專題95幾何概型概率教師版?zhèn)鋺?zhàn)2020高考數(shù)學新一輪復習提分策略紙間書屋

專題9.05幾何概型概率幾何概型主要考查發(fā)生的概率與構(gòu)成區(qū)域的長度、角度、面積、體積有關(guān)的實際問題，注重考查【素養(yǎng)本講內(nèi)容突出對數(shù)學建模，數(shù)算的考查概念：如果每個發(fā)生的概率只與構(gòu)成該區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本)有無限多個②每個基本出現(xiàn)的可能性相等計算構(gòu) A的區(qū)域長度面積或體 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機的概率確定基本時一定要選準度量，注意基本的等可能性【體驗在區(qū)間(15,25]內(nèi)的所有實數(shù)中隨機抽取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)滿足17＜a＜20的概率是 2 23 【答案】20－17【解析】因為a∈(15,25]，所以 25－15有一杯2L的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從水中取0.1L水，則小杯水中含有這個細菌的概 【答案】2LP＝2已知x是[－4,4]上的一個隨機數(shù)，則使x滿足x2＋x－2＜0的概率為 5 8【答案】x2＋x－2＜0?－2＜x＜1

＝ 5min3min是 【答案】[0,5]內(nèi)均勻投點，求點落入[2,5]A＝3

構(gòu) A的區(qū)域長 ＝試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度【考法拓展?題型考法 與長度、角度有關(guān)的幾何概l的長設線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點，點落段l上的概率 L的長【例1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝6＋x－x2的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是 乘坐班車，且到達車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是( 2 23 4 435【答案(1)9(16＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，D＝[－2,3]，則所求概率為3－（－2）＝. 1102 與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對所求的A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為p1，p2，p3，則() 8 84 4 42【答案(1)A【解析】(1)設△ABC的三邊BC，AC，AB的長分別為則a2＝b2＋c2.則區(qū)域Ⅰ的面積111 111π22π2 π2822

Ⅰ＝22 2a

1

— 由幾何概型的概率可知p1＝p2，故選π2π

4＝8 【例3】(1)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點OABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率 V(2)在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取P，則三S－APC的體積大

3 【答案

××

2 ＝ ×1 ，則點P到點O的距離1的概率為

＝1－

(2)由題意知

PM PM

AP PM，BN分別為△APC與△ABC的高，所

>， ，所

>，故所求的概率

BN BN

AB 易錯點【典例】如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M.則AM<AC的概率為 2222

AB上取AC′＝AC，在∠ACB內(nèi)部作射線CM，則所求概率

AC′2 2 【錯因分析】：錯誤的原因在于選擇的觀察角度有問題，題目中的條件是過C作射線CM，錯解中先在3【答案】4【正解】：在AB上取AC′＝AC，則 設A＝{在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，AM<AC}，則所有可能結(jié)果的區(qū)域角度67.5°4 A的區(qū)域角67.54

90°

在△ABC內(nèi)部作射線CMCMCA――→CB，形成的區(qū)域類型是角度型【訓練】在直角坐標系內(nèi)，射線OT落在60°的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在∠xOT內(nèi)【答案】見【解析】O為起點作射線OA是隨機的，因而射線OA落在任何位置都是等可能的，射線OA是否落在xOT內(nèi)只與∠xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件．于是，記B＝{射線OA落在∠xOT內(nèi)}，因60°，

＝360° 【答案】421 可得，所求概率為 82＝8 2．在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)x，使cos2的值介于0到之間的概率為 2 3 32【答案】[－1,1x2.因為－1≤x≤1π π 22x20≤cos2x32x222x32 所以≤x≤1或－1≤x≤－. A為 x的值介于0到之間”， A發(fā)生對應的區(qū)域長 2 2為.所以 ＝2 3．在區(qū)間[－2,2]上隨機取一個數(shù)x，使|x＋1|－|x－1|≤1成立的概率 5【答案【解析】在區(qū)間[－2,2]上隨機取一個數(shù)x，則－2≤x≤2，不等式|x＋1|－|x－1|≤1的解集為12

.所以使不等式成立的概率為P＝ ＝. 4．(2019·柳州高中二模)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取一點M，則四棱錐1ABCD的體1

的概率 6【答案【解析】因為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，所以正方體的體積V＝1×1×1＝1.當四棱錐M－ABCD的1

時，設它的高為h，

，則點M在到平面ABCD的距離等

1M－ABCDM－ABCDV′＝1×1＝ 2 所以四棱錐M－ABCD的體積小6

的概率 ＝V2V在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為 5 55 5 55【答案】3[－2,3]3－(－2)＝5，[－2,11－(－2)＝3，P＝5設p在[0,5]上隨機地取值，則關(guān)于x的方程x2＋px＋1＝0有實數(shù)根的概率為 【答案】＝.Δ＝p2－4≥0，p≥2p≤－2(舍去)．所以所求概率為5－2＝.5－019：00～20：0020 【答案】12×

4人獨自去時不需要等待滿足|x－y|≥20，則由幾何概型可知，所求概率

13

，則陰影部分的面積是 πA. 【答案】【解析】設陰影部分的面積為S，圓的面積S＝π×32＝9π，由幾何概型的概率計

3S3 得S＝，得

表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一點，則此點到直線y＋2＝0的距離大于2的概率是 【答案】DA(43)，B(4，－2)，C(－6，－2)

點在△AEDy＋2＝02.P＝S

＝

16．(2019·山東棗莊一模)已知實數(shù)a滿足－3<a<4，函數(shù)f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域為R的概率為P，定義域為R的概率為P2，則( 1 D．P1P2的大小不確【答案】1【解析】若f(x)的值域為R，則Δ＝a2－4≥0，得a≤－2a≥21

4－（-

＋ ＝.若f(x)的定義域為RΔ2＝a－4<0，得－2<a<2.故

連接MN，則弦MN的長度超過2R的概率是 1【答案π【解析】當弦MN的長度恰為2R時，∠MON＝2，如圖．當點N落在半圓 上時，弦MN的長度1超過2RP＝2記集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面區(qū)域分別Ω1和Ω2，若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點M(x，y)，則點M落在區(qū)域Ω2的概率 1【答案 【解析】O：x2＋y2＝4，區(qū)域Ω就是圓O內(nèi)部(含邊界)，其面積為4π，區(qū)域Ω就是圖中△AOB 4π65

的概率 【答案6【解析】設隨機取出的兩個數(shù)分別為x，y，則0<x<1,0<y<1，依題意有5

為 1 1－×1－×1－ 2 (1)4【答案】見(10≤x<24,0≤y<24，且y－x>4作出區(qū)域設“兩船無需等待碼頭空出”為12×

(2)當甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y>2或－x>4.設在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為B，畫出區(qū) ×20×20＋ 442

1n122(1)求n(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為①記“2≤a＋b≤3”為A，求A的概率②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率【答案】見(1n＋22n1n的小球的概率是

2＝2(2)①從袋子中不放回地隨機抽取2個球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b，取出2個小球的可能情況共有C1·C1＝12種結(jié)果，令滿足“2≤a＋b≤3”為A，則A共有 8P(A)＝＝12②由①可知(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x，y)可以看成平面中點的坐標，則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，由幾何概型可得概率14－ ＝1－4均為15°，邊界忽略不計)即為．問：該商品的顧客在哪家商場的可能性大【答案】見πR2(R 66

6.所以，在甲商 的概率為

＝663＝ 的概率為 3＝

P<P，所以顧客在1512商場的可能性大1213．(2019·福州一模)已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)在復平面上對應的點為(1)設集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機抽取一個數(shù)作為x，從集合Q中隨機抽yz為純虛數(shù)的概率；(2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組

【答案】見【解析】(1)記“復數(shù)z為純虛數(shù)”為43因為組成復數(shù)z的所有情況共有C1×C1＝12個4