定積分及其應(yīng)用

關(guān)于定積分及其應(yīng)用第1頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)定積分的概念重點(diǎn)：定積分的概念和性質(zhì)難點(diǎn)：定積分概念的理解第2頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月abxyo實(shí)例1

（求曲邊梯形的面積）一、兩個(gè)實(shí)例第3頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

在初等數(shù)學(xué)中，以矩形面積為基礎(chǔ)，解決了較復(fù)雜的直邊圖形的面積問題.現(xiàn)在的曲邊梯形有一條邊是曲線，所以其面積就不能按照初等數(shù)學(xué)的方法來計(jì)算.困難就在于曲邊梯形底邊（區(qū)間）上的高是變化的，而且這種變化規(guī)律不是線性的.但由于曲線是連續(xù)的，所以當(dāng)在上的變化很小時(shí)，相應(yīng)的高的變化也很小.由于這個(gè)想法，可以用一組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，只要分割的充分細(xì)，每個(gè)小曲邊梯形就很窄，則其高的變化就很小，第4頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）第5頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月曲邊梯形如圖所示，第6頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為第7頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)例二、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程思路：把整段時(shí)間分割成若干個(gè)小段，每小段上速度看作不變。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值。第8頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第9頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月二、定積分的定義定義第10頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和第11頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：第12頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1定理2三、存在定理第13頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月四、定積分的幾何意義第14頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何意義：ab第15頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1、用定積分表示下列圖中陰影部分的面積第16頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月解：根據(jù)定積分的幾何意義，解題如下：第18頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說明

在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。宥ǚe分的性質(zhì)第20頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月證性質(zhì)1第21頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月證性質(zhì)2第22頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月例若（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3第23頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月證性質(zhì)4第24頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)5（定積分中值定理）積分中值公式第25頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月使即積分中值公式的幾何解釋：第26頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

第二節(jié)微積分基本公式重點(diǎn)：牛頓—萊布尼茲公式難點(diǎn)：積分上限的函數(shù)第27頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為另一方面這段路程可表示為一、問題的提出第28頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第29頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月積分上限函數(shù)的性質(zhì)證第30頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月由積分中值定理得第31頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2）第35頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月分母的導(dǎo)數(shù)為所以有第37頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3（微積分基本公式）證三、牛頓—萊布尼茨公式第38頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月令令牛頓—萊布尼茨公式第39頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.第40頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月例４計(jì)算下列定積分（1）(2)(3)(4)(5)第41頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

第三節(jié)積分的換元法重點(diǎn)與難點(diǎn)：掌握定積分的換元積分公式

牛頓－萊布尼茨公式把定積分的計(jì)算問轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)（不定積分）的問題，因而求不定積分的各種具體方法經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兓?，都可用于求定積分，本節(jié)我們來學(xué)習(xí)定積分的換元法.

第45頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

解法2要比解法1簡便些，因?yàn)樗∪チ俗兞炕卮@一步。一般的，定積分的換元法可表述為：第48頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月定積分的換元法有兩個(gè)特點(diǎn)：換成新變量時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限.即所謂的“換元必?fù)Q限.”（２）求出的一個(gè)原函數(shù)后，不必象不定積分那樣再把原變量回代，而直接代入新變量的上下限，然后相減就把原變量（1）用可以了。第49頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第51頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第52頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

第四節(jié)定積分的分部積分法重點(diǎn)與難點(diǎn)：熟練掌握定積分的分部積分公式第56頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月把不定積分的分部積分公式添加上積分限，就得到定積分的分部積分公式：第57頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月例５求

解：由例4的結(jié)果知

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，第62頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月令則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)代入到中得：

第66頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

第五節(jié)無窮區(qū)間上的廣義積分重點(diǎn)與難點(diǎn)：廣義積分的概念與計(jì)算第67頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第69頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，曲邊體形的面積也隨著b的變化而變化

時(shí)，這個(gè)曲邊梯形面積的極限就應(yīng)該是“開口曲邊梯形”的面積，即

當(dāng)?shù)?0頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月二、廣義積分的定義第72頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第74頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第75頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第76頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月為了書寫方便起見，我們規(guī)定：記為寫為第77頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第78頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第六節(jié)定積分應(yīng)用舉例重點(diǎn)與難點(diǎn)：正確理解定積分的元素法；熟練掌握用元素法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積；會(huì)求平面曲線的弧長、變力作功和函數(shù)的平均值。

第79頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

回顧曲邊梯形求面積的問題一、問題的提出abxyo第80頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）求和

得A的近似值

面積表示為定積分的步驟是：第81頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月abxyo（4）求極限

得A的精確值提示面積元素第82頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第83頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月微元法的一般步驟：第84頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月這個(gè)方法通常叫做微元法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．第85頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月曲邊梯形的面積平面圖形的面積二、平面圖形的面積第86頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月解兩曲線的交點(diǎn)為面積元素選為積分變量第87頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第88頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第89頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第90頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第91頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)三、旋轉(zhuǎn)體的體積第92頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為第93頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月解直線方程為第94頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第95頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第96頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第97頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第98頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月弧長元素弧長

四、平面曲線的弧長第99頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月解所求弧長為第100頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第101頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示第102頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第103頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停解建立坐標(biāo)系如圖第104頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月這一薄層水的重力為功元素為(千焦)．第105頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第106頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月等份，每個(gè)小區(qū)間的長度為由于連續(xù)，所以當(dāng)足夠大時(shí)，我們可把在區(qū)間上看作常數(shù)

，先把區(qū)間