2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八章第2節(jié)　空間幾何體的表面積和體積

第2節(jié)空間幾何體的表面積和體積考綱要求了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式．知識(shí)梳理1．多面體的表(側(cè))面積多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR31．正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.2．長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).3．正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng))．診斷自測(cè)1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積．()(2)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方．()(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．()(4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確．(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確．2．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cm答案B解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.3.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_(kāi)_______．答案1∶47解析設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出棱錐的體積為V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc.所以V1∶V2＝1∶47.4．(2020·天津卷)若棱長(zhǎng)為2eq\r(3)的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12π B．24π C．36π D．144π答案C解析設(shè)球的半徑為R，由題意知球的直徑2R＝eq\r(2\r(3)2＋2\r(3)2＋2\r(3)2)，得R＝3，該球的表面積S＝4πR2＝36π.故選C.5．(2020·全國(guó)Ⅲ卷)如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是()A．6＋4eq\r(2) B．4＋4eq\r(2)C．6＋2eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)答案C解析由三視圖知，該幾何體為從同一點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直的三棱錐P－ABC，其中PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AP＝2，所以PB＝PC＝BC＝2eq\r(2)，故其表面積S＝S△PAB＋S△PAC＋S△ABC＋S△PBC＝3S△PAB＋S△PBC＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝6＋2eq\r(3).故選C.6．(2020·浙江卷)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是__________．答案1解析如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，可知eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積與側(cè)面積1．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12π C．8eq\r(2)π D．10π答案B解析由題意知，圓柱的軸截面是一個(gè)面積為8的正方形，則圓柱的高與底面直徑均為2eq\r(2).設(shè)圓柱的底面半徑為r，則2r＝2eq\r(2)，得r＝eq\r(2).所以圓柱的表面積S圓柱＝2πr2＋2πrh＝2π(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝4π＋8π＝12π.2．(2020·北京卷)某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為()A．6＋eq\r(3) B．6＋2eq\r(3)C．12＋eq\r(3) D．12＋2eq\r(3)答案D解析由三視圖知該幾何體為正棱柱，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為2，則表面積為S＝2S底＋S側(cè)＝2×eq\f(\r(3),4)×22＋3×22＝2eq\r(3)＋12.故選D.3．(2021·成都診斷)如圖，四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心，圓柱的側(cè)面積是()A.eq\f(\r(2),3)π B．eq\f(3\r(2),4)π C．eq\f(2\r(2),3)π D．eq\f(\r(2),2)π答案C解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點(diǎn)E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D.AE＝eq\f(2,3)AD，AD＝eq\f(\r(3),2)，∴AE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，∴PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\f(\r(6),3).設(shè)圓柱底面半徑為r，則r＝AE＝eq\f(\r(3),3)，∴圓柱的側(cè)面積S＝2πr·PE＝2π×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(2\r(2)π,3).感悟升華空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中邊的關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．考點(diǎn)二空間幾何體的體積角度1簡(jiǎn)單幾何體的體積【例1】(1)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A．158 B．162 C．182 D．324(2)(2019·天津卷)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(5).若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)_______．答案(1)B(2)eq\f(π,4)解析(1)由三視圖可知，該柱體是一個(gè)直五棱柱，如圖，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個(gè)直角梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27.因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.(2)由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半，圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對(duì)角線的一半．因?yàn)樗睦忮F的底面正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(2)，所以底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為2，所以圓柱的底面半徑為eq\f(1,2).又因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(5)，所以四棱錐的高為eq\r(\r(5)2－12)＝2，所以圓柱的高為1.所以圓柱的體積V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×1＝eq\f(π,4).感悟升華1.求規(guī)則幾何體的體積，主要利用“直接法”代入體積公式計(jì)算．第(2)題求解的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：(1)圓柱的高恰為圓錐高的一半；(2)圓柱的底面圓的直徑恰是四棱錐底面正方形對(duì)角線的一半．2．若已知三視圖求體積，應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解．【訓(xùn)練1】(1)(2019·江蘇卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E－BCD的體積是________．(2)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．答案(1)10(2)eq\f(16,3)π解析(1)設(shè)長(zhǎng)方體中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，∴VE－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝10.(2)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為π×22×2－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(16,3)π.角度2不規(guī)則幾何體的體積【例2】如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(2),3)解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH.則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱．依題意，三棱錐E－ADG的高EG＝eq\f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.則AG＝eq\r(AE2－EG2)＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).取AD的中點(diǎn)M，則MG＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面體＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).感悟升華1.求不規(guī)則幾何體的體積：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過(guò)分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算．2．本題利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱(也可分割成四棱錐)．另外，經(jīng)?？紤]把棱錐補(bǔ)成棱柱，把臺(tái)體補(bǔ)成錐體，把三棱錐補(bǔ)成四棱錐，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體，補(bǔ)一個(gè)同樣的幾何體等．【訓(xùn)練2】(2020·浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(7,3) B．eq\f(14,3) C．3 D．6答案A解析由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)三棱錐組成的組合體，它們的公共面是等腰直角三角形，如圖所示．由三視圖知，三棱柱ABC－A′B′C′的高為2，三棱錐P－A′B′C′的高為1，又S△ABC＝eq\f(1,2)×2×1＝1，所以該幾何體體積V＝V三棱錐P－A′B′C′＋V棱柱ABC－A′B′C′＝eq\f(1,3)×1×1＋1×2＝eq\f(7,3)(cm3)．考點(diǎn)三多面體與球的切、接問(wèn)題【例3】(經(jīng)典母題)(2021·長(zhǎng)沙檢測(cè))在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________．答案eq\f(9,2)π解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合題意．球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大．由2R＝3，即R＝eq\f(3,2).故球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.【遷移】本例中若將“直三棱柱”改為“棱長(zhǎng)為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球的直徑．設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長(zhǎng)為4，故其體對(duì)角線長(zhǎng)為4eq\r(3)，從而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V內(nèi)切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).感悟升華1.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題．2．若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題．【訓(xùn)練3】(1)(2020·全國(guó)Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)_______．(2)(2021·濟(jì)南質(zhì)檢)已知球O是三棱錐P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2eq\r(2)，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，且CD＝eq\r(7)，則球O的表面積為()A.eq\f(28π,3) B．eq\f(14π,3)C.eq\f(28\r(21)π,27) D．eq\f(16π,3)答案(1)eq\f(\r(2)π,3)(2)A解析(1)當(dāng)球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球時(shí)，球的半徑最大．如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時(shí)的軸截面圖．其中球心為O，設(shè)其半徑為r，AC＝3，O1C＝1，∴AO1＝eq\r(AC2－O1C2)＝2eq\r(2).∵OO1＝OM＝r，∴AO＝AO1－OO1＝2eq\r(2)－r，又∵△AMO∽△AO1C，∴eq\f(OM,O1C)＝eq\f(AO,AC)，即eq\f(r,1)＝eq\f(2\r(2)－r,3)，解得r＝eq\f(\r(2),2).∴該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2)π,3).(2)依題意，由PA＝AC＝2，CP＝2eq\r(2)，得AP⊥AC.連接AD，由點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)且PA＝AB＝PB＝2，得AD＝eq\r(3)，又CD＝eq\r(7)，AC＝2，可知AD⊥AC，又AP∩AD＝A，AP?平面PAB，AD?平面PAB，所以AC⊥平面PAB.以△PAB為底面，AC為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，則球O是該三棱柱的外接球，球心O到底面△PAB的距離d＝eq\f(1,2)AC＝1.由正弦定理得△PAB的外接圓半徑r＝eq\f(PA,2sin60°)＝eq\f(2,\r(3))，所以球O的半徑R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(\f(7,3)).故球O的表面積S＝4πR2＝eq\f(28π,3).空間幾何體的實(shí)際應(yīng)用“強(qiáng)調(diào)應(yīng)用”也是高考卷命題的指導(dǎo)思想，體現(xiàn)了新課標(biāo)的“在玩中學(xué)，在學(xué)中思，在思中得”的嶄新理念，既有利于培養(yǎng)考生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神，又能夠很好地提升考生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，因而成為高考試卷中的一道亮麗的風(fēng)景線．如全國(guó)Ⅲ卷第16題是以學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型為背景創(chuàng)設(shè)的與空間幾何體的體積有關(guān)的問(wèn)題．考查運(yùn)用空間幾何求解實(shí)際問(wèn)題的能力．【典例】(2019·全國(guó)Ⅲ卷)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體．其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)_____g.答案118.8解析由題意得，四棱錐O－EFGH的底面積為4×6－4×eq\f(1,2)×2×3＝12(cm2)，其高為點(diǎn)O到底面EFGH的距離，為3cm，則此四棱錐的體積為V1＝eq\f(1,3)×12×3＝12(cm3)．又長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積為V2＝4×6×6＝144(cm3)，所以該模型的體積V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的質(zhì)量為0.9×132＝118.8(g)．素養(yǎng)升華1.題目以“3D打印”技術(shù)制作模型為背景考查數(shù)學(xué)應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．2．掌握長(zhǎng)方體、四棱錐的結(jié)構(gòu)與體積公式是解題的基礎(chǔ)，題目突出數(shù)學(xué)建模，直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．【訓(xùn)練】(2021·濰坊聯(lián)考)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測(cè)量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()A．eq\f(32π,3)，4 B．eq\f(9π,2)，3C．6π，4 D．eq\f(32π,3)，3答案D解析依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大．易知AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10.設(shè)健身手球的最大半徑為R，則eq\f(1,2)×(6＋8＋10)×R＝eq\f(1,2)×6×8，解得R＝2，則健身手球的最大直徑為4.因?yàn)锳A1＝13，所以最多可加工3個(gè)健身手球．于是一個(gè)健身手球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12π B．eq\f(32,3)π C．8π D．4π答案A解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則a3＝8，解得a＝2.設(shè)球的半徑為R，則2R＝eq\r(3)a，即R＝eq\r(3).所以球的表面積S＝4πR2＝12π.2．(2021·鄭州調(diào)研)現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，則圓錐的側(cè)面積為()A．3π B．eq\f(3π,2) C．eq\f(\r(5)π,2) D．eq\r(5)π答案D解析設(shè)底面圓的半徑為R，圓柱的高為h，依題意2R＝h＝2，∴R＝1.∴圓錐的母線l＝eq\r(h2＋R2)＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，因此S圓錐側(cè)＝πRl＝1×eq\r(5)π＝eq\r(5)π.3.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)答案C解析由題意可知，AD⊥平面B1DC1，即AD為三棱錐A－B1DC1的高，且AD＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，易求得S△B1DC1＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所以VA－B1DC1＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.4．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10) C．eq\f(13,2) D．3eq\r(10)答案C解析將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC－A1B1E1C1，則球O是長(zhǎng)方體ABEC－A1B1E1C1的外接球．∴體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑．因此2R＝eq\r(32＋42＋122)＝13，則R＝eq\f(13,2).5．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4) C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)答案B解析如圖畫(huà)出圓柱的軸截面ABCD，O為球心．球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝eq\f(1,2).∴底面圓半徑r＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).6．(2020·全國(guó)Ⅱ卷)已知△ABC是面積為eq\f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為()A.eq\r(3) B．eq\f(3,2) C．1 D．eq\f(\r(3),2)答案C解析如圖所示，過(guò)球心O作OO1⊥平面ABC，則O1為等邊△ABC的中心．設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，則eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(9\r(3),4)，解得a＝3(負(fù)值舍去)，∴O1A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3).設(shè)球O的半徑為r，則由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.在Rt△OO1A中，OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝1，即O到平面ABC的距離為1.7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半徑為r的圓，若該幾何體的體積為eq\f(9,8)π，則它的表面積是()A.eq\f(9,2)π B．9π C．eq\f(45,4)π D．eq\f(54,4)π答案C解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)半徑等于圓柱底面半徑的半球體，其中圓柱的高等于半球的半徑r，所以該幾何體的體積V＝πr2×r－eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,3)πr3＝eq\f(9,8)π，∴r3＝eq\f(27,8)，又知r>0，∴r＝eq\f(3,2)，∴該幾何體的表面積S＝πr2＋2πr×r＋eq\f(1,2)×4πr2＝5πr2＝5π×eq\f(9,4)＝eq\f(45,4)π.8．(2021·安慶調(diào)研)已知在四面體PABC中，PA＝4，BC＝2eq\r(6)，PB＝PC＝2eq\r(3)，PA⊥平面PBC，則四面體PABC的外接球的表面積是()A．160π B．128π C．40π D．32π答案C解析∵PB2＋PC2＝12＋12＝24＝BC2，∴PB⊥PC，又PA⊥平面PBC，∴PA⊥PB，PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，以PA，PB，PC為從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，所以該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(PA2＋PB2＋PC2)＝eq\r(12＋12＋16)＝2eq\r(10)，故該四面體的外接球半徑為eq\r(10).于是四面體P－ABC的外接球的表面積是4π(eq\r(10))2＝40π.二、填空題9.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).10.如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為_(kāi)_______．答案eq\f(1,3)解析因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，所以矩形BB1D1D的長(zhǎng)和寬分別為eq\r(2)，1，因?yàn)樗睦忮FA1－BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即為eq\f(\r(2),2).故V四棱錐A1－BB1D1D＝eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).11．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)為_(kāi)_______．答案6解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.12．(2021·太原質(zhì)檢)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓周上的兩點(diǎn)A、B滿足△SAB為等邊三角形，且面積為4eq\r(3)，又知圓錐軸截面的面積為8，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．答案8eq\r(2)π解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，由△SAB為等邊三角形，且面積為4eq\r(3)，所以eq\f(1,2)l2sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，解得l＝4；又設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則由軸截面的面積為8，得rh＝8；又r2＋h2＝16，解得r＝h＝2eq\r(2)，所