線性代數(shù)二次型及其標準形詳解演示文稿

線性代數(shù)二次型及其標準形詳解演示文稿目前一頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點（優(yōu)選）線性代數(shù)二次型及其標準形目前二頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點3.二次型的矩陣表示式令，則于是

目前三頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點目前四頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點記目前五頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點

其中為對稱陣：.——二次型的矩陣表示式說明對稱陣與二次型一一對應；若，二次型的矩陣滿足：⑴的對角元是的系數(shù)；⑵的元是系數(shù)的一半.則對稱陣稱為

二次型的矩陣；二次型稱為對稱陣的二次型；3.二次型的矩陣表示式目前六頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點例如：二次型的矩陣為于是目前七頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點二、二次型的標準形二次型研究的主要問題是：尋找可逆變換，使

這種只含平方項的二次型稱為二次型的標準形(法式).特別地，如果標準形中的系數(shù)只在三個數(shù)中取值，那么這個標準形稱為二次型的規(guī)范形.標準形的矩陣是對角陣.目前八頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點三、化二次型為標準型1.經可逆變換后，新舊二次型的矩陣的關系：因為有所以與的關系為：目前九頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點2.矩陣的合同關系定義

設和是階矩陣，若有可逆矩陣，使則稱矩陣與合同.說明合同關系是一個等價關系.設與合同，若是對稱陣，則也對稱陣.對稱陣一定合同相似于一個對角陣.若與合同，則.經可逆變換后，二次型的矩陣由變?yōu)榕c合同的矩陣,且二次型的秩不變.目前十頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點把二次型化成標準形相當于把對稱陣用合同變換化成對角陣(稱為把對稱陣合同對角化)，3.化二次型為標準形對二次型作可逆變換，相當于對對稱陣作合同變換；即尋找可逆陣,使.定理8任給二次型,總其中是的矩陣的特征值.即任何二次型都可用正交變換化為標準形.（主軸定理，P262Th6.1）存在正交變換，使化為標準形目前十一頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形.即任何二次型都可用可逆變換化為規(guī)范形.

目前十二頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點證設有二次型由定理8知，存在正交變換，使設二次型的秩為，則特征值中恰有個不為0，不妨設不等于0，于是，令其中則可逆，且變換把化為目前十三頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點記，則可逆變換能把化為規(guī)范形目前十四頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形.即任何二次型都可用可逆變換化為標準形.

4.用正交變換化二次型為標準形的步驟：⑴寫出二次型的矩陣；⑵求出的特征值；⑶求出的兩兩正交的單位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量構成的矩陣，寫出所求的正交變換和二次型的標準型.目前十五頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點4.用正交變換化二次型為標準形的步驟：⑴寫出二次型的矩陣；⑵求出的特征值；⑶求出的兩兩正交的單位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量構成的矩陣，寫出所求的正交變換和二次型的標準型.將對稱陣正交相似對角化的步驟：(1)求特征值；(2)求兩兩正交的單位特征向量；(3)寫出正交矩陣和對角陣.目前十六頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點例1

已知二次型用正交變換把二次型化為標準形，并寫出相應的正交矩陣.解

析：此題是一道典型例題.目的是熟悉用正交變換化二次型為標準形的“標準程序”.⑴

寫出二次型對應的矩陣二次型對應的矩陣為目前十七頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點⑵求的特征值由，求得的特征值為目前十八頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點⑶求的兩兩正交的單位特征向量對應，解方程，由得基礎解系為將其單位化，得目前十九頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點對應，解方程，由得基礎解系為將其單位化，得目前二十頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點對應，解方程，由得基礎解系為將其單位化，得目前二十一頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點⑷寫出正交矩陣和二次型的標準形令矩陣則為正交陣，于是，經正交變換原二次型化為標準形目前二十二頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點例1+：求一個正交變換x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標準形（規(guī)范形）．目前二十三頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點例1+：求一個正交變換x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標準形．解：二次型的矩陣有正交陣使得于是正交變換x=Py把二次型化為標準形f=－2y12+y22+y32目前二十四頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點如果要把f

化為規(guī)范形，令，即可得f

的規(guī)范形：f=－z12+z22+z32目前二十五頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點例2已知二次型的秩為2.⑴求參數(shù)以及此二次型對應矩陣的特征值；⑵指出表示何種曲面.解

⑴二次型的矩陣因為的秩為2，所以的秩也為2，因而目前二十六頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點當時，的特征多項式為目前二十七頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點于是，的特征值為⑵由定理8知，必存在正交變換其中為正交矩陣(不必具體求出)，使二次型于是，曲面這表示準線是平面上橢圓、母線平行于軸的橢圓柱面.在新變量下稱為標準形目前二十八頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點目前二十九頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點一、情形1配方法的系數(shù)例3用拉格朗日配方法化二次型成標準形，并求所用的變換矩陣.

解目前三十頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點用到的線性變換為即用到的線性變換為即配方法目前三十一頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點配方法目前三十二頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點33所用的變換矩陣為于是，的標準形為配方法目前三十三頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點二、情形2的系數(shù)例4用拉格朗日配方法化二次型成規(guī)范形，并求所用的變換矩陣.

解先用下面可逆變換，使二次型中即配方法目前三十四頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點用到的線性變換為即配方法目前三十五頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點用到的線性變換為即配方法目前三十六頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點配方法目前三十七頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點配方法目前三十八頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點于是，配方法目前三十九頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點于是，所用的變換矩陣為因此，的規(guī)范形為配方法目前四十頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點三、慣性定理定理9

(慣性定理)設有二次型，它的秩為，有兩個可逆變換及使及則正數(shù)的個數(shù)相等.（證明：P275Th6.3）中正數(shù)的個數(shù)與中目前四十一頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點說明二次型的標準形正系數(shù)的個數(shù)稱為二次型的負系數(shù)的個數(shù)稱為負慣性指數(shù).

正慣性指數(shù)；若二次型的正慣性指數(shù)為，秩為，則的規(guī)范形變可確定為只有用正交變換把二次型化為標準形，標準形的系數(shù)才是二次型矩陣的特征值.目前四十二頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點例5下列矩陣中，與矩陣合同的矩陣是哪一個？為什么？目前四十三頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點解析：此題的目的是熟悉慣性定理，用慣性定理解題.容易求得的特征值，于是可知，所對應的二次型的正慣性指數(shù)為；負慣性指數(shù)為.合同的二次型應有相同的正、負慣性指數(shù)，故選(B).

應選(B)，理由是:目前四十四頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點例5下列矩陣中，與矩陣合同的矩陣是哪一個？為什么？目前四十五頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點一、正定二次型的概念定義設有二次型，⑴如果對任何，都有⑵如果對任何，都有，則稱為負定二次型，并稱對稱陣是負定的；陣是正定的；(顯然0)，則稱為正定二次型，并稱對稱目前四十六頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點說明按定義，當變量取不全為零的值時，二次型若是正定()二次型，則它的對應值總是正數(shù)().負定負數(shù)若是正定二次型，則就是負定二次型.目前四十七頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點二、正定二次型的性質與判別法定理10二次型為正定的充要條件是：它的標準形的個系數(shù)全為正數(shù)，即它的正慣性指數(shù)等于.推論1正定二次型(正定矩陣)的秩為.推論2對稱陣為正定矩陣的充要條件是：的特征值全為正.證明目前四十八頁\總數(shù)五十一頁\編于十六點定理10的證明證已知，有可逆變換，使先證充分性：設，任給，則，故再證必要性:

用反證法.

假設有，取(單位坐標向量)，這與