數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文正稿

PAGE...學(xué)習(xí)幫手.XX師范學(xué)院畢業(yè)論文〔設(shè)計(jì)等價(jià)無窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應(yīng)用姓名吳艷芳學(xué)號(hào)************年級(jí)2012級(jí)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系〔院理學(xué)院指導(dǎo)教師******20XX3月13日..摘要等價(jià)無窮小量具有很好的性質(zhì),靈活運(yùn)用這些性質(zhì),無論是在求極限的運(yùn)算中,還是在正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷中,都可取到預(yù)想不到的效果,能達(dá)到羅比塔法則所不能取代的作用.通過舉例,對(duì)比了不同情況下等價(jià)無窮小量的應(yīng)用以及在應(yīng)用過程中應(yīng)注意的一些性質(zhì)條件,不僅使這些原本復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,而且可避免出現(xiàn)錯(cuò)誤地應(yīng)用等價(jià)無窮小量.關(guān)鍵詞：等價(jià)無窮小量;極限;洛必達(dá)法則;比較審斂法;優(yōu)越性ABSTRACTEquivalentInfinitesimalhavegoodcharacters,bothinoperationoftestforLimitanddeterminewhetherthepositiveseriesconvergesordiverges,ifthesequalitythatapplyflexiblycanobtainmoreeffect,theeffectioncannotbereplacebyL'HospitalRule.ThispapergiveexamplesandcomparesomeinstancetopayattentiontoconditioninapplicationofEquivalentLimit,sothequestioncanbesimplyandavoiderrorinapplication.Keywords:equivalentinfinitesimal;limitation;l'hospital'srule;comparisontest;superiority.目錄1引言12等價(jià)無窮小量的概念及其重要性質(zhì)12.1等價(jià)無窮小量的概念12.2等價(jià)無窮小量的重要性質(zhì)22.3等價(jià)無窮小量性質(zhì)的推廣23等價(jià)無窮小量的應(yīng)用53.1求函數(shù)的極限53.2等價(jià)無窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用63.3利用等價(jià)無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限63.4等價(jià)無窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用74等價(jià)無窮小量的優(yōu)勢(shì)84.1運(yùn)用等價(jià)無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢(shì)…………84.2等價(jià)無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢(shì)………95結(jié)論12參考文獻(xiàn)13致謝14..1引言等價(jià)無窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一,但在微積分理論中等價(jià)無窮小量的性質(zhì)僅僅在"無窮小的比較"中出現(xiàn)過,其他地方似乎都未涉及到.其實(shí),在判斷廣義積分、級(jí)數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運(yùn)算過程中,無窮小具有很好的性質(zhì),掌握并充分利用好它的性質(zhì),往往會(huì)使一些復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,可起到事半功倍的效果,反之,則會(huì)錯(cuò)誤百出,有時(shí)還很難判斷錯(cuò)在什么地方.因此,有必要對(duì)等價(jià)無窮小量的性質(zhì)進(jìn)行深刻地認(rèn)識(shí)和理解,以便恰當(dāng)運(yùn)用,達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.2等價(jià)無窮小量的概念及其重要性質(zhì)這部分在同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的?高等數(shù)學(xué)?、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的?數(shù)學(xué)分析?、馬振明老師和呂克噗老師的?微分習(xí)題類型分析?、張?jiān)葡祭蠋煹?高等數(shù)學(xué)教學(xué)?以及SongQB,ShenJY.Onillegalcopinganddistributingdetectionmechanismfordigitalgoods[J].JournalofComputerResearchandDevelopment中做了詳細(xì)的講解,下面是我對(duì)這部分的理解與總結(jié).推廣部分的性質(zhì)在書中未做證明,根據(jù)所學(xué)的知識(shí)以及數(shù)學(xué)方法我對(duì)其進(jìn)行了證明.2.1等價(jià)無窮小量的概念定義若函數(shù)<包括數(shù)列>在某變化過程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個(gè)變化過程中的無窮小量.如函數(shù),sinx,1-cosx,ln<1+x>均為當(dāng)x→0時(shí)的無窮小量.對(duì)于數(shù)列只有一種情形,即n→∞,如數(shù)列{}為n→∞時(shí)的無窮小量或稱為無窮小數(shù)列.注意：1>絕對(duì)值非常小的數(shù)不是無窮小量,0是唯一的是無窮小量的數(shù);無窮小量無限趨近于0而又不等于0.2>無窮小量是變量,與它的變化過程密切相關(guān),且在該變化過程中以零為極限.如函數(shù)當(dāng)x∞時(shí)的無窮小量,但當(dāng)x1時(shí)不是無窮小量.3兩個(gè)〔相同類型無窮小量之和、差、積仍為無窮小量.4無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.無窮小量的比較1>若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當(dāng)時(shí)的同階無窮小量.特別當(dāng)則稱與是同階無窮小.2>若=1,則稱與是等價(jià)無窮小量,記為～.3>若=0,則稱是高階無窮小,記作=.注:并不是任意兩個(gè)無窮小均可比較,如當(dāng)x→0時(shí),與都是無窮小量,但它們不能進(jìn)行階的比較.等價(jià)無窮小量的重要性質(zhì)設(shè)α,α′,β,β′,γ等均為同一自變量變化過程中的無窮小,若α～α′,β～β′,且lim存在,則lim=lim〔若α～β,β～γ,則α～γ.性質(zhì)①表明等價(jià)無窮小量量的商的極限求法.性質(zhì)②表明等價(jià)無窮小量的傳遞性.2.3等價(jià)無窮小量性質(zhì)的推廣α～α′,β～β′,且lim=c<≠-1>,則α+β～α′+β′.證明因?yàn)閘im=所以α+β～α′+β′.而學(xué)生則往往在性質(zhì)<3>的應(yīng)用上忽略了"lim=c<≠-1>"這個(gè)條件,千篇一律認(rèn)為"α～α′,β～β′,則有α+β～α′+β′在同一變化過程中,～,～,且存在,則=.證明因?yàn)?==.故結(jié)論得證.若α～α′,β～β′,且lim′存在,則當(dāng)≠0且lim存在,有l(wèi)im=lim′.證明因?yàn)?又α～α′,β～β′,于是,,,從而=1,即～同理可證～.故命題得證.設(shè)在自變量的某一變化過程中,、、及、、都是無窮小量.=1\*GB3①若～、～、且存在且,則有～.=2\*GB3②若～、～、且存在且,則有～.=3\*GB3③若～、～、～且存在且,則有.證明=1\*GB3①因?yàn)?=.又因?yàn)?故上式等于1.=2\*GB3②因?yàn)?=.又因?yàn)?故上式等于1.=3\*GB3③要證成立,只需證,因?yàn)椤?～,所以結(jié)論得證.性質(zhì)〔1、〔3的求極限中就使等價(jià)無窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡(jiǎn)化了計(jì)算.但要注意條件"lim=c<≠-1>","≠0"的使用.注意1需要注意的是在運(yùn)用無窮小替換解題時(shí),等價(jià)無窮小量一般只能在對(duì)積商的某一項(xiàng)做替換,和差的替換是不行的.2以上性質(zhì)說明我們利用無窮小量的代換性質(zhì)將無窮小的等價(jià)替換推廣到和與差的形式,并對(duì)的不定式極限的求解作了簡(jiǎn)化,使其適用的函數(shù)類范圍擴(kuò)大,從而簡(jiǎn)化函數(shù)極限的運(yùn)算過程,對(duì)不定式極限的求解有很大的意義.3等價(jià)無窮小量的應(yīng)用等價(jià)無窮小量的應(yīng)用在馮錄祥老師的?關(guān)于等價(jià)無窮小量量代換的一個(gè)注記?、王斌老師的?用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討?、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的?數(shù)學(xué)分析?、盛祥耀老師的?高等數(shù)學(xué)?、馬振明老師和呂克噗老師的?微分習(xí)題類型分析?、ShivakumarN,G.MolinaH.SCAM:ACopyDetectionMechanismforDigitalDocuments[A].The2ndInternationalConferenceinTheoryandPracticeofDigitalLibraries[C].USAAustinTexas:[s.n]以及劉玉璉老師和傅沛仁老師的?數(shù)學(xué)分析講義?中都有詳細(xì)的分析與注解,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容,再加上自己篩選例題解答例題寫出來的.請(qǐng)看下面的內(nèi)容：求函數(shù)的極限在求極限中經(jīng)常用到的等價(jià)無窮小量有～～～～～～-1,

～,

～,<→0>.例1

求.解當(dāng)→0時(shí),～,～.原式=

=..例2

求.解原式=

=<∵～,～>

=.此題也可用洛必達(dá)法則做,但不能用性質(zhì)=2\*GB3②做.所以,==0,不滿足性質(zhì)=2\*GB3②的條件,否則得出錯(cuò)誤結(jié)論0.等價(jià)無窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用如：例3解因?yàn)闀r(shí),.所以.故利用等價(jià)無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限例4求極限解由于函數(shù)的分母中～〔0,因此只需將函數(shù)分子中的與分母中的cosx和分別用佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式表示,即：,,.所以.例5由拉格朗日中值定理,對(duì)任意的＞-1,存在,使得.證明.解因,所以,根據(jù)題設(shè)所給條件有即,所以,.以上例子能使我們更加深刻的理解無窮小與無窮小或函數(shù)與無窮小的相關(guān)運(yùn)算,能更好的理解泰勒公式在求函數(shù)極限中的巧妙運(yùn)用.等價(jià)無窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用在正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂判別法中,用得比較多的是比較審斂法的極限形式,它也是無窮小的一個(gè)應(yīng)用.比較審斂法的極限形式：設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),①如果=l<0≤l<+∞>,且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂.②如果=l>0或l=+∞,且級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)①=1時(shí),∑,∑就是等價(jià)無窮小量.由比較審斂法的極限形式知,∑與∑同斂散性,只要已知∑un,∑中某一個(gè)的斂散性,就可以找到另一個(gè)的斂散性.例6解.,所以,收斂.例7研究的斂散性解∵=

=1而∑發(fā)散,∴發(fā)散.從以上的例題可以看出,在級(jí)數(shù)斂散性的判別中,等價(jià)無窮小量發(fā)揮了重要的作用.在很多題目中,我們需要綜合運(yùn)用羅比達(dá)法則、等價(jià)無窮小量的性質(zhì)、泰勒級(jí)數(shù)等相關(guān)知識(shí),才能達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.4等價(jià)無窮小量的優(yōu)勢(shì)這一部分的內(nèi)容是我在聽了鄭老師和郭老師的數(shù)學(xué)分析課以后,由于他們教學(xué)方法的鮮明對(duì)比而深受啟發(fā),在他們講解數(shù)學(xué)分析其他部分的比較與分析時(shí),我也希望自己能找到一個(gè)他們沒有整理過的知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過自己的努力完成對(duì)它的比較與分析,因此我選擇了這一部分內(nèi)容.請(qǐng)看下面的內(nèi)容：4.1運(yùn)用等價(jià)無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢(shì)例8求解解法一〔等價(jià)無窮小量替換：,由無窮小替換定理有：=.解法二〔兩個(gè)重要極限：由于,=.解法三〔洛必達(dá)法則：=.由此例可以發(fā)現(xiàn),很多時(shí)候求解函數(shù)極限的方法多種多樣.其中包括極限的運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、洛必達(dá)法則以及無窮小替換等等.所以我們求解一道題時(shí)要進(jìn)行全方位、多角度的思考,找出最適合、最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.對(duì)上例的幾種不同解法進(jìn)行比較,我們很容易地發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)利用無窮小替換能夠快速、準(zhǔn)確地求解一些函數(shù)極限.例9

求解法一〔等價(jià)無窮小量替換：由于當(dāng)x→-∞時(shí),有,,則由無窮小替換定理有：=.解法二〔洛必達(dá)法則：=.我們知道通常碰到求解未定式極限的問題時(shí),大家總是習(xí)慣使用洛必達(dá)法則.但是由此例看求解上述極限時(shí),很顯然利用等價(jià)無窮小量替換更簡(jiǎn)單、便捷.另外,值得注意的是對(duì)本例在使用洛必達(dá)法則計(jì)算時(shí),如果不把寫到分母上,而是繼續(xù)使用洛必達(dá)法則,就會(huì)出現(xiàn)循環(huán)計(jì)算,將永遠(yuǎn)得不到結(jié)果.由此更能體現(xiàn)等價(jià)無窮小量替換的重要性.同時(shí)本例還說明不僅是在極限存在時(shí)而且在極限為無窮大時(shí)同樣都可以使用等價(jià)無窮小量替換.4.2等價(jià)無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢(shì)如果直接使用洛比達(dá)法則,而,分母上的求導(dǎo)運(yùn)算將越來越復(fù)雜.若對(duì)上式中分母上的無窮小量用等價(jià)無窮小量來替換,便可將上式化為較為簡(jiǎn)單的式子,雖然讓使用洛比達(dá)法則,但是其運(yùn)算過程就變的很簡(jiǎn)單了.請(qǐng)看下面的例題：例10

解原式=

〔用羅比塔法則

=〔分離非零極限乘積因子并算出非零極限=

〔用羅比塔法則

=

.出現(xiàn)循環(huán),此時(shí)用羅比塔法則求不出結(jié)果.怎么辦？用等價(jià)無窮小量代換.因?yàn)閤～sinx～tanx<x→0>所以,原式==1而得解.例11求解原式=〔∵～.若使用洛必達(dá)法則可知原式==繼續(xù)運(yùn)用洛必達(dá)法則會(huì)將上式越變?cè)綇?fù)雜,難于求出最后的結(jié)果.而通過運(yùn)用無窮小的等價(jià)替換,將分母替換成,又將分子分解因式后進(jìn)行等價(jià)替換,從而很快地求出正確結(jié)果,由此可以看出單單運(yùn)用洛必達(dá)法則有時(shí)并不能達(dá)到較好的效果,適時(shí)地運(yùn)用等價(jià)替換可以簡(jiǎn)化替換.通過上面的兩個(gè)例子可看到洛必達(dá)法則并不是萬能的,也不一定是最佳的,它的使用具有局限性,只要充分地掌握好等價(jià)無窮小量的4條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論.結(jié)論極限計(jì)算是《微積分理論》中的一個(gè)重要內(nèi)容,等價(jià)無窮小量代換又是極限運(yùn)算中的一個(gè)重要的方法.利用等價(jià)無窮小量代換計(jì)算極限,主要是指在求解有關(guān)無窮小的極限問題時(shí)利用等價(jià)無窮小量的性質(zhì)、定理施行的等價(jià)無窮小量替換的計(jì)算方法,通常與洛必達(dá)法則一起使用,目的是使解題步驟簡(jiǎn)化,減少運(yùn)算錯(cuò)誤.進(jìn)行等價(jià)無窮小量代換的原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M(jìn)行代換.即在等價(jià)無窮小量的代換中,可以分子分母同時(shí)進(jìn)行代換,也可以只對(duì)分子〔或分母進(jìn)行代換.當(dāng)分子或分母為和式時(shí),通常不能將和式中的某一項(xiàng)以等價(jià)無窮小量替換,而應(yīng)將和式作為一個(gè)整體、一個(gè)因子進(jìn)行代換,即必須是整體代換；當(dāng)分子或分母為幾個(gè)因子相乘積時(shí),則可以只對(duì)其中某些因子進(jìn)行等價(jià)無窮小量代換．簡(jiǎn)言之,只有因子才可以進(jìn)行等價(jià)無窮小量替換.參考文獻(xiàn)[

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