實(shí)數(shù)連續(xù)性互相證明

于實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理04級統(tǒng)計(jì)系 張祥淳2005年 5月摘要：這七個(gè)定理雖然出發(fā)的角度不同，但描寫的都是實(shí)數(shù)連續(xù)性這同一件事，它們之間是相互等價(jià)的，即任取其中兩個(gè)定理，它們可以相互證明。它們在證明過程中相互聯(lián)系。對同一個(gè)定理的證明，雖然不同的定理作為工具會(huì)使證明有簡繁之分，有的用的是類似的證明方法，有的出發(fā)點(diǎn)與站的角度不同，但最后卻都能殊途同歸。而有時(shí)使用同一個(gè)定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，還可以有不同的細(xì)節(jié)。作為工具，它們又各具特點(diǎn)。而這些都是值得我們?nèi)プ⒁馀c發(fā)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)基本定理 確界定理 單調(diào)有界原理 區(qū)間套定理 有限覆蓋定理 緊致性定理柯西收斂定理 等價(jià)證明(一)實(shí)數(shù)基本定理的出現(xiàn)，卻真正抓住了牛頓理論的。一，微積分一自。至十九世紀(jì)，由十七、十八世紀(jì)積累下來的矛盾到了非解決不可的程度。使析基礎(chǔ)嚴(yán)密化由大析學(xué)一系列基本概念的18231817（即上確界）1960魏爾斯特拉斯定理海涅于1872年出，波萊爾于1895年證明了“有定理1872年，實(shí)數(shù)的理論分理論，的“基列”理論魏爾斯特拉斯的“有界列”理論，在國出現(xiàn)了！ 1892年，出了立實(shí)數(shù)理論的一理——理。由，柯西開的立來的嚴(yán)的理論實(shí)數(shù)理論，成了分析學(xué)的邏輯基工作，而使微積分學(xué)這數(shù)學(xué)史上前的大在了可的基礎(chǔ)上。以上的定理表述如下：實(shí)數(shù)定理對R的一分劃B，都一的實(shí)數(shù)r，使類A的一實(shí)數(shù)，小上類B的一實(shí)數(shù)。確界定理:在實(shí)數(shù)系 R,非的有上(下)界的數(shù)集有上(下)確界存在。單調(diào)有界原理:

{xn

上有上界，則xn}有。區(qū)間套定理:｛[abn n

]｝一,存在一的實(shí)數(shù) 使得r在有的,即。r[a,b]。n nn1有限覆蓋定理:實(shí)數(shù)[a,b]的一E,有的。緊致性定理：有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列?？挛魇諗慷ɡ恚涸趯?shí)數(shù)系中，數(shù)列

{xn

有極限存在的充分必要條件是：N,n

N,m

N

|x xn

|。這些定理雖然出發(fā)的角度不同，但描寫的都是實(shí)數(shù)連續(xù)性這同一件事，它們之間是相互等價(jià)的，即任取其中兩個(gè)定理，它們可以相互證明。那么，它們在證明過程中有哪些聯(lián)系？作為工具，它們又各具有什么特點(diǎn)？以下先給出它們的等價(jià)證明。（二）實(shí)數(shù)基本定理的等價(jià)證明一．用實(shí)數(shù)基本定理證明其它定理．實(shí)數(shù)基本定理定理證明：設(shè)數(shù)列{xn

單調(diào)上升有上界。令 B是數(shù)列{xn

全體上界組成的集合，即 B={b|xn

b,n},而 A=R﹨，則 B是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃。事實(shí)上，由單調(diào)上升{x}n

，故 x1A，即 A不空，由 R﹨1，知 AB不。又任給 aA，b，則1

n，使a

x b，即 B不。故 B是實(shí)數(shù)的n0一個(gè)分劃。根據(jù)實(shí)數(shù)基本定理， rR,0

0a

a

b。下證 limn

x=r。事實(shí)上，對nrr

x，又{xn

}上升nrxN

x。nr2

bxn

r，2

n

N

r

x n

r2是，|x-r|，lim

x=r。n n n若數(shù)列{x}n

單調(diào)下降有下界，令 y =-x，則{y單調(diào)上升有上界，從而有極限，設(shè)極限為r，則n n nlimxlim（-y）=-r。定理證完。n n n n確界定理證明：設(shè) X是有上界的空實(shí)數(shù)集，記B為 X的全體上界組成的集合。=R﹨，則 B成實(shí)數(shù)的一個(gè)0 分劃。事實(shí)上，不空，不然。而aAbB由 a不是 X的上界，知有 x，得0

，而由b

x b，故 ab。0由實(shí)數(shù)基本定理， 是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃， r0

Ra

A，bB

a

b。下證 r=sup。首先證明 r是 X的上界。用反證法。如果不然，則有 x，使得x r，這時(shí)有 =x0rx a= 02

0A，有 ar，這是不可的。此r是 X的上界，而由于

0B，

2，，rbr是 X的最小上界。同理可證下確界的情形。定理證完。．實(shí)數(shù)基本定理區(qū)間套定理證明：設(shè)｛

[a,bn

]｝是一個(gè)區(qū)間套，令 A{x|n,xa}

BR\A，則

A|B是 R的一個(gè)分劃事n實(shí)上aA，n1

b1B1

A,B非空；由 B的定義，A,B不漏；A

bB，則

n,ba，n故abn

AB不亂

A|B確是 R的一個(gè)分劃由實(shí)數(shù)連續(xù)性定理，存在唯一的實(shí)數(shù)r，使得A，bB，有arb。下證r[a,bn nn1

]因?yàn)椋?A的定義，a

A

anr

nm

am bn

bnB，n從而rbn。即n

r[a,b]。n nn n最后證明唯一性若有 r,r滿足r[ann1

,bn]

r[a,bn nn1

]，則nn|rrb a 0(n)nn故rr。即這樣的r是唯一的。定理證完。二．用單調(diào)有界定理證明其它定理單調(diào)有界定理→實(shí)數(shù)基本定理證明：給定實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃，任取 aA

bB。用

，b的中點(diǎn) a

二等分[a，

，如果1 1 1 1 12 1 1 1a

B，則取a=a，

b =a

；如果 a

A，則取a=a

，b =b如212 1 2 1 2 12 1 12 12

1 12 2 1此繼續(xù)下去，便得兩串序列n

n

。其中an

A單調(diào)上升有上界（例

b1

b n

單調(diào)下降有下界（例如

a）并且b

=b a

(n

)。由單調(diào)有界定理，知r，使lim

a =r1 n n 12 1

nnlim（b

）=0

lim a +（b

）=rn nn

n n nnaA，有ab （n=1，2，……，令nn

，知arb

B，有an

b（n=1，2，，

n，知rb

arb下面證明唯一性。用反證法。如果不然。則r1

r，同時(shí)對任意2

aA，

ar，1

ar2對任意b

brb1

r，不妨2

r r，1 2令 r'

r r 顯然1 22

r r'r 1 2

r'A，

r'B，這與A|B

是 R的一個(gè)分劃矛盾。唯一性得證。定理證完。單調(diào)有界定理→確界定理證明：已知實(shí)數(shù)集 A非空。a

A，不妨設(shè)a不是 A的上界，另外，知b是 A的上界，記a=a，1b=b，用a，

b的中點(diǎn)

二等分a，如果 a

B，則取a =a

b =a b ；1 1 1 12 1

1 1 12 1

2 1 2 12 1如果 a

A，則取a=a

，b b此繼續(xù)下去便得兩串序列

A12 1 2 12 1 2 1

n n n單調(diào)上升有上界（例如

B單調(diào)下降有下界（例如

a）并且b

=b a

(n

)。由1 n 1

n n 12 1單調(diào)有界定理，知 r，

lim

a r

lim（b

）=0

lim

a +（b

）=rnn

n nn

n n nn{bn

是 A的上界，

x

A，

b（n=1，2，……，n令n

xlimn

b=r r是 A的上界。n而

limn

a rn

0,nNr

a，n從而r

aX，r=supA。n同理可證非空有下界數(shù)集有下確界。定理證完。單調(diào)有界定理區(qū)間套定理證明：已知a

a （

a b b，由單調(diào)有界定理知{a }存在極限，設(shè)lim

a =r，n n

n n 1

n nnn同理可知存在極限，設(shè) limnn

br n

lim（b nn

a ）0n

r=0即r r，

a b，

n

a r

rb， ，

a rb。n n n n n n唯一性證明同用實(shí)數(shù)基本定理對。定理證完。三．用確界定理證明其它定理確界定理→實(shí)數(shù)基本定理證明：對給定R的一個(gè)分劃B，由于bB，b是集合A的上界，由確界定理可得，集合A有上確界 r，即aAarr是集合A的上確界，r是集合A的全體上界的最小數(shù)。b

B，有rb。唯一性同用單調(diào)有界定理對實(shí)數(shù)基本定理的證明（即二。。定理證完。n確界定理→單調(diào)有界定理n證明：設(shè){x}n

是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列。由確界定理可得，r，使r=sup{x}。n,x n

r，并且

0，

x，xN

rn

N,rxN

x n

r，即|x n

r|nlimnn

x=r。）。定理證完。確界定理→區(qū)間套定理證明：[a ，b ][a ，b，知a是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列，b是單調(diào)下降有下界的數(shù)n1 n1 n n n n列。且b是a 的上界，a是b的下界。設(shè)lim

a =r，

b=r，由確界定理對的證明知1 n 1 n

n

n nr=supa，r=infb。由lim（b

）=0

r=0

r=supa=infb}n n n n n n n n，有a rb。n n唯一性證明同用實(shí)數(shù)基本定理對）。定理證完。確界定理→有限覆蓋定理證明：設(shè)E是閉區(qū)間[a，b]的一個(gè)覆蓋。定義數(shù)集A={xa|區(qū)間[a，x]在E中存在有限子覆蓋}從區(qū)間的左端點(diǎn)xa開始 .由于在E中有一個(gè)開區(qū)間覆蓋a,因此a及其右側(cè)充分鄰近的點(diǎn)均在A中.這就保證了數(shù)集A是非空的.從數(shù)集A的定義可見,若xA,則整個(gè)區(qū)間[a，x]A.AbAabEAr=supA。 x

r

Ar

x)0,

y,使得y

r(r

x)x。[a，

Eaxay

]在E中存在有限子覆蓋下證br。用反證法。如果不然，rb，則r[a，b]。因此，在E中存在有一開區(qū)間覆蓋Er

b E

rb。0 0 0 0由上面論證知a 也即區(qū)間[a，a]在E中存在有限子覆蓋向這個(gè)有限子覆蓋再加上開區(qū)間E ，0 0ab]的覆蓋。確界定理→緊致性定理

b Ar=supA0n 證明：設(shè)數(shù)列A={x|xn nn有界 A有上界且非空。由確界定理可得使。nnn則n

0，有r

不是A的上界。

r

的項(xiàng)有無窮多個(gè)。r

是A界

r

的項(xiàng)只有有限個(gè)。（r

，r

）n

0,n

使x rn

）對

1，n1

x （n1

1，

1）即|x |1n1取1，2

n 2

n，有|x 1n12

1，……如此繼續(xù)下去，2取

1，n k k

nk1

，有|x nk

1，由此得到的子數(shù)列nk n

，

k時(shí)，x rnkn n存在收斂子數(shù)列。定理證完四．用區(qū)間套定理證明其它定理實(shí)數(shù)基本定理證明：對給定R的A|，

A

bB，用a，

的中點(diǎn)a

a

b，如果a

B，則取[a，

1b ]=[a

1 1 1 12 1 1 1b ]；12 1 2 2 1 12 1如果a

A，則取[a，

]=[a

，b]；……如此繼續(xù)下去，便得區(qū)間套[a，

b]。12 1 2 2 12 1 1 n n其中，

A

。由區(qū)間套定理可得，唯一的

r[

b，使lim

a =lim b=n n n nn1r。

nn

nn

a

A

b，令nn

，有a r

bB，

有a n

b有 rb，足arb的 r的有數(shù)的。1。定理證完。區(qū)間套定理單調(diào)有界定理證明：設(shè)xn是單調(diào)上升有的數(shù)列b是它的，ax1，a，1 1 1

b，1中必有一區(qū)間含n的無窮多項(xiàng)，a，2

b ，a2 2

b ，如此繼續(xù)下去，得2a，b，n，a，b]含x

區(qū)間套定理可唯一的

r[a,b]，n n n n n

n nn1使lim

a =

b=r。則對

0,

nN

，有r

a

r。nn

n n nn取nN，[a

b 含xn的無窮多項(xiàng)，則，使x [a

b ]。0 n n0 0

M n n0 0當(dāng) mM時(shí)，

x [a ，b ]如果不然，m M

，有b

x ，則在[a ，b ]中最多只

{x}nm n n0 0

1 n n n0 0 m的前m 項(xiàng)，與[a ，b ]的構(gòu)造矛盾。從而當(dāng) mM時(shí)，有 ram

x b

r，即1 n nn0 0n

n m n0 0|x -r|。m確界定理

limn

x =r，即limMnM

x=r。定理證完。由數(shù)集A知aAa不是A的上界另外知b是A的上界a，ba，1 1b，用

，b的中點(diǎn) a

二等分[a，b，如果 a

是 A的上界，則取[a，b ]=[a a b ；1 1 12

1 1 12 1

2 2 1， 12 1如果 a b 不是 A的上界，則取[a，b ]=[a b ，b；用a，b 的中點(diǎn) a b 二等分[a，12 1 2 2 12 1 1 2 2 22 2 2]……如此繼續(xù)下去，便得區(qū)間套a，

b]。其

a不是 A的上界，b 是 A的上界。由區(qū)間套定理可2得，唯一

r[

b，使lim

na =

nb=r。x

nA，

b（n=1，2，……，n nn1

nn

n nn令n

xlimn

b=r r是 A的上界。n而0,

limn

a =r知n

0N，

nN，

r

a，n從而r

a r=supA。n同理可證非空有下界數(shù)集有下確界。定理證完。區(qū)間套定理有限覆蓋定理用E是閉區(qū)間ab

]的a

E的有限子覆蓋a

]=[a，1b，二等分a1 1

b，其中區(qū)間沒有E的，a，1 2

b ，二等分a2 2

b ，……2如此繼續(xù)下去，便得區(qū)間套{[a，

b，滿足n，a

b]沒有E的有限子覆蓋。由區(qū)間套定理可得，唯一

r[

nb，使

na =

n nb=r。n nn1

nn

nn由E是[a，b]的覆蓋，知(,)

，使

r根據(jù)極限不等式，

N ，當(dāng)n1

N ，有a ，1 nN ，當(dāng)n2

N ，有2

b。n取 N=max（N

N ，n

N，有a

b。又a

r

b（，1 2

n n n當(dāng)n

N，有[a，b]n n

(,

，an

bE的有限子覆蓋矛盾。n故[a，b]在E中存在有限子覆蓋。定理證完。緊致性定理ab，a

x n

abE的有限子覆蓋，aba，1

b，二等1分[a，1

b，中區(qū)間含x的，a，n1 2n

b ，二等分a2 2

b ，如此繼續(xù)2下去，便得區(qū)間套a，b]，滿足n，a，

b]含

}的無窮多項(xiàng)。由區(qū)間套定理可得，唯一的nrab，使lim

na =

n n nb=r。n nn1

nn

nn因此n1

，使r

1an1

rb n1

1。這時(shí)存在 xn1

[an1

b，歸納地，n1

1

n ，使r k k

a rbn nk

r1k由[a ,b ]含的無窮多項(xiàng)，知x [a ,n

，n

，由a x b ，n n nk k

n n k k

k1

n n nk n k令k

， lim xnn n

r。

n存在收斂子數(shù)列。定理證完五．用有限覆蓋定理證明其它定理有限覆蓋定理區(qū)間套定理證明：用反證法如果不然，設(shè)存在a，b，有

[

,b]

記開區(qū)間

, )（

a ），n n n n1

n n 1 n( ', ')=

b，

1）

( ,

) (

', ')=

1）\[a，

這時(shí)n n n 1

n n n n 1 1 n nE={(

, )n n

( ',n

')，1，2，構(gòu)成了a，1

b]的覆蓋。由有限覆蓋定理，存在 N，使得1N (

, )(

',

')

ab，這就推出，

nN時(shí)，[a，

b]是空集，這是可能。n nn1

n n 1 1 n n矛盾，故有

n

[a,b]n n

，即存在r使

rn1

[a,b]。n n唯一性證明同用實(shí)數(shù)基本定理。定理證完。有限覆蓋定理緊致性定理證明：設(shè)n，有a

x b。n先證x [a，b0

0,,(x 0

,x 0

)中必含有 x 的無限項(xiàng)。n如果不然。x

[a，b

x

0，使(x

,xx

)只x

n的有限項(xiàng)。記 E={(

,xx

|x[a，bx

由上產(chǎn)生，是a，b的一個(gè)覆蓋x由有限覆蓋定理，知E中有限個(gè)開區(qū)間（ x1

,x1

）(x1

,x2

)……2(x ,xn n

，{xn

,xi

}均只i

的有限項(xiàng)n，有a

x n

矛盾。n結(jié)論成立。n特別地，取 =1，則

x

x-1

x+1），而且n n

，

n的子數(shù)列且收nkk nk 0 k 0 k

k k1 nk斂于x。定理證完0六．用緊致性定理證明其它定理緊致性定理單調(diào)有界定理n證明：設(shè)n

是單調(diào)上升上界實(shí)數(shù)列

界，由緊致性定理可得

的子數(shù)列}nnknn且收斂于 r。

0，

K，當(dāng)kK

時(shí)，有|x nk

，即r

x r，nkN=n K1

n

，有 x

xnnKn

r。nn nk

nN，nk'

n，從而 x xnnnk'nnn

r

，即|x-r|。

0，

Nn ，當(dāng)nK1

nK1

，有|x-r|

，limnnnnn

x=r。定理證完。緊致性定理柯西收斂定理已知n

rR

limn

x=r，

0N

n

n，有|x-r|。n2因此，只要nN，

m

，有|x-x |=|xx ||xx |。n m m n n充分性先證n m m n n

1，

N，當(dāng)nN，

m

，有|x-x |1。n 取定n =N+1，則只要nN，有|x-x |1，從而|x|=|x-x +x |1+|x n 0n n00

n n n n n0 0 0令 x（|x，……，|x ，1+|x ，則|x|

n。1 N n n0n下證n

有極限存在。

有界，由緊致性定理可得，

的子數(shù)列nnknn

且收斂于 r。即

0，

K，當(dāng)kK

時(shí)，有|x -r| 。nk 2另外，N

，當(dāng)nN，

m

，有|x-x |。1 1 1 n m 2取

n K1

N ，則只要n1

，取k0

N，則|x-r|=|x-x +x -r|=n n k n n k |x-x |+|x -r|

。

x=r。定理證完。n k k0 0

n n七．用柯西收斂定理證明其它定理柯西收斂定理單調(diào)有界定理證明：n是單調(diào)上升上的實(shí)數(shù)列。用反法和柯西收斂定理。若

n不存在極限。則 0

N，nN

，有 x-x =|x-x |。0依次取

N =1，

N

x -

N n N，1N =n

1n

n 1 0111，使x -x ，2 1 2 1

n n 02 1……，

N =n k k1

n k

N k

x -xn nnnk knn

。0把它們相加，得到x -

k

G

k

Gx1

，有 x

G，

}有界矛盾，故{x}必n 1 k

nk0有極限。定理證完。柯西收斂定理緊致性定理證明：設(shè)數(shù)集 A非空有上界，

b是 A的上界，a不是 A的上界，a b，用a，b的中點(diǎn) a1b1二1 1 1 1 1 1 2等分[a，

，如果 a bb1 b

是 A的上界，則取[a

b ]=[a

b1

；如果 a b1

不是 A的上1 1 2 2 2 1 2 2界，則取a

b ]=[a1b1；用a

b 的中點(diǎn)

b2

二等分[a，]……如此繼續(xù)下去，得2 2 2 1 2 2 2 2 2數(shù)列a，b滿足n，

a不是 A的上界，b 是 A的上界且 lim

b

）=0。n n n

n n n n下證{a}是柯西列。lim（n n

b an

）0，即

0，

N，當(dāng)nN

，有|b n

a |。n又a

b b，從而Z，|a

a |

）

，故{a}是柯西列從n n

n1 n

np n n n n而收斂，設(shè)limn

a =r。n最后證 r=supA。n

a不是 A的上界，aA,n

a an

limn

a =r，n

0，N，當(dāng)nN

，有ran

ar。

0，

N，當(dāng)nN

，有r

ar，故 A。定理證完。下證 r是唯一的。即唯一的 r，使n

a rb。如果不然，若有,r滿足r[

,b]，n n n nn1rn1

[a,b]，則rb an n n

0(n)，故r

。即這樣的r是唯一的。定理證完。

（三）證明過程中的幾點(diǎn)發(fā)現(xiàn)黑格爾曾說：“證明是數(shù)學(xué)的靈魂。”數(shù)學(xué)是的。下，如果的，則必有什么性質(zhì)。假如具備什么條件的話，則必然有什么結(jié)果。在實(shí)數(shù)基本定理的等價(jià)證明之中，我們深深體會(huì)到這一點(diǎn)。對同個(gè)定理的證明，雖然不同的定理作為工具會(huì)使證明有簡繁之分，有的用的是類似的證明方法，有的出發(fā)與站角同同同個(gè)定理，也可能有不同方法。即使方法同同我們與發(fā)在證明過程中的幾點(diǎn)發(fā)現(xiàn)。一.不同的定理對同一個(gè)定理證明方法的聯(lián)系單調(diào)有界定理與區(qū)間套定理對其它各定理的證明從閉區(qū)間套的定義中，我們可以清楚地看出，閉區(qū)間套的左右端點(diǎn)分別形成兩個(gè)數(shù)列，其中左端點(diǎn)的數(shù)列{a}單調(diào)增加，以每個(gè)b為上界，而右端點(diǎn)所成的數(shù)列單調(diào)下降，以每個(gè)a為下界。正因?yàn)槿绱?，n n n n我們用單調(diào)有界原理證明了區(qū)間套定理。[具體證明見（一）]在用單調(diào)有界定理與區(qū)間套定理證明同一定理的過程中，可以看到，要用單調(diào)有界定理證明，就需要找出兩個(gè)單調(diào)性相反、并將收斂于同一極限的數(shù)列。自然地，也就已經(jīng)形成了閉區(qū)間套。如在證明實(shí)數(shù)基本定理中，找到一單調(diào)上升數(shù)列{a}A，單調(diào)下降數(shù)列B，n n在證明確界定理中，找到一單調(diào)上升數(shù)列{a}不是數(shù)集的上界，n一單調(diào)下降數(shù)列b}是數(shù)集的上界；n若要用單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理，緊致性定理，也可以用二分法構(gòu)造區(qū)間套的方法和反證法。找到一單調(diào)上升數(shù)列{a}，一單調(diào)下降數(shù)列，使得在每個(gè)[a， b區(qū)間上具備某種性質(zhì)，從而推出矛n n n n盾。從用單調(diào)有界定理證明實(shí)數(shù)基本定理和確界定理的過程，本質(zhì)上是通過區(qū)間套去實(shí)現(xiàn)的，而與區(qū)間套定理相聯(lián)系的，有構(gòu)造閉區(qū)間套的方法，從而在應(yīng)用中往往比單調(diào)有界定理強(qiáng)得多。⑴區(qū)間套定理與緊致性定理對柯西收斂定理的證明由于緊致性定理是由區(qū)間套定理推導(dǎo)證明出來的，如同單調(diào)有界定理由區(qū)間套定理證明一樣，若要用區(qū)間套定理證明柯西收斂定理，先用二分法構(gòu)造區(qū)間套，找出柯西列的一收斂子數(shù)列（其實(shí)是在重復(fù)區(qū)間套定理證明緊致性定理的過程），再證子數(shù)列的極限就是該柯西列的極限。⑵同樣地，由于緊致性定理可由確界定理推出，定義數(shù)集A后推出柯西列存在一收斂子列，再證柯西收斂定理的結(jié)論。對于要證的定理，根據(jù)它受制約的條件和所具備的條件去考慮證明方法。如要證確界定理，無論是用實(shí)數(shù)基本定理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理，還是柯西收斂定理，都需要找出兩組數(shù)列{a， ，{a單調(diào)上升而不是數(shù)集的上界，{b單調(diào)下降是數(shù)集的上界。用以上的四個(gè)n n n n定理時(shí)，最終都是要找出一個(gè)點(diǎn)，使它是數(shù)集的上確界。如要證緊斂性定理，無論是確界定理從正面推，還是區(qū)間套定理和有限覆蓋定理從反面證，都需要用到數(shù)n列 {x}有無窮多項(xiàng)這個(gè)條件。n二．同一定理對另一定理的證明要證一個(gè)定理，即使用同一個(gè)基本定理，也可能有不同的方法。以下分別用兩種方法完成“單調(diào)有界定理→緊致性定理”和“區(qū)間套定理→柯西收斂定理。⑴單調(diào)有界定理→緊致性定理證法一：由上一部分的論述，我們知道，用單調(diào)有界定理證明緊致性定理，可以用二分法，本質(zhì)上用區(qū)間套去證明緊致性定理。證法二：首先證明有界數(shù)列{a}有單調(diào)子數(shù)列。n稱其中的項(xiàng)的最大數(shù)。

a有性質(zhì) ，若對每個(gè) in

n

aa，也就是說，n i

a是集合{a|in}n i分兩種情形討論：數(shù)列{a有無窮多項(xiàng)具有性質(zhì) ，將它們按下標(biāo)的順序排列，記為a

a ……a ，n n n n1 2 k滿足n 1

n ……n2

，那么我們就已經(jīng)得到一個(gè)單調(diào)下降的子列 {a 。n②數(shù)列{a只有有窮多項(xiàng)具有性質(zhì) ，那么N，n

n

k，有 a不具有性質(zhì) ，即nin，有 aan i

，從中任取一項(xiàng)記為a，因?yàn)樗痪哂行再|(zhì) ， n1

n 2

n，使1a a ，，如此繼續(xù)下去，我們得到一子列{a 單調(diào)上升， ∴有界數(shù)列{a必有n n n n1 2 k單調(diào)子數(shù)列，由單調(diào)有界定理，可得{a }存在極限。nk⑵區(qū)間套定理→柯西收斂定理，。

n有界定理定理）∴a,1

b，使n，有a x1 1

b，將區(qū)間[a，1 1

b]，令c 1 1

2a b ，1 121c a1

2b1

，得到三個(gè)長度相同的子區(qū)間[a，

c]，[c

c ]，[c

b]，，，2 2 1 1 1 2 2 1，，，，別記為J J，，1 2

J，根據(jù)它們在實(shí)數(shù)軸上的左中右位置和基本列定義， J J3，3131至少有一區(qū)間只含有數(shù)列n的有限多項(xiàng)。如果不然，在 J3，3131

J均有數(shù)列的無限多項(xiàng)，那么0

ba3

， 取x J，n 1，

x J ， n， m 可 以任意大， 滿足3m|x-x |3m

b

，與基本列定義矛盾，∴結(jié)論成立。n m0 3∴可ab]中去掉只含1 1

x中有限多項(xiàng)的區(qū)間 J或J，將得到區(qū)間[a，b ，n 1 3 2 2重復(fù)這個(gè)過程，得到區(qū)間套{[a，n

b，區(qū)間套有下n2① 閉區(qū)間套中的每個(gè)區(qū)間的長度是前一個(gè)區(qū)間3。② 每一an

b]中含有數(shù)列從某項(xiàng)后的所有項(xiàng)。nnn由①所得，唯一的實(shí)數(shù) r，使

a =

b=r。nn

nn∵

0，

N使得aN

b]（r，N

r，由②可得N

，當(dāng)＞N，有|x|

，

limn

x=r。定理證完。nn兩種證法分別采用的是區(qū)間套的兩種構(gòu)造方法：nnb a二分法具有b -a = n n，這就保證了點(diǎn)r唯一，而對有界數(shù)列

，更構(gòu)造n1 n1 2 n區(qū)間含有數(shù)列

的無多項(xiàng)三分法不具

b -a

2(b a)n n ，n n

n1 3也保證了點(diǎn)r唯一，更是用到了基本列的性質(zhì)，使每個(gè)閉區(qū)間包含從某項(xiàng)起的所有項(xiàng)。用同一種方法證明同一個(gè)定理，還可能有不同的細(xì)節(jié)⑴如在用單調(diào)有界定理證明實(shí)數(shù)基本定理，當(dāng)證完

lim a =

b=rnn

nn要證a

bB

arb，按照前面的證法，是：aA，有ab （n=1，2，……，n

n，知arb

B，有an

b（n=1，2，，

n，知rb

arb還可以用另一種證法證明：a

bB有

arb，這等價(jià)于證明：a，b滿足ar，rb，有a

bB

。事實(shí)上，ar，

lim

a =r，知n，使a

A，故aA，而對b

r，由b=a

b a2n 2

，知lim

n 0nb=rn n n0

nnn，使得b

b n1

，從而bB⑵如在證區(qū)間套定理過程中，當(dāng)證完lim

a =

b，即

rr，nn

nn要證n

rb，用單調(diào)有界定理（3）證明過程中是用到極限不等式。而用確界定n n理（三.3）在證明過程中，則是由確界定理對單調(diào)有界定理證明的一個(gè)結(jié)論。得出lim a =nnsupa

lim

b =infb，再由確界定義去證明。n n nn三．定理作為工具運(yùn)用的特點(diǎn)確界定理：構(gòu)造數(shù)集，使其具有某種性質(zhì)，并將這種性質(zhì)傳遞到數(shù)集的確界，使確界之后的數(shù)不可能具備該性質(zhì)。區(qū)間套定理：從構(gòu)造過程中，使某種性質(zhì)從第一個(gè)區(qū)間開始傳遞到第二個(gè)閉區(qū)間，再從第二個(gè)區(qū)間推到第三個(gè)區(qū)間……。如此繼續(xù)下去，直到將這個(gè)性質(zhì)聚到區(qū)間套所共有的點(diǎn)的任意附近。緊致性定理：從數(shù)列的極限理論，我們知道收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。在一系列需要構(gòu)造收斂數(shù)列的分析問題中，往往一開始構(gòu)造一個(gè)有界數(shù)列，然后由緊致性定理得出子列，也即緊致性定理，讓我們從“混亂”的數(shù)列中找出了“秩序有限覆蓋定理：在分析問題過程中，往往可以從局部性質(zhì)推向整體性質(zhì)，特別是將有限覆蓋與反證法相結(jié)合，往往可以推出矛盾?？挛魇諗慷ɡ恚和耆藬?shù)列本身出發(fā)，由于它給出的是極限存在的充分必要條件，不需要先假定極限的存在，相比極限的定義來說，這是一個(gè)很大的進(jìn)步。四．在證明過程中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論從用有限覆蓋定理證明緊致性定理和用確界定理證明緊致性定理中，我們都證明了一個(gè)結(jié)論：若x [a，b0

0,,(x 0

,x 0

)中必含有