微分方程穩(wěn)定性理論

關(guān)于微分方程穩(wěn)定性理論1第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2如果存在某個(gè)鄰域，使方程(1)的解x(t)從這個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)x(0)出發(fā)，滿足

(3)則稱平衡點(diǎn)x0是穩(wěn)定的(穩(wěn)定性理論中稱漸進(jìn)穩(wěn)定);否則，稱x0是不穩(wěn)定的(不漸進(jìn)穩(wěn)定).

判斷平衡點(diǎn)x0是否穩(wěn)定通常有兩種方法.利用定義即(3)式稱間接法.不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法稱直接法.下面介紹直接法.第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月3將f(x)在x0點(diǎn)作Taylor展開，只取一次項(xiàng)，方程(1)近似為

(4)(4)稱為(1)的近似線性方程，x0也是方程(4)的平衡點(diǎn).關(guān)于x0點(diǎn)穩(wěn)定性有如下結(jié)論：若f'(x0)<0，則x0對(duì)于方程(4)和(1)都是穩(wěn)定的;

若f'(x0)>0，則x0對(duì)于方程(4)和(1)都是不穩(wěn)定的.第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月4注:x0點(diǎn)對(duì)方程(4)穩(wěn)定性很容易由定義(3)證明：記f'(x0)=a，則(4)的一般解為x(t)=ceat+x0(5)其中常數(shù)c由初始條件確定，顯然，a<0時(shí)(3)式成立.第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月5二階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性二階方程可用兩個(gè)一階方程表為

(6)右端不顯含t，是自治方程.代數(shù)方程組

(7)的實(shí)根x1=x10,x2=x20稱為方程(6)的平衡點(diǎn)，記作P0(x10,x20).第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月6如果存在某個(gè)鄰域，使方程(6)的解x1(t),x2(t)從這個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)(x1(0),x2(0))出發(fā)，滿足

(8)則稱平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的(漸進(jìn)穩(wěn)定);否則，稱P0是不穩(wěn)定的(不漸進(jìn)穩(wěn)定).第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月7先看線性常系數(shù)方程

(9)(非齊次方程組，可用平移的方法(x1=u1+c1,x2=u2+c2)化為齊次方程組)系數(shù)矩陣記作

(10)為研究方程(9)的唯一平衡點(diǎn)P0(0,0)的穩(wěn)定性，假定A的行列式detA

0.(11)第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月8P0(0,0)的穩(wěn)定性由(9)的特征方程det(A

I)=0(12)的根(特征根)決定.方程(12)可以寫成更加明晰的形式

(13)將特征根記作1,2，則

(14)第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月9方程(9)的一般解具有形式或c1,c2為任意常數(shù).(注意：課本p199是否誤為)第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月10按照穩(wěn)定性的定義(8)式可知，當(dāng)1,2均為負(fù)數(shù)或均有負(fù)實(shí)部時(shí)P0(0,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn);而當(dāng)1,2有一個(gè)為正數(shù)或有正實(shí)部時(shí)P0(0,0)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn).在條件(11)下1,2均不為零.

按上述理論可得根據(jù)特征方程的系數(shù)p,q的正負(fù)來判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則：若p>0,q>0，則平衡點(diǎn)穩(wěn)定;若p<0,q<0，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.

對(duì)一般的非線性方程(6)，仍可在平衡點(diǎn)作一次Taylor展開，得常系數(shù)的近似線性方程來討論.第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月116.2軍備競(jìng)賽

兩個(gè)國家或國家集團(tuán)之間由于相互不信任和各種矛盾的存在、發(fā)展而不斷增加自己的軍事力量，防御對(duì)方可能發(fā)動(dòng)的戰(zhàn)爭(zhēng).本節(jié)介紹L.F.Richardson1939年提出的一個(gè)模型.第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月12軍備競(jìng)賽

(armsrace)

軍事大國為了實(shí)行對(duì)外擴(kuò)張，爭(zhēng)奪世界霸權(quán)，競(jìng)相增加、提高軍事裝備的數(shù)量和質(zhì)量，并向高技術(shù)領(lǐng)域發(fā)展的特有過程。第一次世界大戰(zhàn)以前，主要在英國和德國之間進(jìn)行海軍競(jìng)賽。第二次世界大戰(zhàn)以后主要在美國、蘇聯(lián)兩國之間進(jìn)行，可分為下列幾個(gè)階段：①常規(guī)武器競(jìng)賽。戰(zhàn)后美、蘇在冷戰(zhàn)中大規(guī)模加強(qiáng)常規(guī)軍備。雙方不斷更新各種武器裝備和發(fā)展現(xiàn)代技術(shù)，以服務(wù)于軍事、政治目的。②核武器競(jìng)賽。20世紀(jì)70年代，美、蘇核武器競(jìng)爭(zhēng)激烈，結(jié)果雙方擁有世界核彈頭庫存總數(shù)的97％，同時(shí)雙方在核武器運(yùn)載工具、多彈頭分導(dǎo)等高技術(shù)領(lǐng)域的研制投入大量人力和物力。③太空武器競(jìng)賽。第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月13軍事分析家平可夫:中日軍備競(jìng)賽由隱形轉(zhuǎn)向有形

/letter/加入日期2005-5-249:02:37點(diǎn)擊次數(shù)：3

防衛(wèi)廳消息來源聲稱過去一年以來，航空自衛(wèi)隊(duì)在日本排他經(jīng)濟(jì)水域周圍監(jiān)視中國軍用飛機(jī)的次數(shù)明顯增多。它們大半是偵察機(jī)。在海上，中國海軍的最新型俄式“現(xiàn)代”導(dǎo)彈驅(qū)逐艦的活動(dòng)也比較頻繁。冷戰(zhàn)時(shí)代蘇聯(lián)海軍太平洋艦隊(duì)的“現(xiàn)代”級(jí)導(dǎo)彈驅(qū)逐艦經(jīng)常航行在東海海域，目前中國出現(xiàn)的頻率超過了俄羅斯海軍。第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月14李敖:與大陸軍備競(jìng)賽會(huì)拖垮臺(tái)灣

2005-6-23【大公網(wǎng)訊】

無黨籍「立委」李敖23日表示，臺(tái)灣與大陸軍備競(jìng)賽是三輪車追汽車，越追越遠(yuǎn)，還未與大陸開戰(zhàn)，臺(tái)灣的經(jīng)濟(jì)就會(huì)被拖垮，如同前蘇聯(lián)與美國軍備競(jìng)賽，因經(jīng)濟(jì)崩潰而解體，因此不應(yīng)購買愛國者三型飛彈等三項(xiàng)軍購。第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月15

80年代軍備競(jìng)賽轉(zhuǎn)向太空和其他高技術(shù)領(lǐng)域，美國制定的星球大戰(zhàn)計(jì)劃即是例證。軍事預(yù)算的迅速增長(zhǎng)、武器質(zhì)量性能優(yōu)勢(shì)的爭(zhēng)奪以及軍事戰(zhàn)略的不斷變化，是美、蘇軍備競(jìng)賽的主要特點(diǎn)。

90年代世界經(jīng)濟(jì)不斷國際化、各國間相互依存關(guān)系的加強(qiáng)，以及由于美、蘇政治戰(zhàn)略的調(diào)整，帶來了國際局勢(shì)的緩和，使軍備競(jìng)賽的勢(shì)頭趨緩。在實(shí)現(xiàn)實(shí)質(zhì)性裁軍的同時(shí)，美、蘇的競(jìng)爭(zhēng)更多地轉(zhuǎn)向了以經(jīng)濟(jì)為中心的綜合國力方面。但美國依舊發(fā)展了如隱形飛機(jī)等的新式武器裝備。

1991年蘇聯(lián)解體，持續(xù)40多年的美、蘇軍備競(jìng)賽結(jié)束。但80年代后期至90年代初期軍備競(jìng)賽出現(xiàn)了一些新特點(diǎn)，地區(qū)間的中小國家為推行地區(qū)霸權(quán)主義，大力加強(qiáng)軍備，造成局部戰(zhàn)爭(zhēng)和地區(qū)沖突，成為影響國際和平的一個(gè)因素。第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月16模型的假設(shè)和構(gòu)成為了方便起見，用軍備表示軍事力量的總和，如兵力、裝備、軍事預(yù)算等.甲乙雙方在時(shí)刻t的軍備分別記作x(t)和y(t)，假設(shè)它們的變化只取決于下面3個(gè)因素：

1.由于相互不信任及矛盾的發(fā)展，一方軍備越大，另一方軍備增加得越快;2.由于各方本身經(jīng)濟(jì)實(shí)力的限制，任一方軍備越大，對(duì)軍備增長(zhǎng)的制約作用越大;3.由于相互敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端，每一方都存在著增加軍備的固有潛力.第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月17進(jìn)一步假定前兩個(gè)因素的影響是線性的，第3個(gè)因素的影響是常數(shù)，那么x(t)和y(t)的變化過程可用微分方程組

(1)表示，其中的系數(shù)均大于或等于零.k,l是對(duì)方軍備刺激程度的度量;,是己方經(jīng)濟(jì)實(shí)力制約程度的度量;g,h是己方軍備競(jìng)賽的固有潛力.

如果我們感興趣的是軍備競(jìng)賽的結(jié)局由什么因素決定，而不關(guān)心競(jìng)賽的過程，那么只需用微分方程穩(wěn)定性理論討論時(shí)間充分長(zhǎng)以后x(t),y(t)的變化趨勢(shì)，即方程(1)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定情況.第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月18令(1)式右端等于零，容易算出平衡點(diǎn)(x0,y0)為

(2)方程(1)的系數(shù)矩陣為第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月19于是按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法計(jì)算(見6.6節(jié)(9)～(13)式)p=(a11+a22)=+>0(3)q=detA=

kl(4)由穩(wěn)定性準(zhǔn)則(見6.6節(jié)(15)式)，當(dāng)

>kl(5)時(shí)，平衡點(diǎn)(x0,y0)是穩(wěn)定的;反之，是不穩(wěn)定的.

這就是說，在(5)式的條件下，時(shí)間足夠長(zhǎng)以后雙方的軍備將分別趨向一個(gè)有限值，軍備競(jìng)賽是穩(wěn)定的．

第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月20模型的定性解釋根據(jù)方程(1)和平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析，可以解釋幾個(gè)簡(jiǎn)單而又重要的現(xiàn)象.1.條件(5)表明，當(dāng)雙方的經(jīng)濟(jì)制約程度大于雙方的軍備刺激程度kl時(shí)，軍備競(jìng)賽才會(huì)趨向穩(wěn)定.反之，x(t),y(t)將趨向無窮，競(jìng)賽無限地進(jìn)行下去，可能導(dǎo)致戰(zhàn)爭(zhēng).2.由(2)式，如果g=h=0，則x0=0,y0=0是方程(1)的平衡點(diǎn)，并且在條件(5)下它是穩(wěn)定的.于是如果在某個(gè)時(shí)候t0有x(t0)=y(t0)=0，x,y就永遠(yuǎn)保持為零.這種情況可以解釋為雙方不存在任何敵視和爭(zhēng)端，通過裁軍可以達(dá)到持久和平．兩個(gè)友好的鄰國正是這樣.第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月21

3.如果g,h

0，即使由于某種原因(如裁軍協(xié)定)在某個(gè)時(shí)候雙方軍備大減，不妨設(shè)x(t0)=y(t0)=0，那么因?yàn)橐矊⑹闺p方重整軍備.這說明未經(jīng)和解的裁軍(即不消除敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端)是不會(huì)持久的.4.如果由于某種原因(如戰(zhàn)敗或協(xié)議)在某個(gè)時(shí)候一方的軍備大減，不妨設(shè)x(t0)=0，那么因?yàn)橐矊⑹乖摲街卣妭?這說明存在不信任(k

0)或固有爭(zhēng)端(g

0)的單方面裁軍也不會(huì)持久.第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月22模型參數(shù)的估計(jì)為了利用(5)式判斷軍備競(jìng)賽是否會(huì)趨于穩(wěn)定，需要知道,,k,l的數(shù)值.估計(jì)這些參數(shù)無疑是很困難的，下面是Richardson提出的一種方法．

1.k,l估計(jì)設(shè)x(0)=0，當(dāng)t較小時(shí)，忽略g和x的作用，并近似地假定y=y1不變，由方程(1)得

(

x=ky1t)(6)如果當(dāng)t=時(shí)x=y1,則由(6)式得到k

1=(7)這說明k

1是甲方軍備從0到趕上乙方軍備y1所需的時(shí)間.第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月23例如德國從1933年開始重整軍備，只用了約3年的時(shí)間就趕上了它的鄰國.假設(shè)它增加軍備的固有潛力g被制約效應(yīng)x所抵消，那么可以認(rèn)為德國的k

1

3年，即k

0.3.

l可以類似地估計(jì)，或者合理地假定它與國家的經(jīng)濟(jì)實(shí)力成正比.這樣若乙國的經(jīng)濟(jì)實(shí)力是德國的2倍，則可以估計(jì)l

0.6.第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月24

2.,的估計(jì)設(shè)g=0,y=0，由方程(1)可得x(t)=x(0)et以t=

1代人算出x(

1)=x(0)/e這表示

1是在乙方無軍備時(shí)甲方軍備減少到原來的1/e所需的時(shí)間．Richardson認(rèn)為這大概是一個(gè)國家議會(huì)的任期，對(duì)于議會(huì)任期5年的國家來說，

0.2.第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月25對(duì)模型和參數(shù)的粗略檢驗(yàn)考察第一次世界大戰(zhàn)前夕歐洲的兩個(gè)國家同盟——法俄同盟和德奧匈同盟的軍備競(jìng)賽情況.

兩個(gè)同盟的經(jīng)濟(jì)實(shí)力大致相等，且約為德國的3倍，因?yàn)榈聡膋

0.3，所以這兩個(gè)同盟的k=l

0.9.同時(shí)假定

=

0.2，那么由于

<kl，(5)式不成立，它們的軍備競(jìng)賽不會(huì)趨向穩(wěn)定．

第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月26事實(shí)上，當(dāng)時(shí)兩個(gè)同盟之間既有軍備競(jìng)賽也有貿(mào)易往來.用x1,y1表示雙方的軍事預(yù)算，x2,y2表示雙方的貿(mào)易往來，從軍事預(yù)算中扣除貿(mào)易往來作為雙方的軍備，即x=x1

x2,y=y1

y2.以k=l,=代人方程(1)，并將兩式相加得到

(8)或?qū)懽?/p>

第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月27

(9)式表明，x1+y1