力的合成與分解

十三、力的合成與分解〈返回目錄〉課標(biāo)要求：理解合力和分力的概念．理解力的合成與分解的概念．掌握平行四邊形定則，會(huì)用作圖法、公式法求合力的大小和方向．掌握平行四邊形定則．理解力的分解是力的合成逆運(yùn)算，會(huì)用作圖法求分力，會(huì)用直角三角形的知識(shí)計(jì)算分力．知識(shí)梳理1．力的合成：求幾個(gè)已知力的合力叫力的合成．利用一個(gè)力(合力)產(chǎn)生的效果跟幾個(gè)力(分力)共同作用產(chǎn)生的效果相同，而做的一種等效替代．力的合成必須遵循物體的同一性和力的同時(shí)性．（1）合力和分力：如果一個(gè)力產(chǎn)生的效果跟幾個(gè)力共同作用產(chǎn)生的效果相同，這個(gè)力就叫那幾個(gè)力的合力，那幾個(gè)力就叫這個(gè)力的分力．合力與分力的關(guān)系是等效替代關(guān)系，即一個(gè)力若分解為兩個(gè)分力，在分析和計(jì)算時(shí)，考慮了兩個(gè)分力的作用，就不可考慮這個(gè)力的作用效果了；反過來，若考慮了合力的效果，也就不能再去重復(fù)考慮各個(gè)分力的效果．（2）共點(diǎn)力：物體同時(shí)受幾個(gè)力作用，如果這些力的作用線交于一點(diǎn)，這幾個(gè)力叫共點(diǎn)力．如圖(a)所示，為一金屬桿置于光滑的半球形碗中．桿受重力及A、B兩點(diǎn)的支持力三個(gè)力的作用；N1作用線過球心，N2作用線垂直于桿，當(dāng)桿在作用線共面的三個(gè)非平行力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，這三力的作用線必匯于一點(diǎn)，所以重力G的作用線必過N1、N2的交點(diǎn)O；圖(b)為豎直墻面上掛一光滑球，它受三個(gè)力：重力、墻面彈力和懸線拉力，它們的作用線必過球心．（3）力的合成定則：=1\*GB3①平行四邊形定則：求共點(diǎn)力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的線段為鄰邊作平行四邊形，它的對(duì)角線即表示合力的大小和方向，如圖a．=2\*GB3②三角形定則：求F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的有向線段首尾相接，從F1的起點(diǎn)指向F2的末端的有向線段就表示合力F的大小和方向，如圖b．2．合力的計(jì)算（1）合力的大?。喝魞蓚€(gè)共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2的夾角為θ，根據(jù)余弦定理,其合力大小為：，合力的范圍是：|F1-F2|≤F≤F1+F2．還可以看出：合力可能大于分力，可能小于分力，也可能等于分力．(合力與分力的關(guān)系就是平行四邊形的對(duì)角線與鄰邊的關(guān)系；對(duì)角線可以大于鄰邊，也可以小于鄰邊，還可以等于鄰邊；合力與分力的關(guān)系還可以看成是三角形三邊的關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊)（2）合力的方向：若F與F1的夾角為，則：tan=,當(dāng)時(shí)tan=（3）當(dāng)F1、F2大小一定，在0-1800范圍內(nèi)變化時(shí)，增大，F(xiàn)減??；減小，F(xiàn)增大．此外當(dāng)大小相等的兩力夾角為1200時(shí)，合力大小等于兩分力大?。?）同一直線上的矢量運(yùn)算：幾個(gè)力在一條直線上時(shí)，先在此直線上選定正方向，與其同向的力取正值，反之取負(fù)值，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算求其合力．這時(shí)“+”或“-”只代表方向，不代表大?。?．力的分解：求一個(gè)力的分力叫力的分解．力的分解是力的合成的逆運(yùn)算，同樣遵守平行四邊形法則．（1）力的分解問題的關(guān)鍵是：根據(jù)力的作用效果確定分力的方向．然后作出力的平行四邊形，接著轉(zhuǎn)化為一個(gè)根據(jù)己知邊角關(guān)系求解的幾何問題．（2）有確定解的條件：①已知合力和兩個(gè)分力的方向，求兩個(gè)分力的大?。?有唯一解)②已知合力和一個(gè)分力的大小與方向，求另一個(gè)分力的大小和方向．(有一組解或兩組解)③已知合力、一個(gè)分力F1的大小與另一分力F2的方向，求F1的方向和F2的大小．(有兩個(gè)或唯一解)（3）力的正交分解：將已知力按互相垂直的兩個(gè)方向進(jìn)行分解的方法．利用力的正交分解法可以求幾個(gè)已知共點(diǎn)力的合力，它能使不同方向的矢量運(yùn)算簡(jiǎn)化為同一直線上的矢量運(yùn)算．4．處理力的合成與分解問題的方法（1）力的圖示法：按力的圖示作平行四邊形，然后量出對(duì)角線的長(zhǎng)短并找出方向．（2）代數(shù)計(jì)算法：由正弦或余弦定理解三角形求解．（3）正交分解法：將各力沿互相垂直的方向先分解，然后求出各方向的合力，再合成．（4）多邊形法：將各力的首尾依次相連，由第一個(gè)力的始端指向最后一個(gè)力的尾端的有向線段表示合力的大小和方向．重難點(diǎn)突破一、正確理解合力、分力及二者的關(guān)系．合力和分力是一種等效替代關(guān)系，求幾個(gè)已知分力的合力必須要明確這個(gè)合力是虛設(shè)的等效力，并非真實(shí)存在的力，合力沒有性質(zhì)可言，也找不到施力物體．反之，把一個(gè)已知力分解為兩個(gè)分力，這兩個(gè)分力也并非存在．無性質(zhì)可言，當(dāng)然也找不到施力物體．因此在進(jìn)行受力分析時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：1、合力和分力不能同時(shí)共存，不能既考慮了合力，又考慮分力，這們就增加了力．2、不要把受力分析與力的分解相混淆，受力分析的對(duì)象是某一個(gè)物體，分析的力是實(shí)際受到的性質(zhì)力；而力的分解的對(duì)象則是某一個(gè)力，是用分力代替這個(gè)力．二、合力的取值范圍．1、共點(diǎn)的兩個(gè)力的合力的大小范圍是│F1-F2│≤F合≤F1+F2．合力隨兩力夾角θ的減小而增大．2、合力可以大于分力，也可以等于分力，或者小于分力．3、共點(diǎn)的三個(gè)力的合力大小范圍是：合力的最大值為三個(gè)力的大小之和．用三個(gè)力中最大的一個(gè)力的值減去其余兩個(gè)力，其結(jié)果為正，則這個(gè)正值為三個(gè)力的合力的最小值；若結(jié)果為零或負(fù)，則三個(gè)力的合力的最小值為零．三、力的分解原則．如果不加限制，從數(shù)學(xué)角度來看，將一個(gè)力分解答案將無窮多．從物理學(xué)角度來看，這樣分解一個(gè)力是沒有意義的．因此我們分解力時(shí)，要遵循以下原則才有意義：按照力產(chǎn)生的實(shí)際效果分解．（2）按照題設(shè)條件或解題實(shí)際需要分解．【例1】在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的光滑小球，小球被豎直的木板擋住，則球?qū)π泵娴膲毫?)A．mgcosαB．mgtanαC．mg/cosαD．mg【分析與解答】：小球的重力產(chǎn)生兩個(gè)效果：水平擠壓木板；垂直斜面方向壓緊斜面．故可將重力沿水平方向和垂直斜面方向分解為Fl、F2如右圖所示，根據(jù)平行四邊形定則，可得：F=mg/cosα．答案：C【例2】分解一個(gè)力，若已知它的一個(gè)分力的大小和另一個(gè)分力的方向，以下正確的是()A．只有唯一組解B．一定有兩組解C．可能有無數(shù)組解D．可能有兩組解【分析與解答】：分解一個(gè)力，若已知其中一個(gè)分力的方向，可作出另一個(gè)分力的最小值，如圖所示，F(xiàn)2=Fsinθ．（1）當(dāng)F2＜Fsinθ時(shí)，無解．（2）當(dāng)F2＝Fsinθ時(shí)，有唯一解．答案D6．如圖3610所示為兩個(gè)共點(diǎn)力的合力F隨兩分力的夾角θ變化的圖象，則這兩個(gè)分力的大小分別為()圖3610A．1N和4NB．2N和3NC．1N和5ND．2N和4N解析由題圖知，兩力方向相同時(shí)，合力為5N．即F1＋F2＝5N；方向相反時(shí)，合力為1N，即|F1－F2|＝1N．故F1＝3N，F(xiàn)2＝2N，或F1＝2N，F(xiàn)2＝3N，B正確．答案B7如圖所示，六個(gè)力的合力為_______N，若去掉1N的那個(gè)分力，則其余五個(gè)力的合力為________，合力的方向是_________8．在圖3611中，給出六個(gè)力F1、F2、F3、F4、F5、F6，它們作用于同一點(diǎn)O，大小已在圖中標(biāo)出．相鄰的兩個(gè)力之間的夾角均為60°，它們的合力大小為________N，方向?yàn)開_______．圖3611解析根據(jù)多個(gè)力求合的步驟，先將F1與F4、F2與F5、F3與F6合成，三組力的合力均為20N，如圖所示：根據(jù)兩個(gè)相等的互成120°的力的合力大小等于分力的大小，方向沿其角平分線，故可知六個(gè)力的合力為40N，方向與F6相同．答案40與F6同向圖36129．如圖3612所示，在動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1的水平面上向右運(yùn)動(dòng)的物體，質(zhì)量為20kg，在運(yùn)動(dòng)過程中，還受到一個(gè)水平向左、大小為10N的拉力F作用，則物體受到的合力為(g＝10N/kgA．10N，向右B．30N，向左C．30N，向右D．20N，向左解析物體的受力如圖所示，則合力F合＝F＋Ff＝F＋μFN＝F＋μmg＝30N，方向向左，故B對(duì)，A、C、D都錯(cuò)．答案B10．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1和F2，當(dāng)它們的夾角為90°時(shí)，合力大小為F.如果它們的夾角為60°時(shí)，合力為多大？解析當(dāng)F1和F2的夾角為90°時(shí)且F1＝F2，此時(shí)F＝eq\r(Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2))＝eq\r(2)F1，即F1＝eq\f(\r(2),2)F.當(dāng)F1和F2的夾角為60°時(shí)，作力的合成的平行四邊形如圖所示，合力F′是平行四邊形的對(duì)角線，則F′＝2F1cos30°＝eq\f(\r(6),2)F.答案eq\f(\r(6),2)F題組三共點(diǎn)力及其平衡11．如圖3613為節(jié)日里懸掛燈籠的一種方式，A、B兩點(diǎn)等高，O為結(jié)點(diǎn)，輕繩AO、BO長(zhǎng)度相等，拉力分別為FA、FB，燈籠受到的重力為G.下列表述正確的()圖3613A．FA一定小于GB．FA與FB大小相等C．FA與FB是一對(duì)平衡力D．FA與FB大小之和等于G解析由等高等長(zhǎng)知，左右兩個(gè)拉力大小相等，B正確．繩子與豎直方向夾角不確定，所以拉力與重力的大小無法確定，A錯(cuò)誤；FA與FB矢量之和等于G，不是大小之和，D錯(cuò)誤；這兩個(gè)力的矢量和與重力是平衡力，C錯(cuò)誤．答案B12．同一物體在下列幾組共點(diǎn)力作用下可能處于靜止?fàn)顟B(tài)的是()A．3N、4N、5NB．3N、5N、9NC．4N、6N、11ND．5N、6N、12N解析處于靜止?fàn)顟B(tài)的物體所受到的合力為零，根據(jù)三個(gè)共點(diǎn)力的合力范圍可知：3N、4N、5N的合力范圍是0≤F合≤12N，故A可能；3N、5N、9N的合力范圍是1N≤F合≤17N，故B不可能；4N、6N、11N的合力范圍是1N≤F合≤21N，故C不可能；5N、6N、12N的合力范圍是1N≤F合≤23N，故D不可能．答案A13．用三根輕繩將質(zhì)量為m的物塊懸掛在空中，如圖3614所示．已知ac和bc與豎直方向的夾角分別為30°和60°，則ac繩和bc繩中的拉力分別為()圖3614A.eq\f(\r(3),2)mg，eq\f(1,2)mgB.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),2)mgC.eq\f(\r(3),4)mg，eq\f(1,2)mgD.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),4)mg答案A14．如圖3615所示，物體A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)，其質(zhì)量分別為mA＝5kg，mB＝10kg，OB呈水平，OP與豎直方向成45°角．(g取10m/圖3615(1)三根細(xì)繩OP、OA、OB的拉力分別為多大？(2)物體B與桌面間的摩擦力為多大？解析(1)先以A為研究對(duì)象，可得拉力TOA＝mAg＝50N再以結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，如圖所示：由幾何關(guān)系可知，TOB＝TOA＝50N；TOP＝eq\r(Teq\o\al(2,OB)＋Teq\o\al(2,OA))＝eq\r(2)TOA＝50eq\r(2)N.(2)對(duì)物體B受力分析，根據(jù)平衡條件B受桌面對(duì)它的摩擦力f＝TOB＝50N.答案(1)50N50N50eq\r(2)N(2)B與桌面間的摩擦力為50N二力的分解：求一個(gè)已知力的分力叫力的分解.力的分解是力的合成的逆運(yùn)算，也遵從平行四邊形定則.一個(gè)已知力可以分解為無數(shù)對(duì)大小和方向不同的分力，在力的分解過程中，常常要考慮到力實(shí)際產(chǎn)生的效果，這樣才能使力的分解具有唯一性.要使分力有唯一解，必須滿足：已知兩個(gè)分力的方向或已知一個(gè)分力的大小和方向.注意:已知一個(gè)分力(F2)大小和另一個(gè)分力(F1)的方向FθF1F2FθF1F2┑①F2<Fsinθ時(shí)無解②F2=Fsinθ或F2≥F時(shí)有一組解③Fsinθ<F2<F時(shí)有兩組解方法正交分解法。正交分解法就是把力沿著兩個(gè)選定的互相垂直的方向上先分解，后合成的方法。其目的是便于運(yùn)用普通代數(shù)運(yùn)算公式來解決適量的運(yùn)算，它是處理合成和分解復(fù)雜問題的一種簡(jiǎn)便方法。.求分力的方法（1）分解法。一般按力對(duì)物體實(shí)際作用的效果進(jìn)行分解的方法。（2）圖解法。根據(jù)平行四邊形定則，作出合力與分力所構(gòu)成的首尾相接的矢量三角形，利用邊、角間的關(guān)系分析力的大小變化情況的方法。針對(duì)訓(xùn)練三：1．將一個(gè)力F分解為兩個(gè)力F1和F2，那么下列說法中錯(cuò)誤的是()A．F是物體實(shí)際受到的力B．F1和F2不是物體實(shí)際受到的力C．物體同時(shí)受到F1、F2和F三個(gè)力的作用D．F1和F2共同作用的效果與F相同答案：C解析：合力與分力的作用效果相同，但分力不是物體實(shí)際受到的力，在分析物體受力時(shí)，不能將分力也當(dāng)做物體所受的力．2．重力為G的物體靜止在傾角為θ的斜面上，將重力G分解為垂直斜面向下的力F2和平行斜面向下的力F1，那么()A．F2就是物體對(duì)斜面的壓力B．物體對(duì)斜面的正壓力方向與F2方向相同C．F1就是物體受到的靜摩擦力D．物體受到重力、斜面對(duì)物體的支持力、靜摩擦力、F1和F2共五個(gè)力的作用答案：B3．如下圖所示，一名騎獨(dú)輪車的雜技演員在空中鋼索上表演，如果演員和獨(dú)輪車的總質(zhì)量為80kg，兩側(cè)的鋼索互成120°夾角，則每根鋼索所受拉力大小為()A．400N B．600NC．800N D．1600N答案：C解析：兩根鋼索的合力與重力大小相等方向相反，因兩鋼索互成120°角，所以每根鋼索的拉力大小為800N.4．春天有許多游客放風(fēng)箏，會(huì)放風(fēng)箏的人可使風(fēng)箏靜止在空中．如圖所示，AB代表風(fēng)箏截面，OL代表風(fēng)箏線．已知風(fēng)向水平，則風(fēng)箏可能靜止的是下列各圖中的()答案：B5．如下圖所示，已知力F和一個(gè)分力F1的方向的夾角為θ，則另一個(gè)分力F2的最小值為____________．答案：F·sinθ6．如下圖所示，表面光滑、質(zhì)量不計(jì)的尖劈，插在縫A、B之間，在尖劈背上加一壓力F，則尖劈對(duì)A側(cè)壓力為________．對(duì)B側(cè)壓力為________．答案：eq\f(F,sinα)，F(xiàn)cotα解析：將F沿垂直劈兩側(cè)面分解，如圖所示，則tanα＝eq\f(F,F1)，sinα＝eq\f(F,F2).所以F1＝eq\f(F,tanα)＝F·cotα，F(xiàn)2＝eq\f(F,sinα).7．用細(xì)繩AC和BC吊起一重為10kg的重物，兩繩與水平方向的夾角如圖所示．(1)求AC繩和BC繩受到的拉力大小．(2)如果AC繩和BC繩的最大承受力分別為100N和150N，試分析若逐漸增大重物的質(zhì)量，哪一根繩將先斷，并求出此時(shí)的重物的質(zhì)量為多大．答案：(1)50N；50eq\r(3)N(2)BC先斷；10eq\r(3)kg解析：(1)TAC＝mg·sin30°＝50N，TBC＝mgcos30°＝50eq\r(3)N(2)若TBC＝150N，則TAC＝50eq\r(3)N(未斷)，故BC繩先斷．此時(shí)的重物重力G＝TBC/cos30°＝100eq\r(3)N，質(zhì)量為m＝10eq\r(3)kg.8．質(zhì)量為30kg的小孩坐在10kg的雪橇上，大人用與水平方向成37°斜向上的大小為100N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面作勻速運(yùn)動(dòng)，(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：(1)雪橇對(duì)地面的壓力大小；(2)雪橇與水平地面的動(dòng)摩擦因數(shù)的大小．答案：(1)340N(2)0.24解析：(1)經(jīng)對(duì)小孩和雪橇整體受力分析得：豎直方向：Fsinθ＋FN＝mg解得FN＝mg－Fsinθ＝340N雪橇對(duì)地面壓力F′N是地面對(duì)雪橇支持力FN的反作用力，所以雪橇對(duì)地面壓力：FN′＝FN＝340N(2)水平方向：Fcosθ－Ff＝0Ff＝μFN由上式解得：μ＝4/17＝0.24能力提升1．生活中的物理知識(shí)無處不在，如圖所示是我們衣服上的拉鏈的一部分，在把拉鏈拉開的時(shí)候，我們可以看到有一個(gè)三角形的東西在兩鏈中間運(yùn)動(dòng)，使很難直接分開的拉鏈容易地拉開，關(guān)于其中的物理原理以下說法中正確的是()A．在拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體增大了分開兩拉鏈的力B．拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體只是為了將拉鏈分開并沒有增大拉力C．拉開拉鏈時(shí)，三角形的物體增大了分開拉鏈的力，但合上拉鏈時(shí)減小了合上的力D．以上說法都不正確答案：A解析：此題結(jié)合生活的實(shí)際問題考查力的分解，在拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體在兩鏈間和拉鏈一起運(yùn)動(dòng)，手的拉力在三角形的物體上產(chǎn)生了兩個(gè)分力，如圖所示，分力大于手的拉力，所以很難直接分開的拉鏈很容易的被三角形物體分開，因此應(yīng)選A.2．如圖所示，小船用繩牽引靠岸，設(shè)水的阻力不變，在小船勻速靠岸的過程中，有()A．繩子的拉力不斷增大B．繩子的拉力不變C．船受的浮力減小D．船受的浮力不變答案：AC解析：小船在牽引力的作用下勻速靠岸時(shí)，受到四個(gè)力的作用，繩子的拉力FT，船自身重力mg，水的阻力F阻，水對(duì)船的浮力F?。鐖D所示，繩子的拉力有兩個(gè)效果：即一個(gè)分力FT1，使船靠岸，另一個(gè)分力FT2豎直向上，由于船勻速，所以總有FT1＝F阻，而F阻不變，所以FT1不變，但在船靠岸過程中，角θ增大，故拉力FT增大，而F浮減小，正確選項(xiàng)為A、C.3．(山東東營(yíng)勝利一中09－10學(xué)年高一下學(xué)期期中)重為G的物體靜止在傾角為θ的斜面上，物體受力如圖所示，這些力之間的大小關(guān)系是()A．N＝Gcosθ B．f＝GsinθC．f＋N＝G D．G2＝N2＋f2答案：ABD4．如下圖所示，質(zhì)量為m的物體用一輕繩懸掛在水平輕桿BC的端點(diǎn)上(輕桿B端與墻用鉸鏈相接)，C點(diǎn)由輕繩AC系住．已知AC與BC的夾角為θ，則輕繩AC上的拉力大小為______，輕桿BC上的壓力大小為________．答案：mg/sinθ，mgcotθ解析：可將G沿AC和CB方向進(jìn)行分解，由三角形知識(shí)得：tanθ＝eq\f(G,G1)，sinθ＝eq\f(G,G2)，故輕繩AC上的拉力大小為mg/sinθ，輕桿BC上的壓力大小為mgcotθ.分解力時(shí)，根據(jù)解題需要進(jìn)行分解，可使問題更簡(jiǎn)便．5．如圖所示，質(zhì)量為m、橫截面為直角三角形的物塊ABC