導數(shù)恒成立問題-洛必達法則的妙用

洛必達法則沈陽市第十一中學數(shù)學組趙擁權洛必達法則：設函數(shù)f(x)、g(x)滿足：limf(x)=limg(x)=0 (1)xaxa；(2)在Uo(a)內，f(x)和g(x)都存在，且g(x)0；lim=Aflim=A(3)xag(x)(A可為實數(shù)，也可以是士).limAf(limA則xag(x)xag(x).(可連環(huán)使用)注意使用洛必達法則時，是對分子、分母分別求導，而不是對它們的商求導，求導之后再利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。多次使用，直到求出極限為止。即當a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．g2)，當x2)，當x>0時==()====1(Ⅰ)設a>0，討論y=f(x)的單調性；(Ⅱ)若對任意x(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范圍.f,(x)(x解法(二)fxfx(Ⅱ)若對所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍．解法(一)：令g(x)=f(x)ax，則1211解解法(二)：(1)x=0時都成立。((兩次求導)由洛必塔法則：(2)(===2(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調區(qū)間;(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍22綜合得a的取值范圍為(一w].2x2x2x3x3x2x)0x)0x2x)02xx)022gx2222xfx，求a的取值范圍.3(Ⅱ)應用洛必達法則和導數(shù)xx單調遞增.x)0x)0xx)01即當x)0時，g(x))1(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間；(Ⅱ)如果對任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范圍．cosx3333當a≤0時，有fπ10≥agπ．2223(Ⅱ)應用洛必達法則和導數(shù)f(x)sinx2若x0，則sinx2xxx)0x)0x(2+x)0x)0x(2+cosx)lim=x)02+cosx-xsinx3.⑵f(x)的單調區(qū)間和極值;圍;若不存在,試說明理由.數(shù)，且有2n2n0020a0(Ⅰ)f,(x)=恒成立，所以只需對一對一切(Ⅰ)證明：當x1時，f(x)xx1；xa(Ⅱ)應用洛必達法則和導數(shù)axx0，f(x)x不成立；aax1ax1若x0，則1exx記g(x)xexex1，則g'(x)e2xx2ex2ex1=ex(exx22ex)xexx(xexx)2(xexx)2.limg(x)limxexex1limxexlimexxex1，即當x0時，x0x0xexxx0exxex1x02exxex22222已知函數(shù)f(x)alnxb，曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x2y30.x1x(Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)如果當x0，且x1時，f(x)lnxk，求k的取值范圍.x1x(Ⅱ)方法一：分類討論、假設反證法由(Ⅰ)知f(x)lnx1，所以f(x)(lnxk)1(2lnx(k1)(x21))x1xx1x1x2x.考慮函數(shù)h(x)2lnx(k1)(x21)(x0)，則h'(x)(k1)(x21)2xxx2x2xhxhxxhx0，可得1x2x1xx1x (ii)當0k1時，由于當x(1,1)時，(k1)(x21)2x0，故h'(x)0，而 解法二：當x0，且x1時，f(x)lnxk，即lnx1lnxk，x1xx1xx1x記h(x)lnx1x2，則h'(x)1+4x=(1x2)20，x21x(1+x2)2x(1+x2)26xxxx11x2x12xxxfxlnxk成立，k的取值范圍為(，0].x1xxaxxa2當x(0,)時，原不等式等價于axsinx.2x3x3x4222且g(x)0，故f'(x)g(x)0，因此f(x)xsinx在(0,)上單調遞減.x4x32x0x0x3x03x2x06xx0660故a時，不等式sinxxax3對于x(0,)恒成立.62(2)若f(1)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有零點，求a的取值范圍(1)設a=1，討論f(x)的單調性；(2)若對任意x(0,1)，f(x)2，求實數(shù)a的取值范圍(1)當a0時，f(x)0．不合題意．0使得m(x)0，對任意x(x,1)，m(x)0，h(x)0，h(x)在(x,1)上是減函數(shù)，000又h(1)0，所以x(x,1)，h(x)0．不合題意．在(在(0，1)單調遞減∴∴g(x)在(0,1)單調遞增，由洛必達法則=單調遞增，由洛必達法則以(Ⅰ)求a，b的值；22000032(2),g(x)=gx增，由洛必達法則幾幾2x2xx22220200202一]0+Zxg,(x)x0000222幾2x2幾2所以，若))證明：當)證明：當時f(x)nxab對任意x(0,)恒成立，則a的最大值為，b的最小值為nxx2幾((1解：解：(1)略(2)已知，①當②②③