析數(shù)據(jù)；2)回歸直線是反映：“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離的和最小”的一條直線，它反映了具有線性相關(guān)關(guān)系的3)我們可以通過(guò)回歸直線方程，由一個(gè)變量的值來(lái)推測(cè)另一個(gè)變量的值，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題；這種方法稱(chēng)為回歸方法1122nniiiiiii2，……，n)這樣用n個(gè)偏差的和來(lái)刻畫(huà)“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的。總的偏差為n(y)，iii=1偏差有正有負(fù)，易抵消，所以采用絕對(duì)值ny，由于帶絕對(duì)值計(jì)算不方便所以換成平方，iii=1ii112233nni=1b==②(其中x=1nx，iin(xx)2nx2nx2ni=1iiinini=1這種通過(guò)求①式的最小值而得到回歸i=1i=1直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法。2.回歸直線方程的求法①先判斷變量是否線性相關(guān)③利用回歸方程對(duì)生活實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)x的系數(shù)是b，常數(shù)項(xiàng)是a，與直線的斜截式不大一樣，②如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布從整體上看不在任何一條直線附近，這時(shí)求出的線性回歸方程實(shí)用價(jià)值不大。xxnynx2y2x3y3xyxy1122nn方程,該方程所表示的直線稱(chēng)為回歸直線知識(shí)點(diǎn)5：線性回歸分析思想在實(shí)際中的應(yīng)用用這種分析方法可以對(duì)生活中的很多問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)，求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù)x,y；計(jì)算x與y的積，求xxy；計(jì)算xx2；將結(jié)果代入公式求a；iiiii注意：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a,b的計(jì)算公式，算判斷線性相關(guān)程度最小二乘法求出回歸直線的方程后，可以對(duì)上面兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)，如圖前兩個(gè)是線性相關(guān)，可以求回歸方程，后兩個(gè)是非線性相關(guān)，直線不能很好地反映圖中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。顯相關(guān)系數(shù)xn(x-x)(y-y)iirrxn(x-x)2xn(y-y)2iiij=1點(diǎn)睛：相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，線性相關(guān)關(guān)系就越強(qiáng)。 A、圓的面積與半徑B、球的體積與半徑C、角度與它的正弦值D學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)解：D量之關(guān)系呢？你能舉出更多的描述生活中兩變量相關(guān)關(guān)系的成語(yǔ)與俗語(yǔ)嗎？至少寫(xiě)兩個(gè)。思路分析：名師出高徒的意思是有名的教師一定能教出高明的徒弟，高水平教師有很大趨勢(shì)教出高水平的學(xué)生，實(shí)際學(xué)生成績(jī)的好壞還與很多因素有關(guān)，如學(xué)生的天賦，學(xué)生的努力，學(xué)習(xí)的環(huán)境等，所以它們之間的關(guān)系帶有為相關(guān)關(guān)系。解：教師的水平與學(xué)生的水平之間具有相關(guān)關(guān)系生活中描述兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的成語(yǔ)或俗語(yǔ)還有：老子英雄兒好漢，強(qiáng)將手下無(wú)弱兵，虎父無(wú)犬子知識(shí)點(diǎn)2iiii2，…，10)，得散點(diǎn)圖2．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()之間的關(guān)系，是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)：5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚河缮Ⅻc(diǎn)圖判斷它們是否相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？例5：下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料，寫(xiě)出線性回歸方程iiiiiii=1i=1i=1例6：有一位同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣(mài)部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到了一個(gè)熱飲杯數(shù)與當(dāng)天A、140B、143C、152D、156思路分析：∵一個(gè)熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫之間的線性關(guān)系，其回歸方程為y^=+．如果某天氣溫為-2℃時(shí)，即x=-2，則該小賣(mài)部大約能賣(mài)出熱飲的杯數(shù)y=×(-2)+=≈152例7：某縣教研室要分析學(xué)生初中升學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)有什么影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽選10名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)(如下表)：(1)對(duì)變量x與y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程；若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是80分，試估測(cè)他高一期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)運(yùn)算過(guò)程中不要出錯(cuò)．(2)將x=80代入所求出的線性回歸方程中，得y=8分，即這個(gè)學(xué)生的高一期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)預(yù)測(cè)值為84分最小二乘法可以寫(xiě)出因此所求的線性回歸方程y=+(2)將x=80代入所求出的線性回歸方程中，線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析和控制，依據(jù)自變量的取值估計(jì)和預(yù)報(bào)因變量的值，在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用為10萬(wàn)元時(shí)，所得的銷(xiāo)售收入例9：一臺(tái)機(jī)器使用的時(shí)間較長(zhǎng)，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小(1)利用散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)r的大小判斷變量y對(duì)x是否線性相關(guān)？為什么？(2)如果y對(duì)x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；思路分析：(1)利用所給的數(shù)據(jù)做出兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)，得到相關(guān)系數(shù)趨近于1，得到兩個(gè)變量具有線性相關(guān)(2)先做出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，做出利用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)的量，做出系數(shù)，求出a，寫(xiě)出線性回歸方程．(3)根據(jù)上一問(wèn)做出的線性回歸方程，使得函數(shù)值小于或等于10，解出不等式．例方法詳析產(chǎn)品銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)的投入例10：下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系()A、出租車(chē)費(fèi)與行駛的里程B、房屋面積與房屋價(jià)格C、人的身高與體重D、鐵塊的大小與質(zhì)量故ABC因素，故是相關(guān)關(guān)系．從而得出正確答案．C，故C對(duì)；與t之間關(guān)系的是()綜合技能提升量之間整體關(guān)系的了解。在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間x的一組數(shù)據(jù)如表所示：(1)畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，你能得出什么結(jié)論？(3)求回歸方程．23)點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到散點(diǎn)圖．(2)散點(diǎn)圖呈帶狀分布，x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且對(duì)應(yīng)n組觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線(3)計(jì)算得r=＞．x與y有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，做出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，利用最小二乘法做出回歸直線方直線方程．在坐標(biāo)系中得到散點(diǎn)圖如圖所示xy應(yīng)n組觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近，(3)計(jì)算得r=＞．xˉ=5+10+15+20+30+40+50+60yˉ=6+10+11+13+16+17+19+23計(jì)算器計(jì)算得a^=≈，b^=≈，1、下列選項(xiàng)中，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是()A、正方形的面積與周長(zhǎng)B、勻速行駛車(chē)輛的行駛路程與時(shí)間C、人的身高與體重D、人的身高與視力C2、下列變量關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是()①家庭的經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系；③學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系；④學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系．師的執(zhí)教水平生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間沒(méi)有關(guān)系；所以③不是；對(duì)于④，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績(jī)之間有關(guān)系，但關(guān)系不確定；所以是相關(guān)關(guān)系，學(xué)法指學(xué)法指導(dǎo)考查了兩個(gè)變量之間具有相關(guān)關(guān)系的定義，根據(jù)學(xué)過(guò)公式和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行逐項(xiàng)驗(yàn)證，一定要和函數(shù)關(guān)系區(qū)別出來(lái)．3.在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面哪個(gè)敘述是正確的()C、可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量x軸上D、可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量y軸上B4.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=b^x+a^；0甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×+4×3+5×4+6×=)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)本題考查散點(diǎn)圖，是通