全等三角形之截長補(bǔ)短法

word格式-可編輯-感謝下載支持例題1如圖所示，在RtAABC中，NC=90°,BC=AC,AD平分NBAC交BC于D,求證：AB=AC+CD.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：利用已知條件，求得NB=NE,N2=N1,AD=AD,得出△ABD四△AED(AAS),，AE=AB.：AE=AC+CE=AC+CD,.??AB=AC+CD.解答： 證法一：如答圖所示，延長AC,至UE使?！??？?，連接DE.VZACB=90°,AC=BC,CE=CD,AZB=ZCAB=45°,ZE=ZCDE=45°,AZB=ZE.?「AD平分NBAC,AZ1=Z2在^ABD和^AED中，ZB=ZE,Z2=Z1,AD=AD,「.△ABD絲AAED(AAS)..??AE=AB.VAE=AC+CE=AC+CD,.??AB=AC+CD.證法二：如答圖所示，在AB上截取人￡=人。，連接DE,VAD平分NBAC,AZ1=Z2.在^ACD和^AED中，AC=AE,Z1=Z2,AD=AD,「.△ACD絲AAED(SAS).AZAED=ZC=90,CD=ED,XVAC=BC,「.NB=45°.AZEDB=ZB=45°.

word格式-可編輯-感謝下載支持.?.DE=BE,.??CD=BE.VAB=AE+BE,.??AB=AC+CD.點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；通過SAS的條件證明三角形全等，利用三角形全等得出的結(jié)論來求得三角形各邊之間的關(guān)系.例題21圖，AD是^ABC中BC邊上的中線，求證：AD<((AB+AC).考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系專題：計(jì)算題分析：可延長AD到E,使AD=DE,連BE,則4ACD絲4EBD得BE=AC,進(jìn)而在4ABE中利用三角形三邊關(guān)系，證之.解答： 三 證明：如圖延長AD至E,使人口=口￡,連接BE.?「BD=DC,AD=DE,NADC=NEDB.?.△ACD四△EBD，AC=BE(AB+AC)在AABE中，AEVAB+BE,即2AD<AB+AC/.(AB+AC)點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題，能夠熟練掌握.在^ABC中，NACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且ADXMN于D,BEXMN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；word格式-可編輯-感謝下載支持(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系.圖】 圖2 圖3考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形專題：證明題分析：(1)由已知AC=BC,ZADC=ZCEB=90°,利用互余關(guān)系可證NDAC=NECB,可證4人。口絲△CBE,得AD=CE,CD=BE,故AD+BE=CE+CD=DE；(2)此時(shí)，仍有AACD四△CBE,AD=CE,CD=BE,利用線段的和差關(guān)系得DE=AD-BE.解答：證明：（1）；NDAC+NACD=90°,NACD+NECB=90°,AZDAC=ZECB,yVAC=BC,ZADC=ZCEB=90°,...△ACD四△CBE,...AD=CE,CD=BE,...DE=CE+CD=AD+BE；(2)DE=BE-AD.仿照(1)可證AACD四△CBE,...AD=CE,CD=BE,.??DE=CD-CE=BE-AD.點(diǎn)評：本題考查了用旋轉(zhuǎn)法尋找證明三角形全等的條件，關(guān)鍵是利用全等三角形對應(yīng)線段相等，將有關(guān)線段進(jìn)如圖，點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)部，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對稱點(diǎn)，線段MN交OA、OB于點(diǎn)E、1=,若4PEF的周長是20cm,則線段MN的長是20word格式-可編輯-感謝下載支持cm.考點(diǎn)：軸對稱的性質(zhì)分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：EP=EM,PF=FN,所以線段MN的長=^PEF的周長.解答：解：根據(jù)題意，EP=EM,PF=FN,AMN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=APEF的周長，，MN=20cm.點(diǎn)評：主要考查了軸對稱的性質(zhì)：對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等.(1)如圖所示，已知4人8。中，NABC、NACB的平分線相交于點(diǎn)O.試說明NBOC=90°+$\frac{1}{2}$NA；(2)如圖所示，在^ABC中，BD、CD分別是NABC、NACB的外角平分線.試說明ND=90°-$\frac{1}{2}$NA；(3)如圖所示，已知BD為^ABC的角平分線，CD為^ABC外角NACE的平分線，且與BD交于點(diǎn)D,試說明NA=2ZD.分析：(1)根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)可得，ZBOC+ZOCB=90°-$\frac{1}{2}$ZA,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得ZBOC=90°+$\frac{1}{2}$ZA；(2)根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得ZBCD=$\frac{1}{2}$(ZA+ZABC)、ZDBC=$\frac{1}{2}$(ZA+ZACB)；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得ZBDC=90°-$\frac{1}{2}$ZA；(3)根據(jù)BD為^ABC的角平分線，CD為^ABC外角ZACE的平分線，可知，ZA=180°-Z1-Z3,ZD=180°-Z4=Z5=180°-Z3-$\frac{1}{2}$(ZA+2Z1),兩式聯(lián)立可得2ZD=ZA.

word格式-可編輯-感謝下載支持解答：解：(1)二?在^ABC中，OB、OC分別是NABC、NACB的平分線，NA為x°AZBOC+ZOCB=$\frac{1}{2}$(180°-NA)=$\frac{1}{2}$x(180°-x°)=90°-$\frac{1}{2}$NA故NBOC=180°-(90°-$\frac{1}{2}$NA)=90°+$\frac{1}{2}$NA；(2)：BD、CD為^ABC兩外角NDBC、NBCE的平分線NA為x°.?.NBCD=$\frac{1}{2}$(NA+NABC)、NDBC=$\frac{1}{2}$(NA+NACB)由三角形內(nèi)角和定理得，NBDC=180°-NBCD-NDBC=180°-$\frac{1}{2}$[NA+(NA+NABC+NACB)]=180°-$\frac{1}{2}$(NA+180°)=90°-$\frac{1}{2}$NA；(3)如圖：???BD為^ABC的角平分線，CD為^ABC外角NACE的平分線，N1=N2,N5=$\frac{1}{2}$(NA+2N1),N3=N4,在^ABE中，NA=180°-N1-N3——①在^CDE中，ND=180°-N4-N5=180°-N3-$\frac{1}{2}$(NA+2N1),即2ND=360°-2N3-NA-2NA-----②，把①代入②得2把①代入②得2ND=NA.點(diǎn)評：此類題目比較簡單，考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學(xué)階段的常規(guī)題.如圖，直線a、b、c表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站.要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有4處.考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；直線與圓的位置關(guān)系專題：應(yīng)用題分析：依題意可作四個(gè)圓分別與三條直線相切，其中三個(gè)在三角形外部，一個(gè)在三角形內(nèi)部，其圓心就是可供選擇的地址.word格式-可編輯-感謝下載支持解答：解：可作四個(gè)圓分別與三條直線相切，其中三個(gè)在三角形外部，一個(gè)在三角形內(nèi)部.故填4.點(diǎn)評：本題涉及圓的相關(guān)知識，難度中等.如圖甲所示，在4ABC中，AB=AC,在底邊BC上有任意一點(diǎn)P,則P點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+PE=CF,若P點(diǎn)在BC的延長線上，那么請你猜想PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積專題：證明題111分析：猜想：PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF.根據(jù)?.$△%『3ABHD,S.PAC=^AC-PE,S.CAB=^AB-CF,S1111△PAC=2aB-PE,：AB-PD=2ab-CF+qAB-PE,即可求證.解答：猜想：PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF.證明：連接AP，則sapac+Sacab=Sapab，111,?Sapab=2AB-PD，S"=2aC-PE，Sacab=2AB-CF,XVAB=AC,1???S"=Abhe，111...^AB-PD=訝AB-CF+力AB-PE，11即：AB(PE+CF)=5AB-PD，，PD=PE+PF.點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難度適中，關(guān)鍵是先猜想出PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF再證明.word格式-可編輯-感謝下載支持如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，延長BC到E使CE=CD,試判斷4BDE的形狀.考點(diǎn)：等腰三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)分析：因?yàn)閊ABC是等邊三角形，所以NABC=NACB=60°,BD是AC邊上的中線，則NDBC=30°,再由題中條件求出NE=30°,即可判斷4BDE的形狀.解答：證明：:△ABC是等邊三角形AZABC=ZACB=60°/AD=CD1AZDBC=2ZABC=30°/CE=CDAZCDE=ZEZACB=ZCDE+ZEAZE=30°AZDBE=ZE.?.BD=DE...△BDE是等腰三角形.點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；此題把等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定結(jié)合求解.考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，得到NE=30°是正確解答本題的關(guān)鍵.（2007吉林）某家電商場經(jīng)銷A,B,C三種品牌的彩電，五月份共獲利48000元.已知A種品牌彩電每臺可獲利100元，B種品牌彩電每臺可獲利144元，C種品牌彩電每臺可獲利360元.請你根據(jù)相關(guān)信息，補(bǔ)全彩電銷售臺數(shù)的條形wordword格式-可編輯-感謝下載支持圖和所獲利潤的百分?jǐn)?shù)的扇形圖.臺數(shù) 各品牌彩電銷售臺救含品牌莪電所獲利潤的百分?jǐn)?shù)臺數(shù) 各品牌彩電銷售臺救含品牌莪電所獲利潤的百分?jǐn)?shù)120120100S0604020AC品牌120120100S0604020AC品牌圖①圖②圖①圖②考點(diǎn)?：：扇形統(tǒng)計(jì)圖考點(diǎn)?：：扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖專題:圖表型分析:根據(jù)獲利總數(shù)與扇形圖，可計(jì)算出B型彩電的獲利，進(jìn)而求出B型彩電的數(shù)目；接著可求出C型彩電的獲利和臺數(shù)；利用A、C型的獲利和獲利總數(shù)分別求出它們所獲利潤的百分?jǐn)?shù)，進(jìn)而補(bǔ)全彩電銷售臺數(shù)的條形圖和所獲利潤的百分?jǐn)?shù)的扇形圖即可.分析:解答：解：根據(jù)題意可得：五月份共獲利48000元，B種品牌彩電獲利占30%,即獲利48000x30%=14400元，故B種品牌彩電的臺數(shù)為14400-144=100臺，則C種品牌彩的臺數(shù)為(48000-120x100-14400)-360=60臺；據(jù)此可補(bǔ)全條(4(4分)五月份共賣出(120+100+60)=280臺，其中A種品牌彩電120臺，占獲利的25%,B種品牌彩100臺占獲利的30%,C種品牌彩電60臺，占獲利的45%,據(jù)此可補(bǔ)全扇形圖.word格式-可編輯-感謝下載支持各品牌豹電所獲利潤的百分敷圖② （6分）說明：條形圖中每畫對1個(gè)條形圖得（2分）.扇形圖中每填對1個(gè)扇形得（1分）.扇形圖中若標(biāo)成表示A，C計(jì)算的百分?jǐn)?shù)正確，填圖不正確，扣（1）.如另畫扇形圖正確也得分.點(diǎn)評：本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖中各部分占總體的百分比之和為1,能直接反映部分占總體的百分比大小.如圖所示，已知EAXAB于點(diǎn)A,CDXDF于點(diǎn)D,AB〃CD,請判斷EA與DF的位置關(guān)系，并說明理由.考點(diǎn)：平行線的判定；垂線；平行線的性質(zhì)專題：探究型分析：首先由AB〃CD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到/BADnNADC,再根據(jù)垂直的定義得到NEAB=NCDF=90°,貝UNEAB+NBAD=NCDF+NADC,即NEAD=NADF,滿足關(guān)于EA〃DF的條件：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.解答：解：EA〃DF.理由如下：VEAXAB于點(diǎn)A,CDXDF于點(diǎn)D（已知），...NEAB=90°,NCDF=90°（垂直定義）.

wordword格式-可編輯-感謝下載支持?「AB〃CD（已知），AZBAD=ZADC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），...NEAB+NBAD=NCDF+NADC,即NEAD=NADF,.?.EA〃DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義以及平行線的判定定理.（2002?河南）如圖，AB〃CD,直線EF分別交AB、CD于E、F,EG平分NBEF,若N1=72°,則N2=54度.考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；角平分線的定義專題：計(jì)算題分析：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可求出NFEB,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得到NBEG,然后用兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出N2.解答：解：:人8〃?？冢珹ZBEF=180°-Z1=180°-72°=108°,Z2=ZBEG,又TEG平分NBEF,x108°=54°,1AZBEG=2ZBEF=x108°=54°,故N2=NBEG=54°.點(diǎn)評：本題應(yīng)用的知識點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ).3（2006?大連）在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，從盒中隨機(jī)地取出一個(gè)棋子，如果它是黑色棋子的概率是S.（1）試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.1（2）若往盒中再放進(jìn)10顆黑色棋子，則取得黑色棋子的概率變?yōu)榧忧髕和y的值.

word格式-可編輯-感謝下載支持考點(diǎn)：概率公式；二元一次方程組的應(yīng)用word格式-可編輯-感謝下載支持考點(diǎn)：概率公式；二元一次方程組的應(yīng)用分析：（1）根據(jù)概率的求法：在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，共x+y顆棋子，如果它是黑色棋子的概率是3 —3呂，有—*成立.化簡可得y與x的函數(shù)關(guān)系式;（2）若往盒中再放進(jìn)10顆黑色棋子，在盒中有10+x+y顆棋子，則取得黑色棋子的概率變?yōu)镮工十廠8\-r+10_1得產(chǎn)十”1° 4解可得x=15,y=25..1-2結(jié)合（1）的條件，可解答：解：（1）根據(jù)題意得:整理，得8x=3x+3y,（4分）3-8

--yE十53^

--（2）解法一：根據(jù)題意，得2+y+i口整理，得2x+20=x+y+10,，y=x+10,(8分)...5x=3(x+10),...x=15,y=25.f^_3I工十廠8\-r+10_1解法二：（2）根據(jù)題意，可得十冢十”：’5工一函=0整理得［y=^+10,解得.（8分）點(diǎn)評：此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=2.如圖，在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)E,連接BP交AC于點(diǎn)F.（1）證明：NCAE=NCBF；(2)證明：AE=BF.

word格式-可編輯-感謝下載支持考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)專題：證明題分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CH平分NACB,再證明4ACE和4BCF全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等和全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明.解答：(1)證明：在等腰^ABC中，VCH是底邊上的高線，AC=BC^ACH=或BCHCF=CFAZACH=ZBCHAC=BC^ACH=或BCHCF=CF在△ACE和ABCF中， 、s—s ,AAACE^ABCF(SAS),AZCAE=ZCBF(全等三角形對應(yīng)角相等)；(2)V△ACE^^BCF(SAS),...AE=BF