文檔-3數(shù)字信號處理期末考試參考試卷III(附答案)

一、填空題（每空1分，共13分）

1、若乙⑴是頻帶寬度有限的，要想抽樣后x（〃）=怎（仃）能夠不失真地還原出原信號毛⑺，則抽樣

,頻率必須大于或等于兩倍信號譜的最高頻率,這就是奈奎斯特抽樣定理。

2、如果系統(tǒng)函數(shù)H（z）的收斂域包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3、圓周卷積可被看作是周期卷積的圓周卷積的計(jì)算是在主值區(qū)間中進(jìn)行的,而線性卷

積不受這個(gè)限制。

4、直接計(jì)算一個(gè)序列N點(diǎn)的DFT所需的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為,，復(fù)數(shù)加法次數(shù)為_N（N—1）；用FFT

N

算法計(jì)算DFT所需的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為了log?N,復(fù)數(shù)加法次數(shù)為/Vlog2No

5、頻率分辨力是指對兩個(gè)最近的頻譜峰值能夠分辨的能力。。

6、表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性的三個(gè)參量是幅度平方響應(yīng)、相位響應(yīng)、

群延時(shí)響應(yīng)。

TT27r27r

1、①解：8=三,二=毛=12為整數(shù)，（3分）

6co46

2%

所以此序列為周期序列，且最小周期為——=12;（2分）

（D

127r27r

②解：="為無理數(shù)，（3分）

所以此序列為非周期序列。（2分）

2、①設(shè)則有|,y㈤|=|2M〃）+3|<2M+3<%所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（3分）

由于y（〃）僅取決于現(xiàn)時(shí)的輸入M”），所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。（2分）

+■?0-H?

②SAZ2"=Z2"Y--=2,所以該系統(tǒng)穩(wěn)定。（3分）

〃=-8"=-00n=0]

2

由于〃<0時(shí)，M〃）wO,所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。（2分）

三、（1）解：Z\8（n—TH）]=—m）z^n=1-z~m—z~m（3分）

n=-oo

"?=（）時(shí)，收斂域?yàn)?枚|z|?8；

機(jī)>0時(shí)，收斂域?yàn)?<|z|<00；

mvO時(shí),收斂域?yàn)?枚同＜8。（2分）

⑵解:z]印

、乙）n=OJn=Q\）]__2-1\，

2

即：zR]〃㈤=—}—（3分）忖＞：（2分）

[⑵」1一“2

2

（3）解：由收斂域|z|＜；可知，X（z）對應(yīng)的是一個(gè)左邊序列，（2分）

X（z）=~^—=（；、

x（n）=Z'[X（z）]=-f-w（-n-l）（3分）

四、解：(1)x(〃)*x(〃)=^x(m)x(n-in)

結(jié)果的波形為:

(4分)

（2）結(jié)果的圖形為:

10?

9?9-

8。

0123

（4分）

（4分）

五、解:X(%)=。/7s=Z*(")e*,-oo<A:<oo(3分)

n=On=0

圖示序列周期為4,即N=4,所以其傅立葉級數(shù)的系數(shù)為：（2分）

3__?￡/

X(&)=ObS[x(〃)]=>x(")jG“

〃=()

-j-k-J-3k

2

2+1-e+0+l?e2

c冗j.?兀j37T...3兀j

-2+cos—K-/sin—Z+cos——k-7sin—k

2222

=2+2cos,N-oo<女<00(5分)

六、解：由題意，X(k)=DFT[x(〃)],y(Z:)=D/7[“〃)]

構(gòu)造序列Z⑻=X(Z)+"(Z)(3分)

對Z伙)作一次N點(diǎn)IFFT可得序列Z⑺，z(〃)=m口[Z(A)]

又根據(jù)DFT的線性性質(zhì)，

z(〃)=IDFT[Z(k)~\=IDFT[X(左)+jY(k)~\

=IDFT[X(k)~\+jIDFT\_Y(k)']

=x(n)+jy(n)(5分)

而x(")，y(")都是實(shí)序列，，x(〃)=Re[z(〃)],=(2分)

七、解：對系統(tǒng)函數(shù)求反z變換，得

1331

h(n)=~-^(n-l)+^(n-2)+—^(n-3)+—^(n-4)(2分)

得〃(0)=%(4)=；=0.2

/j(l)=/z(3)=1=0.6

〃⑵=1

N—1

即，〃(")是偶對稱的，對稱中心在〃=丁=2處，N為奇數(shù)(N=5),

得線性相位結(jié)構(gòu)。(3分)

結(jié)構(gòu)圖如下:

（5分）

八、解：沖激響應(yīng)不變法:

71

將從⑻展開成部分分式得：”“(加而訴T有一百.分)

H〃(S)的極點(diǎn)為電=—1,$2=-3,由式H(z)=力1畢F得：(3分)

%=1iez

"（z）］—^7/一￡尸，（2分）

1—ez1—ez

又T=l,.?.*=―――（1分）

1-ez1-ez

=______0318憶______.分）

1-0.417片+0.018）-2

評分細(xì)則

一、1、第一個(gè)空填“2”也對；

2、填“同=1”或“z=0”也對；

二、1、由于題目只要求判斷，不要求說明理由，所以②的答案不要求寫推導(dǎo)過程，結(jié)果正確就得5

分，但若寫了過程就要遵循參考答案的過程打分。

2、由于題目只要求判斷，不要求說明理由，所以答案不要求寫推導(dǎo)過程，但若寫了過程就要遵循參

考答案的過程打分。

.①若判斷時(shí)，沒有帶絕對值符號則扣1分；

②若寫成s=2,則扣1分（s只是無限地接近2,即SW2）

三、求得z變換后沒有給出收斂域的扣2分，寫了但是寫錯(cuò)的扣1分；z變換的公式寫對，但是算錯(cuò)

的扣3分。

四、對每一小題，只要畫出最后的結(jié)果圖就可得全部分。若有計(jì)算過程，算錯(cuò)一個(gè)點(diǎn)值扣一份，直

到全部扣完。

五、DFS的公式寫錯(cuò)的，此題沒有分。結(jié)果如果對女的取值做了詳細(xì)討論的也算對，但只需做到答

案的結(jié)果就可得全部分。沒注明女的取值范圍的扣1分。

六、按參考答案上的過程打分。

七、圖中的箭頭或系數(shù)標(biāo)錯(cuò)的，每錯(cuò)一個(gè)扣一分。

八、用沖激響應(yīng)不變法求解，最后的結(jié)果中系數(shù)沒有算出具體數(shù)值的扣2分。

如果用抽樣的方法進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)果會有出入（分子上沒有T）,扣4分。

第一章數(shù)字信號處理概述

簡答題：

1.在A/D變換之前和D/A變換之后都要讓信號通過一個(gè)低通濾波器，它們分別起什么作用？

答：在A/D變化之前讓信號通過一個(gè)低通濾波器，是為了限制信號的最高頻率，使其滿足當(dāng)采樣頻率一定時(shí)，采樣頻率應(yīng)大于等于

信號最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱位“抗折疊”濾波器。

在D/A變換之后都要讓信號通過一個(gè)低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故友稱之為“平

滑”濾波器。

判斷說明題：

2.模擬信號也可以與數(shù)字信號一樣在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)字信號處理，自己要增加一道采樣的工序就可以了。()

答：錯(cuò)。需要增加采樣和量化兩道工序。

3.一個(gè)模擬信號處理系統(tǒng)總可以轉(zhuǎn)換成功能相同的數(shù)字系統(tǒng)，然后基于數(shù)字信號處理

理論，對信號進(jìn)行等效的數(shù)字處理。0

答：受采樣頻率、有限字長效應(yīng)的約束，與模擬信號處理系統(tǒng)完全等效的數(shù)字系統(tǒng)未必一定能找到。因此數(shù)字信號處理系統(tǒng)的分析方

法是先對抽樣信號及系統(tǒng)進(jìn)行分析，再考慮幅度量化及實(shí)現(xiàn)過程中有限字長所造成的影響。故離散時(shí)間信號和系統(tǒng)理論是數(shù)字信號處

理的理論基礎(chǔ)。

第二章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)分析基礎(chǔ)

一、連續(xù)時(shí)間信號取樣與取樣定理

計(jì)算題：

1.過濾限帶的模擬數(shù)據(jù)時(shí)，常采用數(shù)字濾波器，如圖所示，圖中T表示采樣周期(假設(shè)T足夠小，足以防止混迭效應(yīng))，把從X")到W")

的整個(gè)系統(tǒng)等效為一個(gè)模擬濾波器。

(a)如果M")截止于"/8rad,l/T=laHz,求整個(gè)系統(tǒng)的截止頻率。

(b)對于1/7=2廉”z,重復(fù)⑷的計(jì)算。

解(a)因?yàn)楫?dāng)網(wǎng)之萬/8%時(shí)H(e"")=O,在數(shù)-模變換中

"0)=萍(刈=那岑)

所以〃(〃)得截止頻率叫=%/8對應(yīng)于模擬信號的角頻率Q,為

QF

Q.1

=

因此力c=---------625Hz

2冗16T

冗7C

由于最后一級的低通濾波器的截止頻率為了，因此對彳沒有影響，故整個(gè)系統(tǒng)的截止頻率由決定，是625Hz。

T8/

(b)采用同樣的方法求得1/T=2供Hz,整個(gè)系統(tǒng)的截止頻率為

f=」一=1250/

016T

二、離散時(shí)間信號與系統(tǒng)頻域分析

計(jì)算題：

1.設(shè)序列x(")的傅氏變換為X(e"“),試求下列序列的傅里葉變換。

⑴x(2〃)⑵x*(〃)(共軌)

解：⑴x(2〃)

由序列傅氏變換公式

DTFrWn)]=X(e>)=

7?=-00

可以得到

jK0

DTFT[X(2M)]=￡x(2n)e~'=Z%("k」

“70〃’為偶數(shù)

=X；[x(〃)+(-i)"x(〃)k1'

n=-<x)乙

1/1$/、-什>"

=-2^x(n)e+-2^x{n}e2

i

乙n=—x>乙〃=-30

1j⑷—1，(.一.co+4)

=,X(e2)+了紇2)

(2)%*(〃)(共朝)

解：DTFFx*(〃)=f%*=[fx5)e"""]*=X*(e~JM)

H=-007l=-O0

2.計(jì)算下列各信號的傅里葉變換。

Tu[-n\(翦(!)'"〃+2]

(a)

譏4-2〃]⑹"(5)"

(c)

解：(a)X(M=f2””[一〃以.=±2%-加

n=fn=-oo

=￡S(yi)”=-j1-

〃=。乙

2

81001

(b)X(3)=)"〃[〃+2]e于5=Z(z)Z--“‘

〃="co-n=-2-

/3

=X(_[產(chǎn)2""-2)

=16i

m=04

4

(c)X((y)=￡由坐-"“'=￡譏4-2,7峻加="3

fi=en=~oo

⑻％(。)=￡(；加e-刖=[—-^—+―；——1]

“32\--e-il01--eja

22

利用頻率微分特性，可得

X(o)=-)當(dāng)也

dco

=-”3——J----f1——p-----

22

3.序列x(〃)的傅里葉變換為X(e，),求下列各序列的傅里葉變換。

(1)%*(-?)⑵Re[x(〃)]⑶〃M〃)

解：(1)=￡[x(-〃)/".")]*=X*(*)

n=-aoM=-QO

⑵fRe[x(，訃.=t；【x(〃)+x*(〃)H""=3X(*)+X*-")]

n=-oo"=-oo乙乙

IneJdw"%5dw

4.序列x(〃)的傅里葉變換為X(e"),求下列各序列的傅里葉變換。

2

(1)x\n)(2)JIm[x(/^)](3)x(n)

解：⑴春*(聯(lián)齊=￡[m為""卜，*=[￡x(")e*叫*=X*(*

n=-^〃=-oo?=-<?

(2)

tkx(n)-x(-n)rjm=；[￡x(")ef%*(財(cái)力

n=-?乙4/i=-ocn=-<o

⑶

n=-co/i=-ooL乙〃n=-oo

X(/)X(*"詢)加

I一乃

「一X(e招)*X(e")

2萬

5.令x（〃）和X（〃）表示一個(gè)序列及其傅立葉變換，利用X（e，）表示下面各序列的傅立葉變換。

(1)g(〃)=x(2")

x(〃/2)"為偶數(shù)

(2)g(〃)=<

0〃為奇數(shù)

0c

88_；_H.

解：(1)G(*)=2g(〃)eTm，=￡?(2〃)"/=￡x(k)e2

〃=-00“=-ooJt=-oo

2為偶數(shù)

=之1卜(左)+(-1)"%伏)上72

k=-<K>乙

=-\￡0^Ox(k)e'.，卬2+~[8￡x(A)(eJ")e'.,卬2

乙R=-QO乙A：=—OC

1武1白-次--")

=；X(e2)+-Z%(A)e

ZZ&=-oo

1J~1

=—X(e2)+—Xe

22

=gX(J5)+X(—e，5)

⑵G（*）=Eg（，?）e-m=ZgQrW==x?2"）

n=~<cr=-xr=-oo

6.設(shè)序列“（"）傅立葉變換為X（e，）,求下列序列的傅立葉變換。

⑴X（〃-〃0）"o為任意實(shí)整數(shù).

,、卜（〃/2）”為偶數(shù)

⑵g⑺=3〃為奇數(shù).

⑶M2”）

解：⑴X（/w）.e-j恤

g(〃)=—X(e〃“)

<

On為奇數(shù)

⑶x(2〃)cX(e%)

7.計(jì)算下列各信號的傅立葉變換。

(!)〃{〃5+3)—〃5—2)}

⑴2

cos(l8m+sin(2n)

⑵

—1<77<4

⑶

其它

oo].2定k”

【解】⑴X(k)=Z(5)"{〃(〃+3)—〃(〃—2)}JR”

rt=-00乙

oo1.2/r

Zg(1藉-j-Nkn-Z(f1"e-j—'hi

n=—3乙〃=2乙

-J22-A-

1eN

1-j—k41-j—k

eNl--eN

22

1-(1)5J號'

J3—k

8eN

1-j—k

l--eN

2

⑵假定cos(18嗎)和sin(2〃)的變換分別為X|(Z)和乂2(%),則

(y(—k--n-2囪)+^(—k--K-2麻)

*=-CDN7N7

乂2(女)=:￡,

k-2-2k兀)+3(-^k+2-2k兀)

Jk=-<x)L

所以X(左)=X|依)+X2(女)

4.2/r

比萬一一曲“(一仁+jn

2)+8(2k-R2h)2-2^)+?(￡2-2/)”,7、b兀~~NM

-it￡*k勺⑶X(k)=/cos—ne

N7NNn=-43

41EE.2%,

L]/J-n1三〃、一〃

=/—{e3+e3)eN

n=-42

=]吟吟fe心爺”+59”

2/i=o2w=0

吟檸匕￡1窿畫二j獴

+-eN3''

22jg)

3

\+eN

8.求下列序列的時(shí)域離散傅里葉變換

x(-ri)Re[x(n)]x(n)

，，0

00/co、*

解：2?*(一〃)=12>(一〃)"悶一")=X*(T)

—00\—00J

fRek(")]=f；(E)+x*(加加二僅四+乂/乃卜4?")

-00-X'/

￡xo(〃)ef=；E(x(")—x*(—〃)上加=JIm[x(V)]

—co乙—00

三、離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)

填空題：

1.設(shè)"⑶是線性相位FIR系統(tǒng)，已知“⑶中的3個(gè)零點(diǎn)分別為1,0.8,1+j,該系統(tǒng)階數(shù)至少為()。

解：由線性相位系統(tǒng)零點(diǎn)的特性可知，Z=1的零點(diǎn)可單獨(dú)出現(xiàn)，z=0.8的零點(diǎn)需成對出現(xiàn)，z=l+/的零點(diǎn)需4個(gè)1組，所以

系統(tǒng)至少為7階。

簡答題：

2.何謂最小相位系統(tǒng)？最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)"min(Z)有何特點(diǎn)？

解：一個(gè)穩(wěn)定的因果線性移不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)可表示成有理方程式

M

P(Z)ZbZ-

H(Z)=——=---------,他的所有極點(diǎn)都應(yīng)在單位圓內(nèi)，即但零點(diǎn)可以位于z平面的任何地方。有些應(yīng)用

。⑵1_￡叱

k=l

中，需要約束一個(gè)系統(tǒng)，使它的逆系統(tǒng)G(Z)=%(z)也是穩(wěn)定因果的。這就需要〃(Z)的零點(diǎn)也位于單位圓內(nèi)，即4rY1。

一個(gè)穩(wěn)定因果的濾波器，如果它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果的，則稱這個(gè)系統(tǒng)是最小相位。等價(jià)的，我們有如下定義。

【定義】一個(gè)有理系統(tǒng)函數(shù)，如果它的零點(diǎn)和極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，則有最小相位。

一個(gè)最小相位系統(tǒng)可由它的傅里葉變換的幅值卜隹一確定。從e川求"(Z)的過程如下：給定卜先求上川「，它是

cos(hv)的函數(shù)。然后，用g(Z"+Z")替代cos(hv),我們得到G(Z)=〃(Z)H(ZT)。最后，最小相位系統(tǒng)由單位圓

內(nèi)的G(Z)的極、零點(diǎn)形成。

一個(gè)穩(wěn)定因果系統(tǒng)總可以分解成一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)的乘積，即

H(Z)=Hmin(Z)//^(Z)

完成這個(gè)因式分解的過程如下：首先，把"(Z)的所有單位圓外的零點(diǎn)映射到它在單位圓內(nèi)的共輒倒數(shù)點(diǎn)，這樣形成的系統(tǒng)函數(shù)

“min(Z)是最小相位的。然后，選擇全通濾波器H〃0(Z),把與之對應(yīng)的“min(Z)中的零點(diǎn)映射回單位圓外。

3.何謂全通系統(tǒng)？全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)即',有何特點(diǎn)？

解：一個(gè)穩(wěn)定的因果全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H卬(Z)對應(yīng)的傅里葉變換幅值|"(一"')|=1,該單位幅值的約束條件要求一個(gè)有理系

統(tǒng)函數(shù)方程式的零極點(diǎn)必須呈共軌倒數(shù)對出現(xiàn)，即

M

t1b萬

NZ-'-a；

r=0。因而，如果在z=。上處有一個(gè)極點(diǎn)，則在其共輾倒數(shù)點(diǎn)z=y*處

3）=鼠N=n1-W

&=1

k=l

必須有一個(gè)零點(diǎn)。

4.有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，如下圖所示，試寫出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、系統(tǒng)（轉(zhuǎn)移）函數(shù)、差分方程和卷積關(guān)系表達(dá)式。

M〃)

/?(n)

解：頻率響應(yīng)：H（e%=￡h（nW

系統(tǒng)函數(shù)："（Z）=Z/z（〃）Z-“

-00

…Z愉.

（30

卷積關(guān)系：y（〃）=Z/?（〃）*x（〃）

-OO

第三章離散傅立葉變換

一、離散傅立葉級數(shù)

計(jì)算題：

1.如果“5）是一個(gè)周期為N的周期序列，那么它也是周期為2N的周期序列。把X（〃）看作周期為N的周期序列有X（〃）~X1（外

（周期為N）;把“（〃）看作周期為2N的周期序列有X（〃）-X2（左）（周期為2N）;試用X|⑴表示乂2（%）。

N-lN-l~i—kn

解：用伏）=W＞（〃）M"=l＞（〃）e卜'

n=0n=0

2N-1N-l-i-n2N-I

W

X2（k）=Y^2N=￡X（〃）e"+2豆詠N2

n=0〃=0n=N

對后一項(xiàng)令〃，=〃—N,則

NT：2^k?N-l

%2（Z）=￡，（"）eN2+￡1（"+N）eN2'

〃=（）〃'=0

N-\-i--n

=（1+濟(jì)川）》（桃N2

/?=0

=（l+e-m）M（S）

人為偶數(shù)

所以X{k）=

A為奇數(shù)

二、離散傅立葉變換定義

填空題

N-1

2.某DPT的表達(dá)式是X（/）=則變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個(gè)頻率樣點(diǎn)之間的間隔是（）。

k=（）

解：241M

N-\

3.某序列DFT的表達(dá)式是X（/）=Z》（人）叱夕，由此可看出，該序列的時(shí)域長度是（），變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個(gè)頻率樣點(diǎn)之

A=0

間隔是（）。

解：N2ZT/M

4.如果希望某信號序列的離散譜是實(shí)偶的，那么該時(shí)域序列應(yīng)滿足條件（）。

解：純實(shí)數(shù)、偶對稱

5.采樣頻率為工％的數(shù)字系統(tǒng)中，系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式中Z-I代表的物理意義是（），其中時(shí)域數(shù)字序列X（"）的序號〃代表的樣值

實(shí)際位置是（）；x（〃）的N點(diǎn)DFTX（幻中，序號〃代表的樣值實(shí)際位置又是0。

解：延時(shí)一個(gè)采樣周期丁=1/尸，nT=n/F,co=-k

kN

6.用8kHz的抽樣率對模擬語音信號抽樣，為進(jìn)行頻譜分析，計(jì)算了512點(diǎn)的DFT。則頻域抽樣點(diǎn)之間的頻率間隔"為數(shù)字

角頻率間隔為和模擬角頻率間隔AQ。

解：15.625,0.0123rad,98.4rad/s

判斷說明題：

7.一個(gè)信號序列，如果能做序列傅氏變換對它進(jìn)行分析，也就能做DFT對它進(jìn)行分析。（）

解：錯(cuò)。如果序列是有限長的，就能做DFT對它進(jìn)行分析。否則，頻域采樣將造成時(shí)域信號的混疊，產(chǎn)生失真。

計(jì)算題

8.令“（"）表示N點(diǎn)的序列”5）的N點(diǎn)離散傅里葉變換，"（”）本身也是一個(gè)N點(diǎn)的序列。如果計(jì)算的離散傅里葉變換得

到一序列內(nèi)（〃），試用光⑺求占（叱-

N-\N-\■y-i1N-IN-\

解：*（〃）=Zx出叫￡x（/）喏%=&（/）￡%"

n'=0Jn=0A=0

k=0k=0

因?yàn)?/p>

Nn+n'=Nl

=10其他

所以

N-l

X]（〃）=ZNx（—n+Nl）=Nx（（-n））N8（?）

9.序列尤⑶={1，1，°，°},其4點(diǎn)DFTM")如下圖所示?，F(xiàn)將工⑺按下列⑴，⑵，⑶的方法擴(kuò)展成8點(diǎn)，求它們8點(diǎn)的DFT?

(盡量利用DFT的特性)

x(n)〃=0~3

%(〃)=<

〃

⑵0=4~7

n=偶數(shù)

X(〃)=

n=奇數(shù)

⑶

X(2A)=2X(。0<^<3

""1K(2A+1)=0

(2)匕化)=XX(k\k\=2Z,04%W7,0?Z43

匕依)=x(/))4=X1)

(3)

0<Z:I<7,0<k<3,k=mod4

10.設(shè)x(〃)是一個(gè)2N點(diǎn)的序列，具有如下性質(zhì)：

x{n+N)=x(n)

另設(shè)X]5)=,它的點(diǎn)為X,(Z),求％(〃)的2N點(diǎn)和的關(guān)系。

x(n)RN(ri)NDFTDFTX(k)X](k)

解：Xk)=2X(g)推導(dǎo)過程略

11.試求以下有限長序列的N點(diǎn)DFT(閉合形式表達(dá)式)

n

⑴x(n)=aRN(n)⑵x(n)=nRN(n)

解：(i)因?yàn)椋?n)=a"RN(〃)，所以

N-l-j-nk\-aN

X(k)=￡aZ,N

.2〃

/?=0\-aeJN

(2)由%(〃)=〃&(九)，得

N-\

X(k)=￡般W『R￡k)

n-Q

N-l

Mx(左)=2>嗽”兄(外

/i=0

NTNT

x(左)(1-W；)=(Z〃W-Z〃叩加)RN(k)

n=0n=0

=帆+2喈+3W,+,“+(N-l)噌(喈+2W，+…+(N-2網(wǎng)NT”+心業(yè),陽_「畦

RJQ-RN*)

=(YM+fw：*)KML1-1

K=\

所以

-N

x加H出

(匕6)

12.計(jì)算下列序列的N點(diǎn)DFT:

(1)X(H)=a1,0</?<—1

(2n、

(2)x(?)=cos——nm,0<n<N,0<m<N

lN)

解：(i)X(A)=￡a"W"l一/W『一5()w

士1-aW^1-aW^

曾/2%、，101盧加-i-"k

(2)X(*)=Zco4—mnW^keN+eNeN

n-0(N)2“=o、,

]j_?_?一/2力(比+用)

------------------2-------------1--------------5----------

eA(t+">?-陶+M)1r

N+----------------e'

-j-(k-m)白-白*+M)

NeN-eN7

1sin((Z-zn)乃)sin((k+切)%)-的+.

e,N

2sin((k-〃?)7/

sin%

N

(--,k=m或k=-m

。洪它

13.已知一個(gè)有限長序列x(“)=6(〃)+25("-5)

(1)求它的io點(diǎn)離散傅里葉變換X(Z)

(2)已知序列y⑺的10點(diǎn)離散傅立葉變換為y(Z)=W1fX(Q,求序列y(〃)

(3)巳知序列加5)的io點(diǎn)離散傅立葉變換為M(4)=X(4)丫(幻,求序列〃2(〃)

N-19

解；⑴X(幻==Zb(〃)+25(〃—5)械7

〃=0〃=0

=1+2W^=1+2e

=1+2(—1)A,k=0,1,..

(2)由丫伏)=叱芹X(Q可以知道，y(”)是x(〃)向右循環(huán)移位2的結(jié)果，即

y(n)=-2))I0=5(〃-2)+2<J(n-7)

⑶由“(火)=乂(6丫(女)可以知道，加(〃)是H”)與y⑺的10點(diǎn)循環(huán)卷積。

一種方法是先計(jì)算x(〃)與y(〃)的線性卷積

8

“(〃)=x(n)*y(n)=^x(l)y(n-/)

/=-00

={0,04,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4)

然后由下式得到10點(diǎn)循環(huán)卷積

，"(")=￡"("-100%(")={0,0,5,0,0,0,0,4,0,0}=53("-2)+46("-7)另一種方法是先計(jì)算N(〃)的10點(diǎn)離散傅立葉變換

JV-19

==之固〃-2)+25缶-7)帆”嗡+2叱,再計(jì)算乘積

n=On=O

M(k)=X(k)Y(k)=(1+2叫也叫乎+2%&)

=端+2喝+2嚅+4叱產(chǎn)

=5哨+4嘴

由上式得到=53(〃一2)+43(八一7)

n

14.(1)已知序列：x(n)=Jo<n<N-\y求九(〃)的N點(diǎn)DFT。

/2"sin—k

zM\Jl,〃=0,l,2-J^-kI3J

(2)已知序列：X\H)一\o,其它,則X(H)的9點(diǎn)DFT是X(k)=e—7----k=0,1,2,...正確否？用

心

演算來證明你的結(jié)論。(645)

上！(27r、-j—kn

解:(1)X(k)=^sin^—N

—

0,其它

可見，題給答案是正確的。

15.一個(gè)8點(diǎn)序列X(〃)的8點(diǎn)離散傅里葉變換X(Z)如圖5.29所示。在龍(〃)的每兩個(gè)取樣值之間插入一個(gè)零值，得到一個(gè)16點(diǎn)

序列y(〃)，即

〃為偶數(shù)’

丁(力)=

<

0,〃為奇數(shù)

(1)求M”)的16點(diǎn)離散傅里葉變換丫(竹，并畫出丫(&)的圖形。

(2)設(shè)X(A)的長度N為偶數(shù)，且有

解：(1)因n為奇數(shù)時(shí)y(〃)=0,故

n-0〃=0,2,...J

7

=Z*(加)叱產(chǎn)，OKAW15

m=O

o<^<7

另一方面x(z)={￡\，8，

.0,其它

因此X(i=舟⑺叫…，8?E5

0,其它

,7

_X》(m)K*,0<A:<15

m=0

0,其它

’7

“〃、>尤(⑼**,0<A:<15

所以y(Q=《W

0,其它

X(&),0<A:<7

=?X(Z-8),8<A:<15

0,其它

按照上式可畫出Y(Z)的圖形，如圖5.34所示。

16.計(jì)算下列有限長序列”(〃)的DPT,假設(shè)長度為N。

⑴x(n)=a"Q<n<N-\

⑵x(n)={1,2,-3,-1)

N-[

解：⑴X(A)=Za"叱，

w=0”=0

/_(優(yōu))13

0<k<N-\

\-aW^~\-aW^

(2)X(Z)=￡X5)W；"

n=0

Okk

=W4+2W/-3W；-W^

=1+2W『-3W^-W^k

=1+2(-j)k-3(-1)A--/(0<A:<3)

17.長度為8的有限長序列X(〃)的8點(diǎn)DFT為X(&),長度為16的一個(gè)新序列定義為

n=0,2五..14

y(")=

on=1,3,…J5

試用x(z)來表示丫(女)=。尸z[.y(")]。

15

解：丫伏)=?，伽)叱？

?J=0

77

=\y(2r)嗯*+4(2/+1叫”)“

r=0r=0

7

=工”(力%*(女=0,l,...J5)

r=0

7

而X(k)=(%=0,1,...,7)

n=Q

因此，當(dāng)&=0,1，…7時(shí)，y(Q=X(A)；當(dāng)2=8,9,…15時(shí)，令％=/+8(/=0,1,…,7),得到：

77

y(/+8)=Zx(r)WV"+”=Zx(r)W=X(/)

r=0r=0

即y小)=x(女一8)

于是有X(k)k=0,1,...,7

r

Y(k)=

X(%—8)A=《9”..J5

An=0,1

18.若x(〃)=<ln=2,N=4試計(jì)算無(〃)的離散傅里葉變換'(A)的值供二°」,2,3)。

0n=3

【解】X(")=Wx(Z)W/

￡二0

所以

3

X(0)=2>(&)*"=2閱+2W：+1%+0=5*(1)=￡刈)卬”2%2W：+此+。=2+23+/申=2+/+產(chǎn)

k=0&=o

33_.紅

X(2)=￡x(/:)wa=2W：>+2閱+1閱+0=2+2""+e'^X(3)=^x(k)W^"=2W；+2W；+1閱+0=2+2e"+

hOA=0

證明題：

19.設(shè)X(左)表示長度為N的有限長序列》(〃)的DFT。

(1)證明如果X(〃)滿足關(guān)系式

x{ri)=-x(N—\—n)

則X(0)=0

(2)證明當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如果

x(〃)=x(N-l-〃)

N

則X”

解⑴

w-i

X(%)=ZM)W,：

n=0

AL.

N-1N-\2N-l

x(0)=Zx(〃)W：=Ex(")=Zx(n)-￡X(N-1-n)

"=0"=o"=。nJL

2

令N—1-H=m

N.

20

X(0)=Z"(")-Zx(m)

?=°n=*-l

2

顯然可得X(0)=()

NN-lNT

⑵*(3)=2>(")/切=2>5)(-1)"

Ln=0；7=O

(將n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩部分表示)

守*1

=￡x(2/■)(-1產(chǎn)+^x(2r+l)(-l)2r+,

r=0r=0

N,N,

---11

22

=￡%(2r)-￡%(2r+l)

r=0r=0

絲1匕

22

=￡x(N—l—2r)—￡x(2r+D(令N—l—2r=2k+l)

r=0r=0

N]

03T

=工x(2r+1)-Zx(2r+1)

k=-r=0

2

N

顯然可得X(萬)=0

簡答題：

21.在離散傅里葉變換中引起混迭效應(yīng)的原因是什么？怎樣才能減小這種效應(yīng)？

解：因?yàn)闉椴蓸訒r(shí)沒有滿足采樣定理

減小這種效應(yīng)的方法：采樣時(shí)滿足采樣定理，采樣前進(jìn)行濾波，濾去高于折疊頻率</2的頻率成分。

22.試說明離散傅里葉變換與Z變換之間的關(guān)系。

解：離散傅立葉變換是Z變換在單位圓上的等間隔采樣。

三、離散傅立葉變換性質(zhì)

填空題：

1,已知序列型]={-2,2,3,1,2,3},序列長度N=4,寫出序列M(2—QJRJ燈的值()。

解:7(2-5]R,[k]={42],41],MO],43];*=04,2,3}={3,2-2,-1;*=0,1,2,3}

2已知m]={1,2,3,2,1;k=0,1,2,3,4},/?[〃]={1,0,1,—1,0;k=0,1,2,3,4}則乂川和川川的5點(diǎn)循環(huán)卷積為(

解：4^]?h[k]=電]?傷肉+況Z—2]—3[k-3]}

=取]+以"2b]-玳左-3)5]={0,1,3,32k=0,1,2,3,4}

3已知={3,2,0,2;&=0,1,2,3},恤]={4,-2,1,-1;^=0,1,2,3卜產(chǎn)5]和川的

1

-1證明題:

4

-2

4.試證N點(diǎn)序列無（"）的離散傅立葉變換XR）滿足Parseval恒等式

N—121NT

訃向=刀加岡

A=0Nm~0

1N-\21NT

X

證：T；ZIH[汨x*[汨

N〃匚oN?7=o

iN-lN-l

=2Zx[切(2＞陽卬然)*

Nm=0k=0

NT1N-]

k=oN切=o

N-[N-l2

=WX伙hi%]=Z[取]|

k=0k=0

=X(Z)=x(-n)

“（%）*口x（"）是一個(gè)離散傅里葉變換對，試證明離散傅里葉變換的對稱性:

5.

證明略。

6.M"）長為N的有限長序列，⑺分別為M"）的圓周共敘偶部及奇部，也即

xe(n)=xe*(N-n)=~[x(n)+x*(N-n)]x()(n)=-x()*(N-