數(shù)學高考考點解讀及壓軸題策略

上海高考數(shù)學考綱解讀

及壓軸題解題策略

問題：

1、數(shù)學高考考哪些內(nèi)容？

2、數(shù)學高考的難度怎樣？

3、如何對待高考壓軸題？

4、進入高三如何學習數(shù)學？

一、數(shù)學高考中需要哪些思維能力?

能力類型具體要求

1、能從數(shù)學的角度有條理地思考問題。

2、具有對數(shù)學問題或資料進行觀察、分析、綜合、比較、

邏輯思維抽象、概括、判斷和論證的能力。

能力3、會進行演繹、歸納和類比推理，能合乎邏輯地、準確

地闡述自己的思想和觀點。

4、會正確而明確地表述推理過程，能合理地、符合邏輯

地解釋、演繹推理的正確性。

不1、理解數(shù)和式的有關算理。

運算能力2、能根據(jù)法則準確地進行運算、變形和數(shù)據(jù)處理。

3、能夠根據(jù)條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑。

4、能通過運算對問題進行推理和探求。

1、能根據(jù)條件畫出正確的圖形。

空間想象2、能根據(jù)圖形想象出直觀形象。

能力3、能正確地分析圖形中的基本元素和相互關系。

4、能對圖形進行分解、組合和變形。

5、會選擇適當?shù)姆椒▽D形的性質(zhì)進行研究。

1、能自主地學習一些新的數(shù)學知識（概念、定理、性質(zhì)

和方法），并能初步運用。

分析問題2、能綜合運用基本知識、基本技能、數(shù)學思想方法和適

與解決問當?shù)慕忸}策略，解決有關數(shù)學問題。

題的能力3、能通過建立數(shù)學模型，解決有關社會生活、生產(chǎn)實際

或其它學科的問題，并能解釋其實際意義。

1、會利用已有的知識和經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)和提出有一定價值的

問題。

2、能運用有關的數(shù)學思想方法和科學研究方法，對問題

數(shù)學探究進行探究，尋求數(shù)學對象的規(guī)律和聯(lián)系。能正確地表述探

與創(chuàng)新能究過程和結(jié)果，并予以證明。

力3、在新的情景中，能正確地表述數(shù)量關系和空間形式，

并能在創(chuàng)造性地思考問題的基礎上，對較簡單的問題得出

一些新穎的（對高中學生而言）結(jié)果。

二、高考數(shù)學的內(nèi)容有哪些？

1、數(shù)學試題的結(jié)構：

填空題（14小題）+選擇題（4小題）+解答題（5小題）

分值：56+20+74=150分。（三個過程）

2、考查的內(nèi)容：

重點內(nèi)容重點考查，注意知識的覆蓋面及新教材中新增

加內(nèi)容。

壓軸題：函數(shù)、數(shù)列、二次曲線

3、數(shù)學高考的難度：

以2011年高考為例：基礎題（相當于課本、習題冊部

分題目的難度）90分左右，中等題40分，較難題20分。

考試原則：基礎題不失分，中等題少失分，較難題多得分。

三、進入高三如何學習數(shù)學？

1、樹立學習信心，明確升學目標

2、明確考點要求，掌握基本方法

“函數(shù)與分析”

【知識點1］：函數(shù)的有關概念

【考試要求】：理解函數(shù)是變量之間相互依賴關系的一種反映，加深理

解函數(shù)的概念，熟悉函數(shù)表達的解析法、列表法和圖像法，懂得函數(shù)

的抽象記號以及函數(shù)定義域和值域的集合表示。掌握求函數(shù)定義域的

基本方法。在簡單情形下能通過觀察和分析確定函數(shù)的值域。

【解讀】：理解函數(shù)概念，包括判斷對應關系及直角坐標系中變量之

間的關系是否為函數(shù)關系；熟練掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、

列表法和圖像法，特別是利用給出的圖像確定函數(shù)關系、判斷函數(shù)的

基本性質(zhì)，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；關于函數(shù)的定義域必須理解函數(shù)

定義域的含義，主要有y=倏，y=4fW，y=iogu/⑴等基本類型及它

g(x)

們的組合形式，特別是含有字母參數(shù)的問題，需要注意分類討論；函

數(shù)的值域主要通過函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式確定，特別是幾個常見

函數(shù)如二次函數(shù)、分式函數(shù)及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等值域的確定方法需要

熟練掌握。

【舉例說明】：

1、函數(shù)y=出的定義域為

X

A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,1]

【答案】：D

2、已知〃x)=lg32+2x+l),若定義域是R,求實數(shù)a的范圍；若值

域是R,求實數(shù)。的范圍。

【答案】ae(l,+oo)；ae(-oo,l]

3、設=已知/⑷>1,則實數(shù)a的范圍o

x%〉0)

【答案】a(,2)°F(1,G)

4、求下列函數(shù)的值域：(1)y=-2x+后；(2)y：

/Q\x-4X+13

(3)，=------:——(xe[2,5])

x-1

【答案】(1)(-8,當；(2)[-1,1];(3)[25/i0-2,9]o

8

【知識點2】：函數(shù)的運算

【考試要求】：理解兩個函數(shù)和的運算、積的運算的概念。

【解讀】：函數(shù)的運算主要是兩種：加法、乘法，在運算的過程中除

了解析式的運算外，更主要的是運算后函數(shù)的定義域的變化，涉及到

集合取公共部分，設y=/(x),xe￡)],y=g(x),xe￡)2，則和函數(shù)

f(x)+g(x),x&DlnD2,積函數(shù)/(x).g(x),xe2c鼻。對分段式函數(shù)之

間的運算必須注意定義域的分隔點。

【舉例說明】：

'Jr>1\-X,X>~\

1、已知函數(shù)〃X)='一,g(X)=1.o求和函數(shù)〃X)+g(X)及

X,X<1_,XVT

IIX

值域。

X1-X,X>1

【答案】f(x)+g(x)=<0,-1<X<1；f(x)+g(x)G(-8,-2)U[0,4-00)

1I

X4--,X<—1

X

2、函數(shù)y=/(x)的定義域為[1,3],試問函數(shù)/(x+a)與/(1—x)的和函

數(shù)是否存在？如果存在，請求出實數(shù)。的取值范圍；如果不存在，請

說明理由。

【答案】。€[-3,-2]31,2]時，和函數(shù)存在。

【解析】：因為y=/(x)的定義域為[1,3],所以函數(shù)/(x+a)的定義域為

W-a,3-a],函取/(I—X)的定義域為,2_3,a2__“,當-?—?-

或/_343-。4。2_1,解得qe[-3,-2]3L2]時，和函數(shù)存在。

【知識點3】：函數(shù)關系的建立

【考試要求】：通過解決具有實際背景的簡單問題，領會分析變量和

建立函數(shù)關系的思考方法。初步會用函數(shù)觀點觀察和分析一些自然現(xiàn)

象和社會現(xiàn)象。體驗函數(shù)模型建立的一般過程，加深對事物運動變化

和相互聯(lián)系的認識。

【解讀】：建立函數(shù)關系特別強調(diào)“具有實際背景的簡單問題”，并不

是文字冗長、看不懂的應用題，并能夠用函數(shù)觀點分析、解釋一些現(xiàn)

象，即具備用數(shù)學的眼光看世界的能力。

【舉例說明】：

1、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對用一定量的水清洗一次的效

果作如下假定：用一個單位量的水可清洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥的1用

水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上。設用x單

位量的水清洗一次以后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)

藥量之比為函數(shù)/(X)。

(1)試規(guī)定/(0)的值，并解釋其實際意義；

(2)試根據(jù)假定寫出函數(shù)"X)應該滿足的條件和具有的性質(zhì)；

(3)設〃x)=—二.現(xiàn)有45>0)單位量的水，可以清洗一次，也

1+X

可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上

殘留的農(nóng)藥量比較少？說明理由。

【答案】（1）/（0）=1,它表示沒有用水清洗時，殘留在蔬菜上的農(nóng)

藥量保持不變；

（2）/（0）=1,/（1）（0,1],定義域[0,+8）,/（X）單調(diào)遞減，隨著

X的增大而趨向于0.

（3）當a>2&時，清洗兩次后殘留的農(nóng)藥量比較少；當0<a<2&時,

清洗一次后殘留的農(nóng)藥量比較少；當a=2企時，兩種清洗方法具有

相同的效果。

2、建筑一個容積為8000??、深6m的長方體蓄水池（無蓋），池壁

造價為a元/米2,池底造價為2a元/米2,把總造價y元表示為底

的一邊長xm的函數(shù)，其解析式為,定義域為

.底邊長為m時總造價最低是___________

元.

【答案】y=12a（*+陋）+幽”.，定義域為（0,4-）,空回，

6x33

160國a+嗎。

3

【解析】：設池底一邊長X（m）,則其鄰邊長為等（m）,池壁面積

6x

為2?6?x+2?6?幽=12（x+^ooO）（*2）3*6,池底面積為x?幽

6x6xm6x

=幽（m2）,根據(jù)題意可知蓄水池的總造價y（元）與池底一邊長x

6

（m）之間的函數(shù)關系式為y=12a（x+幽）+幽a.

6x3

定義域為（0,+°°）.

x+幽22、1匣=竺而（當且僅當4幽即4型病時取

6x\6x36x3

當?shù)走呴L為司廊m時造價最低，最低造價為（160國“十

幽“）元.

3

【知識點4】：函數(shù)的基本性質(zhì)

【考試要求】：通過對函數(shù)零點的研究，體會“二分法”和逼近思想,

熟悉計算器的應用。能利用函數(shù)的奇偶性描繪函數(shù)的圖像。從直觀到

解析、從具體到抽象研究函數(shù)的性質(zhì)，并能從解析的角度理解有關性

質(zhì)。在直觀認識函數(shù)基本性質(zhì)的基礎上，從具體函數(shù)到抽象函數(shù)對其

奇偶性、單調(diào)性、零點、最大值和最小值等基本性質(zhì)進行解析研究。

掌握函數(shù)的基本性質(zhì)以及反映這些基本性質(zhì)的圖像特征。能根據(jù)不同

問題靈活運用解析法、列表法和圖像法來表示變量之間的關系和研究

函數(shù)的性質(zhì)；會利用函數(shù)的性質(zhì)來解決簡單的實際問題。領悟數(shù)形結(jié)

合的思想。

【解讀】：本知識點的內(nèi)容很豐富，首先是對“函數(shù)零點”概念的理

解，在此基礎上體會“二分法”，包括確定零點的個數(shù)及求函數(shù)的零

點；從函數(shù)解析式研究函數(shù)的基本性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、零點、最

值，其中函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)。對函數(shù)奇偶性，首先

明確函數(shù)具有奇偶性的必要條件（定義域關于原點對稱），其次是掌

握判斷函數(shù)奇偶性的方法及奇偶函數(shù)的圖像特征，再次是利用函數(shù)的

奇偶性的性質(zhì)（包括圖像特征）解決問題。而對單調(diào)性，首先是理解

函數(shù)單調(diào)性的定義，并能夠利用定義判斷、證明函數(shù)在某一范圍的單

調(diào)性;其次是利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍及

利用單調(diào)性求函數(shù)的值域。特別，具有奇偶性、單調(diào)性的函數(shù)圖像特

征是函數(shù)本身所固有的特征,經(jīng)過平移等變換后仍然保持圖像的對稱

性、單調(diào)性。

【舉例說明】：

1、下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的函數(shù)

為()

(A)y=In—.(B)y=x3.(C)y=21'1.(D)y=cosx

IxI

【答案】(A)

2、設g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)/(x)=x+g(x)在

區(qū)間[3,4]上的值域為[-2,5],則函數(shù)/(x)在區(qū)間[-10,10]上的值域為

【答案】[-15,11]

3、已知0<“<1,則函數(shù)片小-Hog/I的零點的個數(shù)為

【答案】2

4、設函數(shù)〃X)=F：2”[1+8)則函數(shù)y=/(x)的零點

[x-2X,XG(-OO,1)

是.

【答案】1,0.

5、已知函數(shù)/?(力=父+2|川一15,定義域是出向(a,beZ),值域

是[—15,0],則滿足條件的整數(shù)對(a*)有對.

【答案】

6、已知函數(shù)〃x)=[3F‘xe[°，+8)，在區(qū)間(TO,+8)是遞增函數(shù),

d—3a+2,xw(-oo,0)

則常數(shù)。的取值范圍是__________o

【答案】l<a<20

7、函數(shù)y=ax~—(3〃—l)x+a2在xe(l,+oo)上遞增，貝Ua的取值范圍

【答案】OWaWl

8、函數(shù)y=aIx-bI+2在(g,+8)上單調(diào)遞減，貝/為滿足的條件是

【答案】a<O,b<-

2O

9、函數(shù)/(x)=竺里在(-8,-2)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的范圍o

x+2

【答案】a>[

2

10、F(X)=X2(—[—+M(a〉0,aH1)為奇函數(shù)，貝！]m=___________.

ax

【答案】|

2

11、若函數(shù)的零點與g(x)=4,+2x-2的零點之差的絕對值不超過

0.25,貝廿(X)可以是

A./(X)=4x—1B./(x)=(x-l)2

C.f(x)=ex-\D.=g)

【答案】A

【解析】〃x)=4x-1的零點為x=i,〃x)=(x-1)2的零點為X=l,

/(x)=e，-l的零點為X=0,/(另=。卜-鼻的零點為X=|.現(xiàn)在我們來

估算g(x)=4"+2x-2的零點，因為g(0)=T,g(；)=l,所以g(x)的零

點Xe(0,g),又函數(shù)/(x)的零點與g(x)=4,+2x-2的零點之差的絕

對值不超過0.25,只有〃x)=4x-1的零點適合，故選A。

12>已知函數(shù)/(x)」」(a>0,x>0)。(1)求證f(X)在(0,+s)上是

ax

遞增函數(shù)；

(2)若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(mon),求a的取值范圍,

并求相應的m,n值；

(3)若/(x)?2x在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍。

【答案】(1)略；(2)0<?<1,m=1-,心'=1+,心2；(3)

22a2a

【知識點5】：簡單的募函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)

【考試要求】：知道塞函數(shù)的概念，所研究的塞函數(shù)的募指數(shù)

lljUo以簡單的募函數(shù)、二次函數(shù)等為例，研究它

們的性質(zhì)，體驗研究函數(shù)性質(zhì)的過程和方法。

【解讀】：對嘉函數(shù)本身的研究只限于8種函數(shù)，其它復雜的塞函數(shù)

可以作為了解，通過研究這8種函數(shù)的性質(zhì)，體驗研究函數(shù)性質(zhì)的基

本方法和途徑(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖像)；更主要的

是嘉函數(shù)經(jīng)過運算、變換后所得函數(shù)性質(zhì)的研究，如二次函數(shù)、有理

分式函數(shù)y=="+2等函數(shù)性質(zhì)的研究往往是高考考查的重

cx+dx

點。

【舉例說明】：

1、已知當xe［0,2］時，函數(shù)y=4x?-4。3+(。2-2。+2)有最小值3,求實

數(shù)。的值。

【答案】4=1-后或5+而。

2、已知二次函數(shù)/(x)=a/+A滿足+=X),且方程/口)=犬有

兩個相等實根，若函數(shù)/(x)在定義域為[見”]上對應的值域為[2%2〃],

求〃?,〃的值。

【答案】〃?=-2,?=0o

3、對于任意實數(shù)x,函數(shù)〃X)=%2_4G+2a+30的值均為非負實數(shù),

求關于x的方程上=1。-11+1的根的取值范圍。

a+2

【答案】[3,15]

4、設函數(shù)/(x)=a/+云+1(4/6凡470)。(1)若/(-1)=0且對任意實

數(shù)X均有/(x)20成立，求/(X)的表達式；(2)在(1)的條件下，當

》6[-2,2]時，g(x)=/(x)-日是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。

【答案】(1)/(x)=x2+2x+l;(2)Z:e(-00-2]u[6,+00)o

5、已知函數(shù)/(x)-m(x+-)的圖象與函數(shù)力(x)=-(x+-)+2

x4x

的圖象關于點A(0,1)對稱.

(1)求7H的值；

(2)若g(x)=f(x)+三在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù)，求實數(shù)

a的取值范圍.

【答案1(1)m--i(2)a>3o

4

6、已知函數(shù)/0)=/+q(xwO,常數(shù)4eR).

X

(1)討論函數(shù)/⑺的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)/(X)在xe[2,+8)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

【答案】(1)當a=0時，/(x)為偶函數(shù)；當心0時，/(X)為非奇非偶

函數(shù)；

(2)aG(-oo,16]o

【知識點6］：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

【考試要求】：理解有關的基本概念，進一步領會研究函數(shù)的基本方

法。掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像。

【解讀】：對指數(shù)函數(shù)，首先要理解日常生活中的實際背景，理解、

掌握指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)、圖像特征；其次，在研究函數(shù)性質(zhì)的過程

中體驗分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，關注對指數(shù)函數(shù)底數(shù)的分類

討論，在解題過程中常思函數(shù)圖像特征；再次，應掌握指數(shù)函數(shù)經(jīng)過

平移、對稱變換后所得函數(shù)的性質(zhì)。

【舉例說明】：

1、根據(jù)統(tǒng)計資料，在A小鎮(zhèn)當某件訊息發(fā)布后，，小時之內(nèi)聽到該訊

息的人口是全鎮(zhèn)人口的100(1-2*)%，期々是某個大于。的常數(shù),

今有某訊息，假設在發(fā)布后3小時之內(nèi)已經(jīng)有70%的人口聽到該

訊息。又設最快要T小時后，有99%的人口已聽到該訊息，則

T=小時。(保留一位小數(shù))

【答案】13,5

2、已知函數(shù)〃x)=a2+63',其中常數(shù)4力滿足帥*0。

(1)若帥>0,判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若ab<0,求”x+l)>/(x)時的x的取值范圍。

【答案】(1)當。>0力>0時，函數(shù)”0單調(diào)遞增；當“<0力<0時，函

數(shù)/⑴單調(diào)遞減。

(2)當a<0,%>0時，x>log(;當a>0力<0時，x<log(一~—)o

322b32b

3、設函數(shù)y=/(x)在(-8,+8)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K,定義函

數(shù)

/K(X)=,

K,/(x)>K.

取函數(shù)/口)=2由。當K=；時，娥/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為【

A.(-00,0)B.(0,+OO)C.(-00,-1)

D.(l,+oo)

【答案】c

4、已知函數(shù)f(x)=a*+士匚(a〉l).

x+1

(1)證明：函數(shù)f(x)在(-1,+8)上為增函數(shù)；

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根.

【答案】(1)/(x)=ax+\———,當xe(-l,+8)時，ax,——“都單調(diào)

x+1x+1

遞增，因此/(x)單調(diào)遞增；(2)當x<0時，a'e(0,1),

-七匚€(-00,-1)52,+8),與f(力=0矛盾o

X+1

5、函數(shù)/(x)=—1—(zn>0),工1、X^R,當XI+M=1時，f(xj)

4*+m2

tf(X2)=3.

(1)求機的值；

(2)數(shù)列?。?已知??=/1(0)+/1(1)+fC-)+-+/1(三與

nnn

+f⑴，求an.

【答案】(1)m=2;(2)

【知識點7］：對數(shù)

【考試要求】：理解對數(shù)的意義。初步學會換底公式的基本運用。掌

握積、商、累的對數(shù)性質(zhì)。會用計算器求對數(shù)。

【解讀】：理解對數(shù)的意義，掌握對數(shù)式與指數(shù)式之間的等價轉(zhuǎn)化，

重點是掌握對數(shù)運算的法則，并利用法則進行對數(shù)式的化簡、運算,

為研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打好基礎；對換底公式只是初步要求，知道如

何將不同底的對數(shù)轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)才能進行運算,對復雜的對數(shù)式

的運算盡量避免。

【舉例說明】：

1、設a=log3乃力=k)g26,c=log3后，貝！J

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】A.

【解析】：log3V2<log2V2<log2yfi：.b>c

log2邪<log22=log33<log3a>b:.a>b>c

2、若10短。=心則x、y、z之間滿足

A..y7=xzB._y=x7z

C.j=7xzDj=d

【答案】B

【解析1：由logx7/7=znx"=7/J^xlz=y,即y=x7z.

3、已知l<m<n,令“=(log?/n)2,b=iog?m2,c=log?(log?m),則

A.a<Z><cB.GVCVA

C.AVGVCD.CVGV方

【答案】D

【解析】：*.*l</n<H,.*.0<log?/w<l./.log,,(log?/w)<0.

4、已知函數(shù)/(x)=9F",貝|J/(2+晚23)的值為

f(x+i),x<4,

A.lB.iC.-

3612

D.—

24

【答案】D

【解析】：V3<2+log23<4,3+log23>4,/(2+log23)=/(3+log23)

二(1)3+log3_1

224'

【知識點8】：反函數(shù)

【考試要求】:經(jīng)歷探索互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像之間關系的過程,

并掌握其關系。

【解讀】：關于反函數(shù)，首先掌握反函數(shù)存在的條件(包括判斷及探

究反函數(shù)存在的條件)；其次，熟練掌握求反函數(shù)的步驟；再次，研

究原來函數(shù)與反函數(shù)之間的關系(圖像關系、性質(zhì)關系)，并能利用

這些關系和性質(zhì)解決問題。

【舉例說明】：

1、函數(shù)曠=-/+2^?在XG(-8,1］上的反函數(shù)為o

【答案】尸(X)=l-Vn。

2、若函數(shù)“X)的圖像過點(°，T),則函數(shù)/(X+4)的圖像必過

【答案】(-5,0)

3、要使函數(shù)y=x2-2ax+1在［1,2］上存在反函數(shù)，貝I」a取值范圍為

()

A.a<\B.a>2C.或aN2

D.l<a<2

【答案】c

4、若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y=a'(呢且)awl的反函數(shù)，且/⑵=1,則

fW=

A.log,xB.1C.log,xD.2X~2

22

【答案】A

5、已知函數(shù)/(x)=#-/5,

(1)證明函數(shù)/(x)有反函數(shù)，并求出反函數(shù)；

(2)反函數(shù)的圖像是否經(jīng)過點(0,1)?反函數(shù)的圖像與y=x有無交

點？

【答案】(1)函放/⑴單調(diào)遞增，故存在反函數(shù)；尸⑴”而電；

4

(2)因為/⑴=0,故反函數(shù)圖像經(jīng)過(0,1),反函數(shù)的圖像與y=x

無交點。

6、已知(》>10)

(x+10J

(1)求/(x)的反函數(shù)尸(x);

(2)如果(1-?).廣(x)>〃7(〃［-4)對恒成立，求實數(shù)加的取

94

值范圍；

(3)設g(x)=—^_+烏2,求函數(shù)y=g(x)的最小值及相應的x值。

f(x)10

「死安"1/1\,-1/、10(1+Vx)八.°、,1—A/4811+J241、

【答案】⑴/(x)=—~^(0<%<1);(2)〃?w(---,——--);

1-Vx64

(3)x=3-2后時函數(shù)最小值為g。

【知識點9］：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

【考試要求】：理解對數(shù)函數(shù)的意義。體會變換思想。體會指數(shù)函數(shù)

和對數(shù)函數(shù)的應用價值。利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關

系，研究與掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像。

【解讀】：對對數(shù)函數(shù)，首先要理解日常生活中的實際背景，理解、

掌握對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)、圖像特征；其次，在研究函數(shù)性質(zhì)的過程

中體驗分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，關注對對數(shù)函數(shù)底數(shù)的分類

討論，在解題過程中常思函數(shù)圖像特征；再次應掌握對數(shù)函數(shù)經(jīng)過平

移、對稱變換后所得函數(shù)的性質(zhì)，以及與對應的指數(shù)函數(shù)之間的關系。

【舉例說明】：

1、求函數(shù)y=21g(x—2)—Ig(x—3)的最小值.

【答案】lg4o

2、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=呼2d-x),則f(3)

J(x-D-/(x-2),x>0

的值為()

A.-lB.-2C.1D.2

【答案】B

3、已知函數(shù)/(x)=|log2x|,正實數(shù)m,n滿足〃?<〃，且若“X)

在區(qū)間上日〃]上的最大值為2,則m、n的值分別為()

A、也,0B、-,2C、2D、-,4

242'4

【答案】c

4、函數(shù)》=嚏“(2-")在【0,1】上是關于犬的減函數(shù)，則實數(shù)”的取

值范圍是_________o

【答案】1<a<2o

5、已知函數(shù)/(x)=log〃(8-2D(a〉0,且"1)

(1)若函數(shù)/(x)的反函數(shù)是其本身，求a的值；

(2)當a>l時,求函數(shù)y=/(x)+/(T)的最大值。

【答案1(1)a=2;(2)log449o

6、已知函數(shù)/口)=_1一1",匕A,求函數(shù)/(x)的定義域，并討論它的

X[-X

奇偶性和單調(diào)性。

【答案】xe(-l,0)u(0,l),奇函數(shù)，單調(diào)遞減。

7、已知函數(shù)/(X)=3、左(左為常數(shù))，A(-2k,2)是函數(shù)尸,一

1(x)圖象上的點.

(1)求實數(shù)A的值及函數(shù)/1TG)的解析式；

(2)將廣廣】(x)的圖象按向量a=(3,0)平移，得到函

數(shù)尸g(X)的圖象，若2/T(x+廂-3)—g(x)21恒成立，試

求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)k=-3,f-'(x)=log(x+3)(x>-3);(2)—.

,16

【解析】：(1)VA(一2匕2)是函數(shù)尸/T(x)圖象上的點，

AB(2,~2k)是函數(shù)產(chǎn)f(x)上的點.

:.——2k=32+k.:.k=——3.

??f(x)=3*—3.

.*.j=f(x)=log3(x+3)(x>—3).

(2)將產(chǎn)/T(x)的圖象按向量4=(3,0)平移，得到函數(shù)

y-g(x)=logjr(x>0),要使(x+Vm—3)—g(x)21恒成

立，即使210g3(x+Vw)—logjxNl恒成立，所以有x+竺+2向23

X

在X>0時恒成立，只要0+3+2詬)min23.

X

又*+竺22而(當且僅當x=3即時等號成立)，???

XX

(X+—+2Vm)min=4,即423.22.

x16

【知識點10］：指數(shù)方程和對數(shù)方程

【考試要求】：理解對數(shù)方程和指數(shù)方程的概念，會求指數(shù)方程和對

數(shù)方程近似解的常用方法，如圖像法、逼近法或使用計算器等。會解

簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程，在利用函數(shù)的性質(zhì)求解指數(shù)方程、對數(shù)

方程以及求方程近似解的過程中，體會函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。

【解讀】：熟練掌握常見方程的解法，如

a'=b,afM^hg(x\A-a2x+B-ax+C,以及

log“x=6,log0/(x)=log。g(x),Alog?2x+B.log.x+C=0等。利用圖像法判

斷方程解的個數(shù)；利用逼近法及計算器求方程的近似解，讓學生感受

方程的解即為對應函數(shù)交點的橫坐標。

【舉例說明】：

1、記y(x)=iog3(x+i)的反函數(shù)為y=/T(x)，則方程尸")=8的解

X=?

【答案】2o

2、.若小是方程式lgx+x=2的解，則X。屬于區(qū)間

A.(0,1).B.(1,1.25).C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)

【答案】C

3、方程lgr+lg(x+3)=1的解x=.

【答案】2

4、若須滿足2x+2*=5,々滿足2x+21og2(x—1)=5,X]+=

(A)|(B)3(C)\(D)4

【答案】C

【解析】由題意2占+2”=5①

2X2+21og2(x2-1)=5②所以2-=5-2占附=log2(5-2%)

即2x,=21og2(5-2x,)o令2xi=7-2t,代入上式得7-2t=21og2(2t-2)

=2+21og2(t-l)

，5—2t=21og2(t—1)與②式比較得t=X2，于是2xi=7-2x2

【知識點11]：函數(shù)的應用

【考試要求】：體驗數(shù)學建模、求解和解釋的過程，增強數(shù)形結(jié)合的

意識和建模求解的能力。

【解讀】：數(shù)學的應用問題實際上是數(shù)學模型方法的應用問題，也就

是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數(shù)學模型，利用這些模型來

研究實際問題。所謂數(shù)學模型，簡單地說，就是把實際問題用數(shù)學語

言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出

的關于實際問題的數(shù)學描述.數(shù)學模型的形式是多樣的，它們可以是

幾何圖形，也可以是方程式、函數(shù)解析式或數(shù)列等等.實際問題越復

雜，相應的數(shù)學模型也就越復雜。用數(shù)學模型方法解決問題的步驟可

用框圖表示如下：

抽象概括

實際問題數(shù)學模型

推

理

演

算

還原說明

實際問題的解*1數(shù)學液型的解

【舉例說明】：

1、如圖所示，一質(zhì)點P(x,y)在xQy平面上沿曲線運動，速度大小不

變，其在x軸上的投影點。*,0)的運動速度V=VQ)的圖象大致為

°。。,0)

ABC

D

【答案】：B

2、為了拉動內(nèi)需，某廠家計劃在明年開展一系列的促銷活動，經(jīng)過

調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量x萬件與年促銷費用機萬元(〃亞0)滿足

x=3-上，其中人為常數(shù)，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量

m+1

只能是1萬件。已知明年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1

萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家的產(chǎn)量等于銷售量，而銷售收

入為生產(chǎn)成本的lo5倍，(生產(chǎn)成本由固定投入和再投入兩部分組

成)。(1)將明年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用〃，萬元的函數(shù);

(2)該廠家明年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

【答案】(1)y=28----——m(m>0);(2)m=3。

m+1

【解析】：(1)當團=0時x=則％=2,/.x=3......—，

m+1

y=0.5[8+16(3)]-m=28-m(m>0);

m4-1m+1

(2)y=29-[-^-+(m+l)]<29-8=21,當機=3時等號成立。

m+1

3、某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/

輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應市場

需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增

加的比例為x(OVxVl),則出廠價相應地提高比例為0.75x,同時

預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤=(出廠價一投入成本)

X年銷售量.

(1)寫出本年度預計的年利潤了與投入成本增加的比例x的關系式;

(2)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例

X應在什么范圍內(nèi)？

【答案】(1)丁=-60/+20*+200(0<x<l)；(2)0<x<0.33o

【解析】：(1)由題意得了=E1.2X(l+0.75x)-IX(l+x)]X

1000(l+0.6x)(0<x<l),

整理得丁=-60必+20*+200(0<x<l).

(2)要保證本年度的利潤比上年有所增加，必須

y-(1.2-l)x!000>0,

0<x<l,

即f-60/+20x>0,解得(J<％vL

[o<l<l,3

???為保證本年度的年利潤比上年有所增加,投入成本增加的比例

x應滿足OVxVO.33.

4、.已知函數(shù)f(x)=2+L--L，實數(shù)aeR且awO。

aax

(1)設加〃>0,判斷函數(shù)/")在M加上的單調(diào)性，并說明理由；

(2)設0<加<〃且a>0時,f(x)的定義域和值域都是[〃?,〃],求〃-加的最

大值；

(3)若不等式I//(x)K2x對xN1恒成立，求a的范圍；

【答案】(1)/(x)在[根,〃]上的單調(diào)遞增；(2);(3)-|^<a<l,a*0o

【解析】：(1)設機A』<々貝U/(X1)-/(x,)=-一二+—^―=/，

aax2a-X|X2

*/rnn>0,m<x]<x2<n9x]x2>0,%)-x2<0,/(^)-/(x2)<0，

即/(占)</(々)，因此函數(shù)/(X)在上的單調(diào)遞增。

(2)由(1)及/(x)的定義域和值域都是［m,〃］得/(〃?)=/",/(〃)=〃,

因此機，〃是方程2+工-的兩個不相等的正數(shù)根，

aax

等價于方程//一(2/+a)x+l=0有兩個不等的正數(shù)根，

22

即△=(2a+a--4a>0且項+x2=>0且%]x?=4。，

a"a"

解得"g,??.〃一加=夕41+4八3=卜(；-寧+日，

???〃￡(！,+8),“I時，…最大值為空

2

(3)a2f(x)=2/則不等式1/7(工)&2x對1恒成立，即

x

2a2+a<2x+-

2a24-a>--2x，對X21恒成"，

{x

令h(x)=2x+~，易證h(x)在［L+oo)遞增,同理g(x)」-2冗［1,+8)遞減。

.J2a~+a<33

?二%(X)min=〃⑴=二g(X)max=g(l)=-l,…［2/+段_1,\--<a<lo

5、已知函數(shù)f(x)=x+@的定義域為(0,+8),且f(2)=2+交.

x2

設點尸是函數(shù)圖象上的任意一點，過點尸分別作直線y=x和y軸的

垂線，垂足分別為M、N.

(1)求a的值.

(2)問：IPMI?IPNI是否為定值？若是，則求出該定值；若不

是，請說明理由.

(3)設0為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值.

【答案】(1)a=V2；(2)\PM\?I尸NI為定值，這個值為1；(3)最小

值1+五。

【解析】：(1)V/(2)=2+@=2+正，.??，=收.

22

(2)設點尸的坐標為(刈，刈),則有yo=x()+農(nóng)，x0>0,由點

到直線的距離公式可知，IPMI=^*=，,IPNI=Xo，??.有

J2與

\PM\?IPNI=L即IPMI?I尸NI為定值，這個值為1.

(3)由題意可設M(60,可知N(0,必).

?.,PM與直線y=x垂直，:,kpM?1=-1,BP——-=-1.解得t=L

X。-t

（X0+J0）.

又yo=Xo+—，，=Xo+—.?e?S△OPM=，S△

%o2102才2

加中。2+冬

2

：?S四邊形OMPN=SAOPM+SAOPN=4（XQ+—）+收21+收?

2人

當且僅當Xo=l時，等號成立.此時四邊形OMPN的面積有最

小值1+V2.

數(shù)學壓軸題的

解題策略

2011年高考第22題.

(本大題滿分18分，第1小題滿分4分,

第二小題滿分6分，第3小題滿分8分)

已知數(shù)列0｝和收｝的通項公式分別為an=3H+6,

2=2〃+7(〃cN*).將集合八eN*｝U｛%|x=b“,nwN*｝

中的元素從小到大依次排列，構成數(shù)列G，

(1)寫出%，。3出4I

(2)求證：在數(shù)列￡｝中，但不在數(shù)列｛2｝中的項恰為

〃2'"4，°.，a2n?*,eJ

(3)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

如何入手?

【解】(1)它們是9,11,12,13.

(2)???數(shù)列｛g｝由LJ，h｝的項構成，所以，只需討論數(shù)列

｛〃”｝的項是否為數(shù)列標｝的項。

因為對于任意〃￡N*,

d2n~\=3(2〃—1)+6=+3=2(3〃—2)+7-=Z?3/j2,所

以，出〃一1是h}的項。

下面用反證法證明：出〃不是的項。

假設。2a是回}的項,設。2“=圖，則32+6=2加+7,

m=3〃-；,與meN*矛盾。所以，結(jié)論得證。

(3)【分析】

{*}:9,12,15,18,21,24,…

{2}:9,11,13,15,17,19,21,23,25,…

C［—b^C2=b2,C3=〃2，04=打，

因此：C5=〃4，。6=〃5，。7="4，°8=%，…

所以：

C4k~b3k，C4k-l~a2k，C4k-2~^3k-l->04"3=^3k-2?

［解］,.?b3k_2=2(3左-2)+7=6k+3,a2k_y=6k+3,b3k=6女+5,

a2k=6k+6,b3k=6Z+7.

…b3k-2=02k-i<"k-i<a2k<b3k,k=1,2,3,

b3k_2=^2k-i，/~4k—3,

b...,n=4k-2,*

31keN*

所以，a2k,n=4k-1,

b3k,n=4k,

6Z+3,幾=4Z-3,

6左+5,〃=4左一2,

keN

綜上,6%+6,〃=4%-1,

6Z+7,〃=4k,

2011年上海第23題.(本大題滿分18分，第1

小題滿分4分，第二小題滿分6分，第3小題滿分8

分)

已知平面上的線段/及點P,任取/上一點Q,線段PQ長

度的最小值稱為點尸到線段/的距離，記作

(1)求點尸(1,1)到線段/：x—y—3=0(3<%45)的距離

d(PJ)；

(2)