中考數(shù)學中以三角形為框架的綜合計算與證明專題訓練與解析

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

------------中考數(shù)學中以三角形為框架的綜合計算與證明專題訓練與解析

【100題精選】

1.（北京）在AABC中，BA=BC,NBAC=a,M是AC的中點，P是線段

BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PQ.

（1）若a=60。且點P與點M重合（如圖1）,線段CQ的延長線交射線BM于

點D,請補全圖形，并寫出NCDB的度數(shù)；

（2）在圖2中，點P不與點B,M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于

點D,猜想NCDB的大?。ㄓ煤琣的代數(shù)式表示），并加以證明；

（3）對于適當大小的a,當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B,M

重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D,且PQ=QD,請直接

寫出a的范圍.AA

MBQQ

CC

圖1圖2

解：（1）補全圖形，見圖1；ZCDB=30°

A（2）猜想：ZCDB=90°-a

證明：如圖2,連結(jié)AD,PC

VBA=BC,M是AC的中點，ABMIACB,點D,P在直線BM上，APA

=PC,DA=DC又YDP為公共邊，/.AADP^ACDP

C，NDAP=NDCP,ZADP=ZCDP

又：PA=PQ,.\PQ=PC圖1，NDCP=NPQC,ZDAP=ZPQC

ZPQC+ZDQP=180°,，ZDAP+ZDQP=180°

.?.在四邊形APQD中，NADQ+NAPQ=180。AZAPQ=2a,/.ZADQ=180°

—2a

1/.ZCDB=ADQ=90°-a2（3）45°<a<60°

提示：由（2）知NCDB=90o—a,且PQ=QDAZPAD=ZPCQ=ZPQC=2

ZCDB=180°-2aC?點P不與點B,M重合，，NMAD<NPAD<NBAD圖

2.,.a<180°-2a<2a,.,.45o<a<60°

2.（北京模擬）已知，點P是NMON的平分線OT上的一動點，射線PA交直

線OM于點A,將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點B,且使NAPB+

ZMON=180°.

（1）求證：PA=PB；

1

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(2)若點C是直線AB與直線OP的交點，當SaPOB=3SaPCB時，求PC

的值；

(3)若NMON=60。，OB=2,直線PA交射線ON于點D,且滿足NPBD=

ZABO,求OP的長.

TT

ONONO

備用圖備用圖

(1)證明：①當點A在射線OM上時，如圖1

作PELOM于E,作PF_LON于F

T則NEPF+NMON=180°,/ZAPB+ZMON=180°,AZEPF=ZAPB

■:ZEPA.=ZEPF-ZAPF,ZFPB=ZAPB-ZAPF

:.ZEPA=ZFPB

OFBN'.,OP平分NMON,APE=PF

.,.△EPA^AFPB,APA=PB

②當點A在MO延長線上時，如圖2作PE_LOM于E,作PFLON于F則N

EPF+ZMON=180°

ZAPB+ZMON=180°,/.ZEPF=ZAPB

VZEPA=ZEPF-ZAPF,ZFPB=ZAPB-ZAPF.\ZEPA=ZFPB

?..OP平分NMON,/.PE=PF.?.△EPA組△FPB,：.PA=PB

(2)解：VSAPOB=3SAPCB,.?.點A在射線OM上，如圖3

T

N

圖1

T

F

圖2

BN

1

VPA=PB,NPAB=NPBA=2180°-ZAPB)

O

圖3

1

ZAPB+ZMON=180°,ZPOB=2MON

1

:.ZPOB=2180°-ZAPB),.*.ZPBC=ZPOB

T

又NBPC=NOPB,/.APOB^APBCPBAPC=

SA=3SAPBC

BN

(3)解：①當點A在射線OM上時，如圖4VZAPB+ZMON=180°,Z

MON=60°

AZAPB=120°,/.ZPAB=ZPBA=30°,ZBPD=60°VZPBD=ZABO,

.,.ZPBD=ZABO=75°

2

O

B

DNT

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------------作BE±OP于E

VZMON=60°,OP平分/MON,.?./BOE=30。VOB=2,，BE=1,OE3,

ZOBE=60°/.ZEBP=ZEPB=45O,.*.PE=BE=1

.,.OP=OE+PE3+1

②當點A在MO延長線上時，如圖5此時NAOB=NDPB=120。

VZPBD=ZABO,ZPBA=30°,，NPBD=NABO=15。作BE_LOP于E,

則NBOE=30。

VOB=2,；.BE=1,OE3,ZOBE=60°AZEBP=ZEPB=45°,.*.PE=BE

=1.,.OP=OE-PE3-1

T

圖5

N

3.(北京模擬)已知aABC和ADEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共

直角頂點，連接AD、BE,F為線段AD的中點，連接CF.

(1)如圖1,當點D在BC邊上時，BE與CF的數(shù)量關(guān)系是，

位置關(guān)系是，請證明；

(2)如圖2,把aDEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<90°),其他條件不變，

問(1)中的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出相應(yīng)的正

確的結(jié)論并加以證明；BG

(3)如圖3,把ADEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45。，BE、CD交于點G.若NDCF

=30°,求CG及

AC

DC的值.

A

F

AAF

E

D圖3

E

ED

圖1

C圖2

解：⑴BE=2CF,BE±CF

證明：:△ABC和ADEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點

AC=BC,DC=EC

/.△BCE^AACD,，BE=AD,NEBC=NDAC1:F為線段AD的中點，

/.CF=AF=DF=2AD

A

E

，BE=2CF

VAF=CF,/.ZDAC=ZACF

D

圖1

3

C

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------------------VZBCF+ZACF=90°,AZBCF+ZEBC=900即BE_LCF(2)

仍然成立

證明：如圖2,延長CF到H,使HF=CF,連接AH、DH:AFuDF,...四

邊形AHDC為平行四邊形/.AH=CD=CE,ZCAH=180°-ZACD

ZBCE=ZBCA+ZDCE-ZACD=180°-ZACDZ.ZCAH=ZBCE

XVAC=BC,/.ACAH^ABCE/.CH=BE>ZACH=ZCBE.*.BE=CH=

2CF

ZCBE+ZBCH=ZACH+ZBCH=90°即BELCF

(3)如圖3,設(shè)BE、CF相交于點O,則NGOC=90。作BC的垂直平分線，

交BG于點M,連接CM則BM=CM,ZMBC=ZMCB,/.ZOMC=2ZMBC

VAC1DE,ZCDE=45°,AZDCA=45°VZDCF=30°,AZACH=ZCBE

=15°/.ZOMC=30°

設(shè)OG=x,則CG=2x,OC3x,BM=CM=3xOM=3OC=3x,MG=3x-x

=2x

，BG=BM+MG=23x+2x,BO=BM+MO=23x+3xBG3x+2x；.CG==3

+12x

F

E

圖2

AF

D

圖3

C

EN

BO23x+3x==3+20C3x

過E作BC的垂線，交BC的延長線于NBNBO

則RdBNEsRt^BOC,，EN=OC3+2

設(shè)EN=t,則CN=t,CE=2t,BN=(3+2)t,BC=(3+2)t-t=(3+l)t3+l)tBC6

+2

，CE==22t

AC6+2VAB=BC,CD=CE,；.DC=2

4

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------------------4.(上海模擬)如圖，ZACB=90°,CD是NACB的平分線，點

P在CD上，CP=2.將三角板的直角頂點放置在點P處，繞著點P旋轉(zhuǎn)，三角

板的一條直角邊與射線CB交于點E,另一條直角邊與直線CA、直線CB分別

交于點F、點G.(1)當點F在射線CA上時①求證：PF=PE.

②設(shè)CF=x,EG=y,求y與x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域.(2)連

接EF,當aCEF與4EGP相似時，求EG的長.

A

CEB

備用圖

(1)①證明：過點P作PM1AC,PN1BC,垂足分別為M、NVCD是/

ACB的平分線，.*.PM=PN

由NPMC=NMCN=NCNP=90。，得NMPN=90。AZl+ZFPN=90°

VZ2+ZFPN=90°,.,.Z1=Z2/.△PMF^APNE,/.PF=PE

②解：VCP2,，CN=CM=1

VCF=x,APMF^APNE,/.NE=MF=l-x，CE=2—x

CFCGxCG

VCF//PN,，PN=GN,即1=CG+1

MG

C

NEB

x

/.CG=l-x

x

/.y=1—x+2—x(0<x<l)

(2)當ACEF與4EGP相似時，點F的位置有兩種情況：①當點F在射線

CA上時

VZGPE=ZFCE=90°,Zl^ZPEGAZG=Z1,；.FG=FE,，CG=CE=

CP在RtaEGP中，EG=2CP=22②當點F在AC延長線上時

VZGPE=ZFCE=90°,.\Z3=Z2VZ1=45°+Z5,Zl=45°+

Z2,.*.Z5=Z2易證N3=N4,可得N5=N4

，CF=CP2,.,.FM2+1

易證△PMF絲4PNE,/.EN=FM2+1CFCG21-GN

VCF/7PN,，PN=GN,即1=GN

CEB

AM

1

C

GN

B

5

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----------------.\GN=2-1

；.EG=2—1+2+1=2

4

5.(上海模擬)已知AABC中，AB=AC,BC=6,sinB=5.點P從點B出

發(fā)沿射線BA移

動，同時點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點P、Q移動的速度相同,

PQ與直線BC相交于點D.

(1)如圖①，當點P為AB的中點時，求CD的長；

(2)如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E,當點P、Q在移動的過程

中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；(3)

如圖③，當PQ經(jīng)過AABC的重心G時，求BP的長.

B

圖①

B

E圖②

Q

Q

Q

解：(1)過P點作PF〃AC交BC于F?.?點P為AB的中點，...F為BC的中

點1

/.FC=2BC=3

B

F

Q

VAB=AC,.\ZB=ZACB：PF〃AC,/.ZPFB=ZACB/.ZB=ZPFB,

，BP=FP由題意，BP=CQ,.*.FP=CQVPF^AC,AZDPF=ZDQC

又NPDF=NQDC,.,.△PFD絲△QCD13

，CD=DF=2FC=2

圖①

（2）當點P、Q在移動的過程中，線段DE的長度保持不變分兩種情況討論:

①當點P在線段AB上時

過點P作PF〃AC交BC于F,由（1）知PB=PFTPE1BC,，BE=EF

由（1）知4PFD之ZxQCD,CD=DF1

，DE=EF+DF=2BC=3

B

Q

圖②

②得點P在BA的延長線上時，同理可得DE=3

二當點P、Q在移動的過程中，線段DE的長度保持不變（3）過點P作PEL

BC于E,連接AG并延長交BC于HVAB=AC,點G為AABC的重心，

AH±BC,BH=CH=3設(shè)AH=x,則AB=x+3=x+9

6

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4x4VsinB=5=5,解得x=4x+9

14，GH=3x=334設(shè)BP=t,則BE=5t,PE=5tQ3VBH

=DE=3,/.DH=BE=5tGHDH由△DGHSADPE,得PE=DE

43

35t533即4=3,解得t=3BP=3

5t

6.（上海模擬）如圖，三角形紙片ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.將

紙片折疊，使點B落在AC邊上的點D處，折痕與BC、AB分別交于點E、F.

（1）設(shè)BE=x,DC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值

范圍；

（2）當4ADF是直角三角形時，求BE的長；

（3）當4ADF是等腰三角形時，求BE的長

（4）過C、D、E三點的圓能否與AB邊相切？若能，求BE的長；若不能，

說明理由.AA

D

BCBCE

解：（1）VBE=x,，DE=x,EC=3-x

在Rt^DEC中，DC+EC=DE

即y+（3-x）=x,...y=6x—9222222

當D與C重合時，x最小

3即y=6x—9=0,x=2

當E與C重合時，x最大，x=3

3.*.2<x<3A

(2)①當NADF=90。時，則FD〃BC

/.ZAFD=ZB,又?.,NEDF=NB

7D

BEC

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，NAFD=NEDF,，DE〃AB/.ADEC^AABC,:.

DE

EC

AB

BC

x

3—x

15

，即BE的長為

15

5

3

，解得x=

8

8

②當NAFD=90。時，則/BFE=/DFE=45。作EG1BF于G,則RtABEG

sRSAC

BG

EG

BE

BC

AC

AB

VZC=90°,AC=4,BC=3,/.AB=5/.

BG

EG

x

343

4

5

，，BG=

5

x,EG=

5

x

，F(xiàn)G=EG=4347

5

x,DF=BF=

5

x+

5

x=

5

x

由RtAADF^RtAABC,得

AD

DF

AB=BC

7

5

4-6x—9

x=

5

3

,即7x+36x—9-12=0

2

令6x—9=u,貝x=u

+9

6

2

.\7(u+92

6

)+3u-12=0,/.7u

+18u-9=0

解得uO(舍去)，u3

l=-3<2=

7

(32

/.x=

7

)

+9

=75

，即BE的長為

75

6

49

49

綜上，當aADF是直角三角形時，BE的長為

15

75

8或

49

(3)①當AF=DF時，則/A=NFDAVZFDE=ZB,ZA+ZB=90°Z.

ZFDA+ZFDE=90°,即NADE=90°/.ED±AC,；.D與C重合/.x=133

2BC=2,即BE的長為

2

②當AD=DF時，則BF=DF=AD=4-

6x-9/.AF=5-(4-

6x—9

)=1+

6x-9

作DGLAF于G,則RtAADGsRt^ABCAG=ll

2AF=2(1+6x-9

)

8

A

D

B

E

C

A

B

E(D)

A

D

BEC

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------------------ADAB4-6x-95AG=AC1=4

21+6x-9)

27375375得6x—9=13,解得x=169,即BE的長為169

③當AD=AF時，則AF=AD=4—6x-9

ADF=BF=5-<4-6x-9)=l+6x-9A

作FH±AD于H,則RtAAFH^RtAABCAHFHAFAHFH4-6x-9/.AC=BC

=AB,.*.4=3=5

，AH=

16-46x-912-36x-9,FH=55

H

D16-46x-94+46x-9/.HC=4-=55

4+46x—94—6x—9；.DH=—6x—9=55BEC

在RtaDFH中，DH+FH=DF

2224-6x-9212-36x-922)+()=(l+6x-9)55

令6x—9=t,代入上式并化簡得15t+130t—135=02

解得t=510-133

.\6x-9=510-13250-6510250-6510,解得x=,即BE的長為32727

3375250—6510綜上，當4ADF是等腰三角形時，BE的長為2或169或27

(4)假設(shè)過C、D、E三點的圓能與AB邊相切

「△DEC是直角三角形，，DE是圓的直徑

AZDFE=90°,/.ZBFE=90°

，D點在AB上，不可能

...過C、D、E三點的圓不能與AB邊相切(。0與AB邊相離)

7.(上海模擬)如圖，在RtZiABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,AD±

BC于D,點E、F分別是AB邊和AC邊上的動點，且NEDF=90。，連接EF.

DE(1)求DF的值；

(2)設(shè)AE的長為x,ADEF的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)設(shè)直線DF與直線AB相交于點G,Z\EFG能否成為等腰三角形？若能,

求AE的長；若不能，請說明理由.AAA

BDCBD

備用圖CBD備用圖C

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解：⑴VZBAC=90°,.,.Z1+Z2=9O°

VAD±BC,/.ZC+Z2=90o

.".Z1=ZC

VZEDF=90°,.,.Z3+Z5=90°VAD±BC,AZ4+Z5=90°

2AZ3=Z4FAAADE^ACDF

DEADAB63，DF=CD=tanNC=AC=8=4

B

DCAEDE3(2)VAADE^ACDF,/.CF=DF=4

444/.CF=3AE=3x,；.AF=8—3x

422526422AEF=x+(8—3x)=9x—3x+64

DEABDF=AC,ZEDF=NBAC=90°

.,.△DEF^AABC

EF，=SAABCBC

S2

1222VSAABC=2X6X8=24,BC=6+8=100

242526422128384AS=100(9x-3x+64)=3x—25x+25

22128384即S=3x-25x+250<x<6)

(3)假設(shè)AEFG能成為等腰三角形

當點G在AB延長線上時，由于NGEFN90。，所以只能EF=EG

Z.ZG=Z6

VADEF^AABC,/.Z6=ZC

VZ1=ZC,/.ZG=Z1

ADA=DG=DF,，EF=AB,AEF=AB

2526442，9x—3x+64=36,解得x=6(舍去)或x=2522FCG

D

42此時AE的長為25

當點G在BA延長線上時，由于NEFGN90。，所以只能FE=FG

.*.ZG=ZAEF10F

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DEDE1而tan/G=DG=DF+FG=4=3

5EF+EF

35EF

AFtanZAEF=AE=

48—3xx=24—4x3x

A24-4x124=,解得x=3x35

24此時AE的長為5

4224綜上所述，4EFG能成為等腰三角形，此時AE的長為25或5

8.（上海模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=5,D是BC

邊上一點，CD=3,P是AC邊上一動點（不與A、C重合），過點P作PE〃BC

交AD于點E.

（1）設(shè)AP=x,DE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)以PE為半徑的。E與以DB為半徑的。D能否相切？若能，求tanNDPE

的值；若不能，請說明理由；

(3)將4ABD沿直線AD翻折，得到△ABD,連接EC、BC,當NACE=N

BCB'時,求AP的長.

A

P

CBCBDD備用圖

解：(1)在RtZSACD中，AC=4,CD=3,AD=5A5-yAPAEx：PE〃BC,

；.AC=AD,即4=5P5；.y=—4x+5(0<x<4)

35(2)對于(DE,rE=EP=4x；對于。D,rD=DB=2；圓心距ED=-4x+5

CDB

35當兩圓外切時，rE+rD=ED,；.4x+2=—4x+5

35解得x=2,/.PC=2

"."PE//BC,/.ZDPE=ZPDCA

11

P

CD

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PC5

/.tanZDPE=tanZPDC=CD=6

35

當兩圓備用圖(1)證明：:CP經(jīng)過△

B

1

.,.CP=2AB=AP,/.ZA=ZACP

又?.?/ACP+NDCB=90°,ZCBD+ZDCB=90°/.ZCBD=ZA,又NBDC

=ZACB=90°.,.△BCD^AABC

(2)解：VBC=2,cotA=2,/.AC=4

過點P作PEIAC于E,則AP=5t,PE=t,AE=2tEC=4-2t,PCt+(4-2t)

由ZPCE=ZCBD,得RtACPE^RtABCD

D

P

B

12

A

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------------------SABC2S4Z.=(PC),即1=SACPEt+(4-2t)2(4-2t)t

8t-4t.\S=0<t<2)5t-16t+16

2

(3)①當PC=PB時，有

解得t=lt+(4-2t)=210-5t

8x1-4x14當t=l時，S==55xl-16xl+16

2

②當PC=BC時，有t+(4-2t)=2

6解得tl=5,t2=2(不合題意，舍去)

6當t=5時，S=6628x5-4x(5

6265x(5-16x5+1624=25(平方厘米)

424綜上所述，當PC=PB時，ABCD的面積為5平方厘米；當PC=BC時，

△BCD的面積為25

平方厘米

10.(上海模擬)如圖，在RtZ^ABC中，NACB=90。，CE是斜邊AB上的中

線，AB=10,tanA4=3.點P是CE延長線上的一動點，過點P作PQ_LCB,交

CB延長線于點Q.設(shè)EP=x,

BQ=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；

(2)連接PB,當PB平分/CPQ時，求NPE的長；

P于F,當aBEF和△QBFx的值.(3)過點B作BFLABPQ

BQCCBC

備用圖

BC4解：(1)在RtZSABC中，ZACB=90°,AB=10,tanA=AC=3

B備用圖

AC=6,BC=8

1VCE是斜邊AB上的中線，，CE=BE=2AB=5

，NPCQ=NABC

13P

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-又NPQC=NACB=90°,/.APCQ^AABC8+yCQBC44

，PC=AB=5,即5+x=5

4

?*.y=5x—4(x>5)

(2)過點B作BHLPC于H

?.?PB平分NCPQ,BQ1PQ,，BH=BQ=y324424

VBH=5BC=5,；.5x—4=5

x=11

(3)VZBQF=ZACB=90°,ZQBF=ZA.'.△BFQ^AABC

當aBEF和aaBF相似時，則4BEF和AABC也相似有兩種情況：

①當/BEF=NA時

5

在Rt^EBF中，ZEBF=90°,BE=5,BF=3y

P

F

C

544

；.3(5x-4)=35,解得x=10

②當NBEF=NABC時

5

在Rt^EBF中，ZEBF=90°,BE=5,BF=3y

P

FB

543125；.3(5x—4)=45,解得x=16

125

...當4BEF和4QBF相似時，求x的值為10或16

c

11.（上海模擬）如圖1,在RtZ\AOC中，AO_LOC,點B在0C邊上，0B=

6,BC=12,ZABO+ZC=90°,動點M和N分別在線段AB和AC邊上.（1）

求證：△AOBs^cOA,并求cosC的值；

（2）當AM=4時，AAMN與aABC相似，求aAMN與AABC的面積之比;

（3）如圖2,當MN〃BC時，以MN所在直線為對稱軸將AAMN作軸對稱變

換得AEMN.設(shè)MN=x,AEMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y,求y

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

N

E

OCOCBB

圖1圖2

解：（1）?.?AOLOC,.?.NABO+NBAO=90°VZABO+ZC=90°,/.ZBAO

=ZC

14

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

------------------VZAOB=ZCOA,.?.△AOB^ACOAAOB:

OA=OA:

OC

VOB=6,BC=12,：.6:

OA=OA:

18

AOA=63，AC=OC

+OA=

18

+(63)

=3

cosC=

OC

18

3

AC=

3

2

(2)VcosC=3

2,AZC=30°

VtanZABO=

OA

63

OB

63,ABO=60°

，NBAC=30。，，AB=BC=12①當NAMN=NABC時(如圖1),AAMN

^△ABC

?.'AM=4,AS2222

△AMN:

SAABC=AM:

AB=4

12

=1:

9②當NAMN=/C時(如圖2),AAMN^AACB

VAM=4,AS2222

△AMN:

SAABC=AM:

AC=4

：(3)=1：

27

(3)易得SU

△ABC

2BC2OA=

2x12x63=3

VMN//7BC,AAAMN^AABC

.\S2222

△AMN:

SAABC=MN:

BC,ASAAMN:

3=x

12

AS32

△AMN

4x

①當EN與線段AB相交時，設(shè)EN與AB交于點F(如圖3)：MN/〃BC,

.,.ZANM=ZC=30°ZANM=ZBAC,；.AM=MN=x

,/以MN所在直線為對稱軸將aAMN作軸對稱變換得aEMN/.ZENM=Z

ANM=30°,.,.NAFN=90°.>.MF=111

2MN=2AM=2

x

/.SAFMN:

SAAMN

=MF:

AM

.,.y32

=1

:4x

2x:x=l:

2

Ay=32

8x(0<x

<8)

②當EN與線段AB不相交時，設(shè)EN與BC交于點G(如圖4);MN/〃BC,

ACN:

AC=BM:

AB

ACN:

123=(12-x

):12,/.CN=123-

3x

VACNG^ACBA,AS:SACNGAABC=CN:

BC

AS(3-3x)22

△CNG:363=:12

AS32

△CNG

4(123-3x

)

.\S3232

陰影=SaABC

SAAMN

SACNG

=3-

4x—4(123—3x

)

15

A

O

B

C

圖1

A

M

O

B

C

圖2

EO

B

C

圖3

OC

E

圖4

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

2

即y=-3x+183x—3(8VxV12)12.(上海模擬)把兩塊邊長為4的等邊

三角板ABC和DEF如圖1放置，使三角板DEF的頂點D與三角板ABC的AC

邊的中點重合，DF經(jīng)過點B,射線DE與射線AB相交于點M.把三角板ABC

固定不動，將三角板DEF繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a,其中(TVa

<90°,射線DF與線段BC相交于點Q(如圖2).(1)當0。<(1<60。時，求

AM2CN的值；

(2)當0。<01<60。時，設(shè)AM=x,兩塊三角板重疊部分的面積為y,求y與

x的函數(shù)關(guān)系式并確定自變量x的取值范圍；

(3)當BM=2時，求兩塊三角板重疊部分的面積.

E

DD

E

CNCBCF

圖2圖1備用圖

F

解：(1)：aABC和4DEF是等邊三角形，/.ZEDF=ZC=Z

■:ZADM+ZEDF=ZDNC+ZC,:.ZADM=ZDNC

AMADAAAMD^ACDN,；.CD=CN

.,.AM2CN=AD2CD

VAD=CD=2,/.AM2CN=4

（2）過點D作DPLAB于P,DQLBC于Q（如圖1）可得DP=DQ=34

VAM=x,/.CN=x

32114

.*.y=SAABC-SAAMD-SACDN=424-2x3-2x23

323

.*.y=43—2x—xl<x<4）

圖2

（3）①當M在邊AB上時（如圖1）VBM=2,/.AM=2,即x=2

，y=23,即兩塊三角板重疊部分的面積為3②當M在AB延長線上時（如圖

2）

設(shè)DE與BC交于點R,過點D作DG〃BC,交AB于點G則BG=BM=DG

=2,，AM=6,BR=127

，CN=3,ARN=3

173

/.y=SADRN=233=6

16

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

73綜上所述，兩塊三角板重疊部分的面積為23和6

13.(上海模擬)如圖，在4ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,CD

±AB,垂足為點D,點E、F分別在邊AC、BC上，且NEDF=60。.設(shè)AE=x,

BF=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當4BDF是等腰三角形時，求x的值；

(3)以DF為直徑的圓能否與AC相切？如果能，求tan/AED的值；如果不

能，請說明理由.

A

E

CBF

解：(1)如圖，作DG_LAC于G,FHLAB于H,FKLCD于K

在RtaABC中，ZA=60°,AC=2,，AB=4,BC=23

13ACD=3,AD=1,AG=2,DG=2

13FH=2y,BH=2yAG

DH=KF=CF2cos30。=(BC-BF)cos30°

33=(23-y)x2=3-2yECFB

VZADG=30°,NEDF=60°,AZEDG+ZFDH=90°

又NEDG+NDEG=90°,.*.ZDEG=ZFDH

31

22yDGFH/.RtADEG^AFDH,/.EG=DH,即l=3x-23-2y

33.*.y=x+l

?.?當點E與點G重合時，點F與點C重合

1,自變量x的取值范圍是2<x<2

(2)BD=AB-AD=4-1=3VZDFB>ZDCB>ZB,ADF/DB

3①當BF=BD時，x+l=3,，x=3—1

②當DF=BF時，則DH=BH,2BH=BD

17

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

------------------3

即2x2y=3,：.y3

3

，x+l=3,.*.x=2

(3)作DG1AC于G,DH1BC于H,設(shè)以DF為直徑的。O與AC相切于I,

連接01則01是梯形CFDG的中位線

113531

.,.OI=2CF+DG)=2(23-y+2)=4-2y

113

在RtADFH中，DH=2BD=24-1)=2

3

FH=|CH-CF|=|DG—CF|=|2一(23一y)|

33

=ly-2|

9332

由勾股定理得DF=DH+FH=4+(y-2)

2

2

2

由題意知DF=20L，DF=40193325312得4+(y—2)=4(4—2y)

22

39133

整理得23y=4,即y=8

3133111H9.*.x+l=8,/.x=13,/.GE=13-2=26

32DG133

.,.tanZAED=GE=9=926

14.(上海模擬)如圖，P是線段AB上任意一點(不與點A、B重合)，分別

以AP、BP為邊，在AB的同側(cè)作等邊aAPD和等邊△BPC,連接BD與PC交

于點E,連接CD.(1)當BC_LCD時，試求NDBC的正切值；

AP

(2)若線段CD是線段DE和DB的比例中項，試求此時PB的值；

(3)記四邊形ABCD的面積為S,當P在線段AB上運動時，S與BD是否

成正比例？若成正比例，試求出比例系數(shù)；若不成正比例，請說明理由.

BPP備用圖

解：(1)?.?等邊4APD和等邊4BPC

18

2

B

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

.,.PC=BC,ZCPD=60°,PD〃BC當BC±CD時，tanZDBC

=CDCD

BC

PC/.PD1CDCD3

PC

=sinZCPD=sin60°=

2AZDBC的正切值為3

2(2)由已知，CD2

,即

DE

CD=DE*2DBCD=

DB又NCDE=NBDC,.'.△CDE^ABDC:.

DE

CD

CE

CD

DB

BC

又CP=BC

CE

CE

BC

CP

VPD/7BC,

CE

BE

CP

BD

CD

CE

BE

DB

CP

BD

,.*.CD=BE

DE

BE

BE

BD

,即點E是線段BD的黃金分割點

DE

BE

5-1BE

BD

2

又PC〃AD

AP

DE

5-1

PB

BE

2(3)設(shè)AP=a,PB=b,則S3232

△APD=

4

a

,SABPC=4b

VAD/7PC,PD〃BC:.SA

AD

SA

PD

S

PC

△PDC,

SABPC

BC

SA

SA

S

,AS

3

△PDC

SAAPD2SABPC=

△PDCSABPC

4ab

AS=322

4(

a+ab+b

)

作DHLAB,則DH=31

2a,BH=2

a+b

/.BD22BH2321222

=DH+=

4

a

+(

2a+b)=a+ab+b

S

3

BD

4

AS與BD2

3成正比例，比例系數(shù)為

4

15.（上海模擬）如圖，在aABC中，AB=AC=5,BC=6,D是AC邊的中

點，E是BC邊上一動點（不與端點重合），

19

P

B

D

E

C

H

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

------------------EF〃BD交AC于F,交AB延長線于G,H是BC延長線上的點,

且CH=BE,連接FH.設(shè)BE=x,CF=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)連接AE,當以GE為半徑的。G和以FH為半徑的。F相切時，求tanN

BAE的值；

(3)當4BEG與△FCH相似時，求BE的長.

DD

BCC

備用圖備用圖

CFCE解：(1)?.?EF〃BD,；.CD=CB

y6—x55即5=6,/.y=2—12x

2

(2)VCH=BE,BC=BE+EC,EH=EC+CH

Z.EH=BC=6

當以GE為半徑的。G和以FH為半徑的。F相切時，GE+FH=GF

又GE+FE=GF,，F(xiàn)E=FH

133x作FMLEH于M,則EM=2EH=3,MC=5y=2-4

A

3xVEM+MC=EC,；.3+2—4=6-x,解得x=2

DCH3648作ENIAB于N,則BN=5BE=5,EN=5BE=5E

PM619.\AN=AB-BN=5-5=5

EN8/.tanZBAE=AN=19

(3)作FP〃AG交BC于P,則NFPC=NABC

VAB=AC,.，.ZACB=ZABC

553xx；.NFPC=NACB,/.FP=FC=2-12x,EP=6-x-2(2-4)=3-2

：FP〃AG,/.APEF^ABEG

若△BGES^FCH,則△PEFS^FCH20

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

------------------PECF

于是PF=CH,即55

212x

x3-2

55-

212x=x

150

解得x=6（舍去）或x=97

PECHx或PF=CF,即5=5552—12x2—12x

x3-2

解得x=2

150

綜上所述，當4BEG與aFCH相似時，BE的長為97或2

16.（上海模擬）如圖，^ABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,點O為AB

邊的中點，點M是BC邊上一動點（不與點B、C重合），AD1AB,垂足為點

A.連接MO,將aBOM沿直線MO翻折，點B落在點B1處，直線MB1與AC、

AD分別交于點F、N.（1）當NCMF=120。時，求BM的長；（2）設(shè)BM

=x,y=

△CMF的周長

,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。并寫出自變量x的取值范

△ANF的周長

圍；

(3)連接NO,與AC邊交于點E,當△FMCsaAEO時，求BM的長.

D

N

解：(1)VZCMF=120°,/.ZBMN=60°.,.ZBMO=30°

.?.RtAMOB中，BM=OB2cot30°=23(2)連接ON,VOA=OB=OB1,ON

=ON

ARtAANO^RtABlNO,NAON=NB1ON,AN=B1N又?.?/MOB1=/

MOB,AZMON=90°

VZOB1M=ZB=90°,/.△MBIO^AOBIN,

2

.*.OB1=B1M2B1N

又BlM=BM=x,OB1=OB=2

442

.*.2=x2BlN,/.BlN=x,/.AN=xVAD±AB,AZDAB=90°

又NB=90。，；.AD〃BC,AACMF^AANF

CM

BAOBC

D

BN

M

AO

BC

DN

B(FM

21

AOB

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

△CMF的周長CM4-X12

?*.y==AN=4=—4x+x

△ANF的周長

x

12

即y=-4x+x(0<x<4)

(3)由題意知：ZEAO=ZC=45°

若△FMCS/XAEO,則有兩種情況：NFMC=NAEO或NFMC=NAOE①當

NFMC=NAEO時，有NCFM=NAOEDC由(2)知NAOE=NB1OE=N

OMF

N

.,.ZCFM=ZOMF,，OM〃AC/.ZOMB=ZC=45°ARtAMOB中，BM

=OB2cot450=2

1

②當/FMC=NAOE時，VZAOE=ZOMF

M/.ZFMC=ZOMF=ZOMB=60°

3

.'.△MOB中，BM=OB2cot60°=3

AOB

23

綜上所述，當△FMCs/xAEO時，求BM的長為2或3

3

17.（上海模擬）如圖，在4ABC中，AB=AC=10,cosB=5,點D在射線

AB上，DE〃BC

1

交射線AC于點E,點F在AE的延長線上，且EF=4AE,以DE、EF為鄰邊

作C1DEFG,連接

BG.

（1）當EF=FC時，求4ADE的面積；

（2）設(shè)AD=x,DDEFG與aABC重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系

式；（3）當點F在線段AC上時，若ADBG是等腰三角形，求AD的長.

E

F

BCB

備用圖解：（1）作AHLBC于H

BH3

在Rt^ABH中，cosB=AB=5,AB=10

C

，BH=6,AAH=8

VAB=AC,.\BC=2BH=121

ASAABC=2x12x8=48

1AE42

VEF=4AE,EF=FC,.*.AC=6=3

22

H

EFC

B

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

SAADEAE24

VDE//BC,，△ADEs△ABC=(AC)=9SAABC

4464

Z.SAADE=9SAABC=948=3

(2)設(shè)AH交DE、GF于點M、NAEAMDE

?.?DE〃BC,/.AC=AH=BC

46

VAD=x,，AM=5x,DE=5x

11

VMN=4AM=5x

①當點F在線段AC上時

6162

/.y=SaDEFG=5X25X=25X(0<X<8)

B

G

N

EF

4

②當點F在AC延長線上時，則MH=8—5x

6424248

Ay=SDDECK=5X2(8-5X)=-25X+5X(X>8)

(0<x<8)綜合得：y=

2448

—25x+5x(x>8)

2

6

2

(3)VBOAC,/.ZA>ZABC

?.?DG〃AC,ZBDG=ZA>ZABC>ZDBG.*.BG>DG

作FP_LBC于P,GQLBC于Q

543

在Rt^FPC中，F(xiàn)C=10-4x,sinC=sinZABC=5cosC=cosZABC=5

3639

，F(xiàn)P=8-x,PC=6-4x,.,.BQ=12-5x-(6-4x)=6-20x

Z.BG=

922

(8—x)+(6—20x)

A

1

在ADBG中，DB=10-x,DG=4x

1

①若DB=DG,則10-x=4x,解得x=8

EFPC

②若DB=BG,則10—x=

922

(8-x)+(6-20x)

BQ

560

解得xl=0(舍去)，x2=81

560綜上所述，若ADBG是等腰三角形，AD的長為8或81

23

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

118.（上海模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,cosZBAC=3,點0

在AB上，且CA

=C0=6.將4ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABC，，且C落在CO的延長

線上，連接

BB,交CO的延長線于點D,

(1)求證：ACOA^ABOD(2)求BD的長.

BCA

(1)證明：VZBAC=ZB,AC\.,.ZCAC=ZB,AB,

1VAC=AC,,，ZACC=ZAC,C=2180°-ZCAC,)

1VAB=AB,,NABB，=NABB=2180。一NBAB。

，ZACC,=ZABB,

又NCOA=NBOD,/.ACOA^ABOD

(2)解：VCA=CO,ACOA^ABOD,，BD=BO

1VCOSZBAC=3,CA=CO=6,/.BA=18B1過C作CELAB于E,則

EA=3CA=2,OA=2EA=4

C.,.BD=BO=BA-OA=18-4=14A

19.(安徽)如圖1,在AABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB

上，ABDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.

(1)求線段BG的長；

(2)求證：DG平分NEDF；

(3)連接CG,如圖2,若4BDG與4DFG相似，求證：BG1CG.

AAEE

BCD

圖1

(1)解：?.?△BDG與四邊形ACDG的周長相等，且BD=DCBCD圖224

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

11

，BG=AG+AC=2(AB+AC)=2b+c)

11

(2)證明：?.?點D、F分別是BC、AB的中點，...DF=2AC=2b

111

又,；FG=BG-BF=2(b+c)-2c=2b

，DF=FG,.，.ZFDG=ZFGD

?.?點D、E分別是BC、AC的中點，；.DE〃AB/.ZEDG=ZFGD,/.ZFDG

=ZEDG即DG平分NEDF

(3)證明：?.?△BDG與4DFG相似，ZDFG>ZB,NBGD=NDGF(公共

角)ZB=ZFDG

由(2)知NFGD=NFDG,/.ZFGD=ZB,DG=BD

VBD=DC,，DG=BD=DC,；.B、G、C三點在以BG為直徑的圓周上

ZBGC=90°,EPBG±CG

3

20.(浙江金華、麗水)在aABC中，ZABC=45°,tanZACB=5.如圖，把

△ABC的一邊

10

BC放置在x軸上，有OB=14,OC=334,AC與y軸交于點E.

(1)求AC所在直線的函數(shù)解析式；

(2)過點O作OGLAC,垂足為G,求aOEG的面積；(3)已知點F(10,

0),在4ABC的邊上取兩點P,Q,是否存在以O(shè),P,Q為頂點的三角形與△

OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側(cè)？若存在，請求出所有符合條件的點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

103

解：(1)在RtZ\OCE中，OE=OC2tanNOCE=334x5=234,.?.點E(0,234)

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為丫=1?<+234,則

10343

+234=0,解得：k=-35

3

直線AC的函數(shù)解析式為y=-5x+234

EG3

(2)方法1：在RtZXOGE中，tanZEOG=tanZOCE=GO=5

設(shè)EG=3t,則0G=5t,OE=EG+OG=34t,，234=34t,得t=

2

25

數(shù)學專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析

------------故EG=6,OG=10

11

/.S△OEG=2OG2EG=210x6=30

33

方法2：在Rt^OCE中，VtanZOCE=5,.，.sinZOCE=

34

103

，OG=OC2sinZOCE=334x=10