數學經典易錯題會診與高考試題預測4

經典易錯題會診與2012屆高考試題

預測（四）

考點4數列

經典易錯題會診

命題角度1數列的概念

命題角度2等差數列

命題角度3等比數列

命題角度4等差與等比數列的綜合

命題角度5數列與解析幾何、函數、不等式的綜合

命題角度6數列的應用

探究開放題預測

預測角度1數列的概念

預測角度2等差數列與等比數列

預測角度3數列的通項與前n項和

預測角度4遞推數列與不等式的證明

預測角度5有關數列的綜合性問題

預測角度6數列的實際應用

預測角度7數列與圖形

經典易錯題會診

命題角度1數列的概念

,,

1.(典型例題)已知數列｛a,J滿足ai=l,a?=ai+2a2+3a3+-+(n-l)a?-i,(n^2),則｛an｝

的通項a『.

［考場錯解］'/a?=ai+2a2+3a3+,,,+(n-1)an-i,/.an-i=ai+2a2+3a3+,?,+(n-2)an-2,兩式相減

得an-a”i=(nT)a"”，a?=na?i.由此類推：a?i=(n-l)a?2,?-?a2=2ai,由疊乘法可得am史

2

［專家把脈］在求數列的通項公式時向前遞推一項時應考慮n的范圍.當n=l時，a,=l

2

與已知a】二l,矛盾.

［對癥下藥］,.,n-2時,a。=ai+2a2+3a3+…+(nT)ari①當n23時，a-i=ai+2a2+3冬+…

+(n-2)?a"②①-②得a:ani=(n-l)?①一】???當n23時，=n,*.*

an=-^-,?????^-?^-?a2=n?????4?3Xa2=—a2,Va2=ai=l

%%-2a3。22

1(n=1)

???當n22時，a?=—.當n=1時，ai=1故二川(n>2).

22

2.(典型例題)設數列｛a?｝的前n項和為Sn,SF組0(對于所有n2l),且二54,

2

則④的數值是.

［考場錯解］?.?S產強@4=曳匕力，???此數列是等比數列，首項是aI,公比是3,由

21-3

11

a4=a］<3,

ai~2.

［專家把脈］此題不知數列｛aj的類型，并不能套用等比數列的公式.而答案一致是

巧合.

［對癥下藥］(34-1)-^(3乙1)=54,解得a,=2.

22

3.(典型例題)已知數列｛a“｝滿足&=1,4=3%&-1型例2).

⑴求az,a3;

(2)求通項a”的表達式.

2

［考場錯解］⑴：ai=l,.,.a2=3+l=4,a3=3+4=13.(2)由已知2產3明&1,即

a「a”-i—3

即a.成等差數列，公差d=3"T.故a“=l+(n-l)忐二

［專家把脈］(2)問中a「a,i=3"T,3門不是常數，它是一個變量，故不符合等差數列的

定義.

［對癥下藥］⑴?.,ai=l,；.a2=4,a3=32+4=13.

(2)由已知a「a,、-i=3"故a?=(a-a-i)+(a-i-a-2)+,,,+(a2-ai)+ai=3n'+3n2+**,+3+l=———-.

nnnn2

4.(典型例題HD等差數列｛a?｝中,ai+a2+a3=-24,am+af,則此數列前20

項和等于()

A.160B.180C.200D.220

［考場錯解］由通項公式an=ai+(n+l)d.將a2,a3,ai8,a^,a?。都表示成ai和d.求ai、ci,

再利用等差數列求和，選C.

［專家把脈］此方法同樣可求得解.但解法大繁，花費時間多，計算量大故而出錯，應

運用數列的性質求解就簡易得多.

［對癥下藥］B由公式m+n=2P=a.+a產2ap?(只適用等差數列)即可求解.由

ai+a2+a3=—24,可得：3a2=-24由ai8+ai9+azo=78,可得：3al9=78即az=-8,ai9=26又：

S20=20—+"20)=10(a2+aii))=180

2

2.(典型例題)若｛an｝是等差數列，首項&>0,a2oo3+a2oo4>O,a2003?a2ow<O,則使前n

項和S“>0成立的最大自然數n是()

A.4005B.4006C.4007D.4008

［考場錯解］".'a2oo,+a2oo3>O,即2a,+2002d+2003d>0,(ai+2002d)(ai+2003d)〈0,要使

S“〉0.即使na計皿工d>0.這樣很難求出a?d.從而求出最大的自然數n.故而判斷a2003>0,

2

azw.KO,所以前2003項為正，從第2004項起為負，由等差數列的n項和的對稱性使S?>0.故

而取n=4005使S?>0.

［專家把脈］此題運用等差數列前n項的性質及圖象中應注意.a2()03>0,出期<0.且

忽視了這兩項的大小.

［對癥下藥］BVai>0.a2oo3+a2o(M>O,aax?,aaxwVO,且{an}為等差數列:.{aj表示

首項為正數，公差為負數的單調遞減等差數列，且出須是絕對值最小的正數，出⑩,是絕對值

最大的負數(第一個負數)，且大iml>.,.在等差數列{備}中，a2ooj+a2oo4=ai+a.|w)6>O,

S施6=竺如士幽2>0.?.使S?>0成立的最大自然數n是4006.

2

3.(典型例題)設無窮等差數列{&J的前n項和為

(I)若首項&=3,公差d=i,求滿足證=(sM的正整數k；

2

(H)求所有的無窮等差數列{aj；使得對于一切正整數中k都有Sk2=(SM成立.

2

［考場錯解］⑴當ai=3,d=l時，S?=ln+n,由5加(&)2得為以2=已%2+丁，即k=Q

22212yl

或k=4????kWO.故k=4.

(II)由對一切正整數k都有Sk2=(Sk)2成立.即l?ai+上生*d=(kai+處二Da)，即

22

2八

2一二0,

(art?12)k2-adk2(k-1)+—k2(k2-1)--k2(k~1)~=0對一切正整數k恒成立.故，=0,求

24八

d=0

得5=0或Ld=0.??等差數列an={0,0,0,…},或%={L1,1,…}.

［專家把脈］(II)中解法定對一切正整數k都成立.而不是一切實數.故而考慮取k

的特值也均成立.

［對癥下藥］(I)當ai=3,d=l時，Sn=nai+四心“=3〃+生二II」/十幾由Sk2=(Sk)；

22222

得1k"+k2=(_lk2+k)2,即k"%T)=0.又kWO,所以k=4.

22

(II)設數列{④}的公差為d,則在Sk2=(Sk)2中分別取k=l,2,得

si》q=%，⑴

?c2W4x3?x1o

S4=(^).4qx2d=(2%+.(2)

由(1)得apO或ai=l.當ai=0時，代入(2)得d=0或d=6.若ai=0,d=0,則an=0,sn=0,

22

從而Sk2=(Sk)2成立;若ai=0,d=6,則a?=6(n-l),由S3=18,(S3)=324,$9=216知SgW(S3),故

所得數列不符合題意.當a.=l時，代入(2)得4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若apl,d=0,則

22

an=l,Sn=n,從而Sk2=(SM成立；若ai=l,d=2,則an=2n-l,Sn=l+3+…+(2n-l)=n,從而Sk2=(Sk)

成立.綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列:①{aj：&50,即0,0,0,-?-；?{a?}:a?=l,

即1,1,1,???；③｛aj:a?=2nT,即1,3,5,….

4.(典型例題)已知數列⑸｝的各項都是正數,且滿足:%=1,a,”」a“?(4-a?),neN.

2

⑴證明an<an+i<2,nGN.

(2)求數列｛a：J的通項公式

［考場錯解］用數學歸納法證明：(1)1°當n=l時，a=l,a)=-ao(4-a)/.a<

02020

ai<2,命題正確.

2°假設n二k時有ak-i<ak<2.則n=k+1時，

ak-ai=—a-i(4-a-i)-—a(4-a)-2(ak-i-a)--(ak-i-a)(a-i+a)二—(ak-i-ak)(4-ak-i-aj.

k+2k2kkk2kk2kk

而ak-i-a<0.4-aki-ak>0,VO.又ak-i=-ak(4-ak)=—[4-(a-2)2]<2./.n=k+l

k22k

時命題正確.由1°、2°知，對一切n￡N時有an〈aeV2.

⑵ai=—a(4-a)=—(a_2)2+4].2(a>i-2)=-(a-2)2.*.an+i-2=—⑸一2)“令bn=a_2,

n+2nn2nnn2n

2

吐_d嚴…研.嫡又?.?bf-2AL.??b尸己產"I.即a-2-(l)^-\

2222

［專家把脈］在(II)問中求b”的通項時，運用疊代法?最后到bo而不是b|.

［對癥下藥］(I)同上,方法二:用數學歸納法證明：1°當n=l時，a=l,a產工小(4-助):3,

22

.-.0<ao<ai<2;2°假設n=k時有a-VakV2成立,令f(x)=k(4-x),f(x)在［0,2］

2

上單調遞增，所以由假設有：f(ak-i)<f(ak)Vf⑵，即「ak-i(4一aQ<-ak(4a)

22

,X2(4-2),也即當x=k+l時ak<ak+i<2成立，所以對一切n《N,有ak<ak+i<2

2

⑵下面來求數列的通項：a+1=~^)(4-&)=~！~［-(￡1?-2)'+4］,所以2(arri_2)=-(&廠2)"令

22

b“=a/2,則b.=’我=」(」嬉21=」?(l)2fc?-i.-=-(1)“—b。又b.=-l,所

222222

以bn=-(l)2nH,即a?=2+b?=2-(l)2n-

22

專家會診

1.要善于運用等差數列的性質：“若m+n=p+q,則須+為=生+加”；等差數列前n項和符合二

次函數特征.借助二次函數性質進

行數形結合法解等差數列問題.

2.會運用一般與特殊的邏輯思維,利用滿足條件的特值求相關參數的值,學會分析問題

和解決問題.

考場思維訓練

1在等差數列｛aj中，若a.i+a6+a8+aio+ai2=12O,貝!Jag-la”的值為()

3

A.14B.15C.16D.17

答案：C分析：略。

2等差數列區(qū)｝中，若其前n項的和S產?，前m項的和(mWn,m,n￡N"),則()

nm

A.Sm+n>4B.Sm+nV

C.Sm+n=4D.-4Vsm,<-2

答案：B分析：略。

3數列｛a｝是公差dHO的等差數列，其前n項和為出,且d。=1,詔=4至.

(I)求｛a｝的通項公式;

答案：由已知a1+9d=l①

因為ag=a6,所以的—4a=0,即(砌—々15)(碘+〃15)=°，

因為dWO,所以a9+ai5=0,即ai+lld=O②

由①②解得。?

22

所以冊=6-5.

(11)求5的最大值；

答案：解an=6-二20,得nW12,

2

所以，數列｛aj前11,12和最大，

,c1112x11/1.s

S”=Si2=12x]?+―--x(--)=33

(1H)將S“表示成關于an的函數.

答案：由

a”=6-巳得N=12-2?,又5,=一.：23〃,所以邑=-(12-%,,)2：23(12-2%)―那時+33

4在數列⑸｝中ai=J,a2=N，且1°&(3出^>“1。8(3為「劣)，是公差為T的等差數列,

318

又

2a2-&,2a32,…,2%-a,…是等比數列，公比為q,|q|VI,這個等比數列的所有項之

和等于L

3

(1)求數列｛a：J的通項公式；

答案：設bn=log2(3an+「an),因為｛答是等差數列,d=-l.b-

=bg2g=T于是％

i=log2(3a2-ai)=log2(3?=—1+(/?—1)(—1)=-n.

BPlog2(3a,rL-a)=-n,所以3&啟一&尸2一“①

設Cn=2an「an,&｝是等比數列，公比為q,IqI<1,5=2@2國=2?

1839

由什[解得q=于是0=沁"T=弓.(；)〃,即

\-q339333

/z

2an+]-an=-|.(^).②

由①,②解得%=嗎)〃-(：)〃]5€N*).

(2)計算“血(ai+a2+—+an).

AZ—>00

答案:lim(ai+a2+...+an)

〃一>8

」11\111

L2222"3323”」

n—>oo

=2.。-；)=1.

5已知數列｛aj是公差dWO的等差數列，其前n項和為Sn.

(1)求證：點R(l,顯)，Pz(2,殳)，…P?(n,網)在同一條直線1.±;

12n

1.答案：因為等差數列｛a｝的公差dWO,所以

c,k(k-\)dSk"

Sk=4例+---，卷k=

SkSj,k-l八

-------(ax+--d)-ai?

當女N2(kw----=------------=-d("是常數)，即即|以是常數(Z=

k-\k-\2

所以P2,P”…，Pn都在過點P](l,a)且斜率為常數?的直線h上.

(2)過點@(l,a)，Q2⑵aj作直線k設L與h的夾角為9,求證：tanOW也

4

答案：直線12的方程為y-a產d(x-),直線12的斜率為d.

"I二__1

tan9=277~~2

\d\+\d\

當且僅當2=i1,即?di=標寸等號成立

\d\

命題角度3等比數列

1.(典型例題HI)數列｛a0｝的前n項和記為S",已知a=1,電產小工%(n=l,2,3…).證明：

n

(I)數列｛2｝是等比數列；

n

(II)Sn+l^Sn.

［考場錯解］(I)已知ai=l,aI1,i=^^-Sn,a2=3Si=3,S2=4a3=—?S2=2X4=8./.

n2

S3=1+3+8=12.

即1=1,邃=2,&=4.故｛2｝是公比為2的等比數列.

123n

(II)由(I)知色包=4?迎■，于是S?“=4(n+1)?區(qū)」,=4a”.又a?=3.S2=ai+a2=4,因此對于任

H+1n-\n-\

意正整數n》l,都有S?H=4a?.

［專家把脈］(I)中利用有限項判斷數列類型是運用不完全歸納法，應給予證明.(II)中

運用前推一項必須使n22.

［對癥下藥］(I),.,a?H=S?H-Sn,a“r=3S”(n+2)S“=n(S"「S“)，整理得nS*2(n+l)=S”,

n

所以近=22故｛2｝是以2為公比的等比數列.

〃+1nn

(II)由(I)知務旦=4?&±,(n2).于是S?.i=4(n+1)?顯,=4a”(nN2).又出=3S1=3,故

〃+1n-\n-\

Si=ai+a2=4.因此對于任意整數n21,都有Sn4i=4an.

2.(典型例題)已知數列｛a?｝的前n項和為S?,S?=1(a?-l)(n￡N*).

(I)求ai,&2；

(II)求證數列｛aj是等比數列.

［考場錯解］(I)SF-L(ai-l),Wa產-LS2/(2-1),即a.+^l3-1),得a2=i.

32334

(II)a"=S?-S*-(a?-l)-i(a?-,-l)，得'=」，所以｛a?｝是首項為-L,公比為」的等比

33*222

數列.

［專家把脈］在利用a?=S?ST公式時,應考慮n?2時才能成立.

［對癥下藥］(I)由SFI(ai-l),得apl(a.-l),AaF--!-.又S2=i(a2-l),即

3323

ai+a2="(22-1),得a2二L.

34

(n)當n>1時,an=SnSe=i(an-D-l(a.「l),得4=-1，所以⑸｝是首項為-L公比

33an_y22

為-■!■的等比數列.

2

3.(典型例題)等比數列的四個數之和為16,中間兩個數之和為5,則該數列的公比q的取

值為()

A.工或4

4

B.一或湎3

48

C.4或-叁5何

8

D.4或，或5歷3或生5叵

488

八16…⑴，?

［考場錯解］設這四個數為2：,aq,aq3.由題意得“由①得a=±L代入②

/q—+^=5---(2),2

Q

得q二士;或qJ±2.qJ；或q、4,故所求的

公比為L或4.故應選A.

4

［專家把脈］上述解答設等比數列的公比為小是不合理的.這相當于增加了四個數同

號這個條件,而題設中的四個數不一定同號.因此,產生了漏解現象.

［對癥下藥］設這四個數為a,aq,aq2,aq\則f=母解之得《=4或;或獨舞

aq+aq1=5,48

或-史國.因此，應選D.

8

4.(典型例題)設數列｛a?｝的首項a,=a關工，且

4

展"為偶數I

an+L?,記%=〃2〃一1一了，"=1,2,3,…

%+—〃為奇數

I4

(I)求a2,a3;

(II)判斷數列｛b“｝是否為等比數列,并證明你的結論；

(III)求"血(bi+b2+b3+"，+bn).

?->oo

［考場錯解］(I)a2=ai+-=a+-,a3=-a2=-a-;

44228

a1

(II)bn+I=a2n,-1皿=_2〃2=

4b〃明一%一24

b](1-----)a—

(III)求.(bi+b2+b3+“?+b.)=，im——=T=

〃-00[1]]3433

444

[專家把脈]在求證b0是等比數列是時，淮式子中，an中n為偶數時，如是

。2”-2冊2

連續(xù)兩項，并不能得出皿='.

為4

[對癥下藥](I)a2=ai+-!-=a+l,a3=-a2=-a+i;

44228

(II)*.*a產為+"!■=_La+3，所以as='讓J_a+a■,所以

4282416

b國十a4b國十國十*?猜想:｛bj是公比碧的等比數列.

證明如下：因為L尸a20“-1=La2n-L=，區(qū)”「■!■）=■!?*（nCN*）所以｛bj是首項為a-1,

4242424

公比為L的等比數列.

2

....優(yōu)(1-),[

(III)求m(bi+bz+bs+…+b)=im--------—=-^-=2(?--).

〃—>87Z—>001__4

~2~2

專家會診

1.證明等比數列時應運用定義證理為非0常數,而不能4（此時n22）.

%%-

2.等比數列中q可以取負值.不能設公比為q2.

3.會運用等比數列性質，“若m+n=p+k,則aln?an=aP?aj'.

考場思維訓練

1試在無窮等比數列1,上，，…中找出一個無窮等比的子數列（由原數列中部分項按

248

原來次序排列的數列），使它所有項的和為1

4

,則此子數列的通項公式為.

答案：an=（＞"；分析：略。

2已知等比數列｛an｝的首項為8,S0是其前n項的和,某同學經計算得S2-20,S3=36,S,=65,

后來該同學發(fā)現了其中一個數算錯了，則該數為（）

A.S.B.S2C.S3D.S4

答案：C分析：略。

3已知數列｛aj的首項為a?公比為q（q#T）,用Sg,”表示這個數列的第n項到第m項

共m-n+1項的和.（I）計算S?3，S4f637f9，并證明它們仍成等比數列；

答案：Si=ai(l+q+q2),S，i6二aiq3(l+q+q“)，

S7-9=aiq

(l+q+q2),因為2=當也=/所以STS4T6S7T9成等比數列

§4->6S13

(H)受上面(I)的啟發(fā)，你能發(fā)現更一般的規(guī)律嗎?寫出你發(fā)現的一般規(guī)律,并證明.

答案：一般地

SpTp+mSr_>r+nl(2P=r+〃旦加利―均為整數)也成等比數列%-=a?""。+4+才+…/"^Sp-p+m=。同'"(I+q+q2

cS

S-r+m=(1+g+/+…+嚴,仔3L=產出=qP-"Qp=r+4所以5,一“+“跖,+,￡?+,“成等比數列

p—>p+m

4已知數列｛aj中，ai=3,an+i=Lan+(L)""(n￡N*),數列｛bj對任何11￡“都有匕刊-1--an.

6322

(1)求證｛b“｝為等比數列；

答案：bn+l=為+2-：即+]=：冊+[+(；)〃+?

若bn=O,則a,>+戶;a“=ga“+（；）""

二a”=3?(；)”

q=*不滿足條件故細=L即e｝為等比數列

2bn3

b,=a2-gq=gq+(；)2.；q=3

?,也=g產

(2)求｛bj的通項公式；

(3)設數列瓜｝的前n項和為S“，求.S”.

X->00

答案：①+1-"=%=g嚴

又熱+產"!"〃+§)"+’

Xf8

5已知數列｛aj的首項為a尸2,前n項和為權,且對任意的正整數n,心都是3s「4與

2-2S“T的等差中項(n22).(1)求證:數列區(qū)｝是

2

等比數列，并求通項a?;

答案：當n22時，2a"=3S/4+2-1%_i，即2(%-%-1)=35“-4+2-35,_|得到％=；%_1+2,

又。產2,則有a2=1,而況=星守=’,絲=乙所以數列｛%混公比為■!■的等比數列，得陽

(2)證明-(10gS?+10gSn?2)<10gS?H；

2222

答案：由知=白，得工=4-圭，

44=|

Vn+2=(-^2)(-^-)6-5(^2)+(^Z27)

(S〃+1)2=(4-1T)2=16-4(圭)+^3r

211

-e-S”S〃+2V(S〃+l廠5(log2S〃+Iog2S〃+2)Vlog2S〃+[.」

⑶若片色-1,cn=log2(2)2,T“、R”分別為｛b.｝和｛cj的前n項和.問：是否存在正整數n,使

%即

得Tn>Rn,若存在，請求出所有n的值，若不存在請說明理由.

n+l

答案：bn=2"—1,cn—In,.'.Tn=2—n-2,RH=+n,

當n=l、2、3時，TWR“.當n=4、5時TOR”.

當">6B寸,2"+i=(1+1),,+1=C°1+C]|+C[i+…+C\；+Ch+1>(C°1+C]|+C\i)=/+3〃+4>M+2”+2.

BP2,,+l-n-2>n2+w.T?>R?./.n>4,neN

命題角度4等差與等比數列的綜合

1.(典型例題)已知數列⑸｝的前n項和S?=a[2-(l)"-1]-b[2-(n+l)(I)"-1](n=l,2,???),

22

其中a,b是非零常數，則存在數列｛x.｝、｛y,J使得()

A.an=x?+yn>其中｛x?｝為等差數列，｛y?｝為等比數列

B.a?=x?+y?,其中｛x,,｝和｛yj都為等差數列

C.a..=x,,?y...其中｛x?)為等差數列，｛%｝為等比數列

D.&其中｛xj和｛yj都為等比數列

[考場錯解]???a[2-d)"=x"，

2

b[2-(n-l)己)力=丫”又???xn,y0成等比數列，故選D.

2

[專家把脈]應從數列｛a.｝的前n項和S,,的表達式入手，而不能從形式上主觀判斷.

[對癥下藥]C.a,=Si=3?

,r,n+,22

a?=Sn-S?-1=a[2+(l)]-b[2-(n+l)?(1)]-a[2+(1)"-]+b[2-n(1)"]=(b?-b-a)?仁嚴

22222

???｛(>!■),｝為等比數列,｛b「a-b｝為等差數列.

2

2.(典型例題)已知數列｛a0｝是首項為a且公比q不等于1的等比數列,S“是其前n項和，

4,2a7,3a4成等差數列.

(I)證明12s3,S6)S『Se成等比數列；

(II)求和T0=ai+2aMa?+…+na3n2

[考場錯解](I)由2a力3a,成等差數列.得4a7=ai+3&,4aq6=a+3aq3.從而可求/=-，,

4

或q』.當qJ-L時，裊二配=qJ_L.故12s3,S6,成等比數歹U.當q-l

412s316$616

時，旦=_L,魚二也=q6=l.故12s3,S%S『S6不成等比數列.

12s36$6

[專家把脈]本題條件中已規(guī)定qWL故應將q二1時舍去.

63

[對癥下藥](I)證明：由a?2a%3a“成等差數列.得4a7=a,+3ab即4aq=a+3aq.變形得

(4q3+l)(q-l)=O,所以qJ」或q'l(舍去)由

4

.(T).(】-嚴)

§6―…J+,,S[2-S6_S]2”i-q[.I+Q-I=Q=—得§6_Si2-S6

12s3—qb1216&〃[。一/)1612s3

\-q1一9

所以12s3,S6,S『S6成等比數歹U.

(II)解法：Tn=a1+2a4+3a?+…+na3a-2=a+2aq、'+3aq6+???+naq"""，即

T=a+2?(-—)a+3?(--)2a+***+n?(--)1Ja.①

n444

①X(-，)3a得:一J_T產/@+2?(-—)2a+3?(-—)3a+,,e+n?(-—)"a②

444444

①-②有：

2nHn

—Tn=a+(--)a+(--)a+(--)\+?,,(—-)a-n?(--?-)a=

444444

3.(典型例題)如圖，ZXOBC的三個頂點坐標分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設Pi為

線段BC的中點，P2為線段C0的中點，P3為線段OPi的中點，對于每一個正整數n,Pn+3為線

1,.

段PR”的中點，令Pn的坐標為(X,Yn),an二一yn+yn+l+yn+2.

n2

(I)求a】，a2,a3及a?;

(11)證明加=1-生，11￡田

4

(III)若記bfnfn,n￡N*,證明｛bn｝是等比數列.

［考場錯解］(1):yi=y2=yi=l,y3=；，衿：，可求得ai=a2=a3=2,由此類推可求得an=2

(H)將Lyn+yMy*2同除以2,得外的=川+%+?,.??ye=l—d.

224

(III)bn+i=y4n+8^y4n+4=--(丫心+「山)二--bn./.=-_L.故｛bj是等比數

44bn4

列.

［專家把脈］第(I)問題運用不完全歸納法求出an的通項.理由不充

分,第(III)問中如=-L要考慮bl是否為o.即如■有意義才更完整.

bn4b?

［對癥下藥］(I)因為yi=y2=y4=l,y3=—,y5=—,所以a】=a2=a3=2.又由

24

題意可知y"3=%+5

2

/?3n+l=—yn+l+yn+2+yn+3=一丫田+丫松+^"電二—丫11+丫"1+丫￥2=Hn,；?｛dn｝為常數歹］.l，Hn=@1=2,11

2222

WN*.

(11)將等式1%+%3%.2=2兩邊除以2,得,%+顯上%隹=1,又,??%+產迎士為坦，，

2422

4

(III)Vbn(!=y4n48-y.1n-l=11=-1(y4n44-y4n)=";bn,又丁匕二丫8一丫產一7^0,

???｛匕｝是公比為-！的等比數列.

4

4.(典型例題)在等差數列｛a｝中，公差d#0,a2是&與&的等比中項.已知數列

ai,a3,%,%，…，akn,…成等比數列,求數列｛kJ的通項kn.

［考場錯解］:aFai+g-Dd,a}=a)?a4

2

/.(ai+d)=ai(ai+3d).d=ab/.an=nd.a尸&a3=3d./."二3=q./.ak)-knd.4““=kn+ld.

%=&±L=q=3.{kJ是公比為3的等比數列..?.口=1?3"T=3'

%k〃

［專家把脈］錯因在把k.當作數列a}的首項.kFl.而實際上L二9.

J

［對癥下藥］依題設得an=ai+(n-l)d,工(a1+d)、ai(ai+3d),整理得d=aid,Vd^

0,/.d=ai,Wa產nd,所以，由已知得。3d,kdkzd,…kd…是等比數列.由d#0,所以數列

1,3,k,.kz,…k“，…也是等比數列,首項為1,公比為q=；=3,由此得k,=9.等比數列｛kJ的首

項ki=9,公比q=3,所以kn=9Xq"T=3n"(n=l,2,3,…)，即得到數列｛k,J的通項k?=3nH.

專家會診

1.賦值法在解等差、等比數列問題中是常用方法.從而求出系數的值及從中找出規(guī)律.

2.等比數列中應注意考慮公比等于1的特殊情況,等比數列中的公差為0的特殊情況在

解題時往往被忽視.

3在等差數列與等比數列中，經常要根據條件列方程(組)求解.要注意常兩種情形的不

同之處.

考場思維訓練

1已知數列｛a“｝滿足3a?ti+a?=4(n^l),且ai=9,其前n項之和為S“，則滿足不等式IS「n-61

〈上的最小整數n是()

A.5B.6C.7D.8

答案：C

設

/,-1

3(知+|+2)=-(a,,+㈤，則/=-1,.-.3(??+1-1)=-(??-1)1),.-.{%-1因以8為首項,-g為公比的等比數列an=8(-1)+1,S?=61-

可化為3”>750,最小整數n是7.

2已知等差數列{aj的首項為a,公差為b;等比數列{bj的首項為b,公比為a,其中a,bGN；

且aiVbiVa2Vb2Va3.

(I)求a的值；

答案：

a<a+b<ab<a+2b,a,bGN+,

b1

(,,a>-----,a>1t4-------)(.

\a+b<ab,/_iA□_i?>1,一人“二”人，〃

?.《\7</.</.a=2或〃=3(〃=3時不合題息舍去).故〃=2.

(II)若對于任意n￡N：總存在使an+3=bn,求b的值;

答案：=2+(,〃—1)。4=〃?2"一\由%,+3=%可得5+(租—昉="2〃T,

即b(2n-1-m+l)=5,.,.b=5.

(Ill)在(H)中，記｛c?｝是所有｛a?｝中滿足am+3=b,mdN*的項從小到大依次組成的數列，

又記S”為｛c?｝的前n項和,S?>T?(neN+).

答案:由⑵知an=5n-3,b?=52"T,

a,?=b?-3=5?2"T_3,C?=5-2"-1-3,

S?=5(2"-1)-3n,7；,=^n(5n-1).

?.?Sl=7]=2,S2=7i=9.當

Sn~Tn=5[2n~^n2--^n-1]

=5[(l+l)rt--712--n-l]

22

=5[1+C',+C?+C：+…卜5/-yn-1]

…n(n-l)121-八

>5[1+〃+----------IV---77-1]=0.

222

Sn>及.綜合以上，便得S“>Tn(nGN+).

3設函數f(x)=ax、bx+c的圖像是以(2,0)為頂點且過點(1,1)的拋物線；數列｛a,,｝

是以d為公差的等差數列，且a產f(d-l),

a3=f(d+l);數列｛bj是以q(q>0)為公比的等比數列，且b,=f(l-l),b3=f(1+1).求數列

qq

｛aj｛bj的通項公式;

答案:解設f(x)=a(x-2)，?.?