2021屆黑龍江省大慶實驗高三上學期開學考試理科數學試題

大慶實驗2020-2021學年度上學期開學考試高三數學(理)試題第I卷（選擇題)一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分1.“”是“函數在上單調遞減”的()。A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件2．如果消息發(fā)生的概率為，那么消息所含的信息量為，若王教授正在一個有4排8列座位的小型報告廳里聽報告，則發(fā)布的以下4條消息中，信息量最大的是（）A．王教授在第4排B．王教授在第4排第5列C．王教授在第5列D．王教授在某一排3．為了調節(jié)高三學生學習壓力，某校高三年級舉行了拔河比賽，在賽前三位老師對前三名進行了預測，于是有了以下對話：老師甲：“7班男生比較壯，7班肯定得第一名”．老師乙：“我覺得14班比15班強，14班名次會比15班靠前”．老師丙：“我覺得7班能贏15班”．最后老師丁去觀看完了比賽，回來后說：“確實是這三個班得了前三名，且無并列，但是你們三人中只有一人預測準確”．那么，獲得一、二、三名的班級依次為()A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班我們從這個商標中抽象出一個圖像如圖，其對應的函數可能是()A. B． C． D．5．千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下列聯(lián)表：并計算得到，下列小波對地區(qū)A天氣判斷不正確的是（）夜晚下雨的概率約為未出現“日落云里走”夜晚下雨的概率約為C．有的把握認為“‘日落云里走’是否出現”與“當晚是否下雨”有關D．出現“日落云里走”，有的把握認為夜晚會下雨夜晚天氣,日落云里走下雨未下雨出現255未出現2545P（）0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.8286．2020年初，新型冠狀肺炎在歐洲爆發(fā)后，我國第一時間內向相關國家捐助醫(yī)療物資，并派出由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組奔赴相關國家．現有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個需要援助的國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家，設事件A＝“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事件B＝“小組甲獨自去一個國家”，則P（A|B）＝（）A． B． C． D．7．函數，的部分圖像如圖所示，圖中圓與的圖像交于M,N兩點，且M在軸上，則下列說法正確的是（）A.函數的最小正周期為B.函數的圖像關于點對稱C.函數在的最小正周期為單調遞增D.將函數的圖像像左平移后關于軸對稱8．電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類數是()A.B.C.D.9．若則()A． B． C． D．10．已知函數若存在非零實數，使得成立，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．11．若存在，使得函數與的圖象在這兩個函數圖象的公共點處的切線相同，則的最大值為（）A． B． C． D．12．設函數，若曲線上存在點，使得，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題共90分)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知是定義在R上的周期為3的奇函數，且，則的值_____.14．設負數，滿足，則。15．在平面直角坐標系中，圓，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，直線的極坐標方程為，直線交圓于兩點，為中點.若，則.16.已知定義在上的函數的導函數滿足，則不等式的解集是____.三、解答題：本大題共6小題，共70分17．以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，的軌跡為.（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程，（2）若點，直線的參數方程為（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程.18．已知定義域為的函數，是奇函數.（1）求，的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.19．2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內通過的車輛數，統(tǒng)計發(fā)現這一時間段內共有600輛車通過該收費點它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作區(qū)間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作,10:20~10:40記作.例如：10點04分，記作時刻64.（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數為X，求X的分布列與數學期望；（3）由大數據分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數（結果保留到整數）.參考數據：若，則，，.20．已知函數.（1）若時，存在，使得不等式成立，求的最小值；（2）若在上是單調函數，求的取值范圍.（參考數據）21．已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．22．已知函數（1）證明：在區(qū)間上存在唯一的零點（2）證明：對任意，都有大慶實驗2020-2021學年度上學期開學初考試高三數學（理）答案一、單選題(本大題共12小題，每題5分，共60分)題號123456789101112選項BBCDDACCDADD二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．14．15．或．16.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.解析：（1），（2）【解析】（1）設點P，Q的極坐標分別為，)，因為，…2’所以曲線的極坐標方程為，……3’兩邊同乘以ρ，得，所以的直角坐標方程為，即……5’（2）設點A，B對應的參數分別為，，則，將直線l的參數方程，（為參數），代入的直角坐標方程中，整理得.由根與系數的關系得……6’∴……8’，(當且僅當時，等號成立)……9’∴當取得最小值時，直線l的普通方程為……10’18.解析：（1）因為是上的奇函數，所以，即，解得.……2’從而有.又由知，解得經檢驗，當時，，滿足題意……4’由（1）知，由上式易知在上為減函數，……6’又因為是奇函數，從而不等式等價于.……8’因為是上的減函數，由上式推得.……10’即對一切有，從而，解得.……12’19．解析：（1）由題意，這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為，即10點04分.…2’（2）結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數就是位于時間分組中在這一區(qū)間內的車輛數，即，所以X的可能取值為0，1，2，3，4.……4’所以，，，，，X01234P所以X的分布列為x01234p……6所以.……8’（3）由（1）可得，，所以.……10’估計在9:46~10:40這一時間段內通過的車輛數，也就是通過的車輛數，由，……11’所以，估計在9:46~10:40這一時間段內通過的車輛數為輛.……12’20.解析：解：（1）存在，使得不等式成立，則只需.……2’∵.……3’∴當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.……4’∴在處取得極小值，即，又，∴，……5’∴，∴.故.……6’（2）當時，.……7’當時，，則在上單調遞增；……8’當時，∵，∴，∴，則在上單調遞增；……9’當時，設，函數開口向下，其對稱軸，……11’故只需，即，此時在上單調遞減.綜上可得，.……12’解析:（1），，……1’.，∴切點坐標為(1,1+e),……2’∴函數f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為;……4’（2）解法一：,，且.……5’設,則∴在上單調遞增，即在上單調遞增，……6’當時，,∴,∴成立.……7’當時，，，,∴存在唯一，使得，……8’且當時，當時，，，…9’因此∴∴恒成立；…10’當時，∴不是恒成立.…11’綜上所述，實數a的取值范圍是[1,+∞).……12解法二：等價于,……6’令,上述不等式等價于,顯然為單調增函數，∴又等價于，即，…8’令,則在上h’(x)>0,h(x)單調遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調遞減，……10’∴,……11’，∴的取值范圍是.……