2022-2023學(xué)年上海師范大學(xué)附屬西岑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年上海師范大學(xué)附屬西岑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)的虛部是 A．i B．1

C．－i

D．－1參考答案：B2.在下列命題中,①“”是“”的充要條件;②的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為;③設(shè)隨機(jī)變量~,若,則.其中所有正確命題的序號是 （）A．②

B．②③

C．③ D．①③參考答案：A略3.已知，，且，則向量在方向上的投影為（

）A. B. C. D.參考答案：D【詳解】解：由得，，，向量在方向上的投影為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的定義，運(yùn)算及投影的概念，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知的值為

（

）A．

B．

C．—

D．參考答案：A略5.已知全集.集合，，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略6.設(shè)集合則A.

B.C.

D.參考答案：B略7.設(shè)a=log0.32，b=log32，c=20.3，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是(

)A．b＞c＞a B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞b＞a參考答案：D【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a=log0.32＜0，0＜b=log32＜1，c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8.已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】立體幾何．【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)棱長分別為6，6，3，砍去一個(gè)三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個(gè)三棱錐（長方體的一個(gè)角）．據(jù)此即可得出體積．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)棱長分別為6，6，3，砍去一個(gè)三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個(gè)三棱錐（長方體的一個(gè)角）．∴該幾何體的體積V=6×6×3﹣=100．故選B．【點(diǎn)評】由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵．9.已知f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對?x∈R，f（x）＞f′（x），則有（）A．e2015f（﹣2015）＜f（0），f（2015）＞e2015f（0）B．e2015f（﹣2015）＜f（0），f（2015）＜e2015f（0）C．e2015f（﹣2015）＞f（0），f（2015）＞e2015f（0）D．e2015f（﹣2015）＞f（0），f（2015）＜e2015f（0）參考答案：D考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析： 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)g（x）=e﹣xf（x），判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=e﹣xf（x），則g′（x）=[e﹣xf（x）]′=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）=e﹣x[﹣f（x）+f′（x）]＜0則g（x）單調(diào)遞減，則g（﹣2015）＞g（0），即e2015f（﹣2015）＞f（0），g（2015）＜g（0），即e﹣2015f（2015）＜f（0），即f（2015）＜e2015f（0）故選：D．點(diǎn)評： 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=e﹣xf（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A．2 B．4 C．6 D．12參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語句，一旦不滿足條件就退出循環(huán)，從而到結(jié)論．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得k=0，s=0滿足條件k＜3，執(zhí)行循環(huán)體，s=0，k=1滿足條件k＜3，執(zhí)行循環(huán)體，s=2，k=2滿足條件k＜3，執(zhí)行循環(huán)體，s=6，k=3不滿足條件k＜3，退出循環(huán)，輸出s的值為6．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則P—DCE三棱錐的外接球的體積為

。參考答案：12.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知二面角A1-BD-A的大小為,若空間一條直線l與直線CC1所成的角為,則直線l與平面A1BD所成的角的取值范圍是.

參考答案：] 本題主要考查直線與平面所成的角、二面角等,考查考生的空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力. 如圖所示,過點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O,連接A1O,易知A1A⊥平面ABCD,所以A1O⊥BD,則∠A1OA是二面角A1-BD-A的平面角,所以∠A1OA=.將直線l平移到AM,使得∠A1AM=∠MAO=.過點(diǎn)A作AP⊥平面A1BD于點(diǎn)P,所以AM(即直線l)與平面A1BD所成的最大角為∠AMA1=∠MAO+∠MOA=+.設(shè)∠A1AN=,AN與直線OP交于點(diǎn)N,則AN(即直線l)與平面A1BD所成的最小角為∠ANP=∠PA1A-∠A1AN=.則直線l與平面A1BD所成的角的取值范圍是[]. 13.在中，三內(nèi)角滿足，則角的取值范圍為___________.參考答案：略14.已知函數(shù)f（x）=，若f（a）＞f（2﹣a），則a的取值范圍是

．參考答案：a＞1【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】函數(shù)f（x）=在R上單調(diào)遞增，利用f（a）＞f（2﹣a），可得a＞2﹣a，即可求出a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=在R上單調(diào)遞增，∵f（a）＞f（2﹣a），∴a＞2﹣a，∴a＞1，故答案為a＞1【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，屬于中檔題．15.已知為的三個(gè)內(nèi)角的對邊，向量，．若，且，則角

．參考答案：因?yàn)?，所以，即，所以，所?又，所以根據(jù)正弦定理得，即，所以，即，所以，所以.16.平面向量與的夾角為，，，則

.參考答案：【測量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)圖形與幾何的基本知識.【知識內(nèi)容】圖形與幾何/平面向量的坐標(biāo)表示/向量的度量計(jì)算.【試題分析】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，與的夾角為60°，所以.因?yàn)椋?，故答案?17.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足﹣iz=（3+2i）（1﹣i）（其中i為虛數(shù)單位），則z=．參考答案：1+5i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足﹣iz=（3+2i）（1﹣i）（其中i為虛數(shù)單位），∴﹣iz=5﹣i，∴∴﹣i?iz=（5﹣i）i，化為z=5i+1．故答案為：1+5i．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，相距200海里的A、B兩地分別有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出發(fā)，B船因港口原因需2小時(shí)后才能出發(fā)，兩船的航速都是30海里/小時(shí)．在同時(shí)收到求救信息后，A船早于B船到達(dá)的區(qū)域稱為A區(qū)，否則稱為B區(qū)．若在A地北偏東方向，距A地海里處的點(diǎn)有一艘遇險(xiǎn)船正以10海里/小時(shí)的速度向正北方向漂移．⑴求A區(qū)與B區(qū)邊界線（即A、B兩船能同時(shí)到達(dá)的點(diǎn)的軌跡）方程；⑵問：①應(yīng)派哪艘船前往救援？②救援船最快需多長時(shí)間才能與遇險(xiǎn)船相遇？（精確到小時(shí)）參考答案：解：⑴設(shè)點(diǎn)為邊界線上的點(diǎn)，由題意知，即，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之差為常數(shù)，∴點(diǎn)的軌跡是雙曲線中的一支。

……3分由得，∴方程為（）

…6分⑵①點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，，∴點(diǎn)在A區(qū)，又遇險(xiǎn)船向正北方向漂移，，即遇險(xiǎn)船始終在A區(qū)內(nèi)，∴應(yīng)派A船前往救援 …8分

②設(shè)經(jīng)小時(shí)后，A救援船在點(diǎn)處與遇險(xiǎn)船相遇。在中，，

…9分∴整理得，解得或（舍）

…13分∴A救援船需小時(shí)后才能與遇險(xiǎn)船相遇．

…14分

略19.（12分）（2013秋?威海期中）求值化簡：（Ⅰ）（×）6+（）+lg500﹣lg0.5（Ⅱ）．參考答案：【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．

【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】（Ⅰ）原式前兩項(xiàng)利用有理數(shù)指數(shù)冪變形，再利用積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，后兩項(xiàng)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算，即可得到結(jié)果；（Ⅱ）原式利用誘導(dǎo)公式化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）原式=4×27+2+3=113；（Ⅱ）原式===﹣sinα．【點(diǎn)評】此題考查了誘導(dǎo)公式的化簡求值，有理數(shù)的指數(shù)冪的化簡求值，以及對數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20.（本題14分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值（2）求函數(shù)的極值（3）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值。參考答案：（3）列表單調(diào)遞減單調(diào)遞增21.已知函數(shù)，（1）函數(shù)，其中k為實(shí)數(shù)，①求F'（0）的值；②對?x∈（0，1），有F（x）＞0，求k的最大值；（2）若（a為正實(shí)數(shù)），試求函數(shù)f（x）與g（x）在其公共點(diǎn)處是否存在公切線，若存在，求出符合條件的a的個(gè)數(shù)，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，減少F′（0）的值即可；②記h（x）=F'（x），求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定k的最大值即可；（2）聯(lián)立方程組，得到G（a）=8lna﹣8ln2﹣a2+8，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：（1）由得，①F'（0）=2﹣k﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②記h（x）=F'（x），則，記m（x）=h'（x），則，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，（i）當(dāng)k≤2時(shí)，m'（x）＞2﹣k≥0，x∈（0，1），即m（x）在（0，1）上是增函數(shù)，又m（0）=0，則h'（x）＞0，x∈（0，1），即h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，又F'（0）=2﹣k≥0，則F'（x）＞0，x∈（0，1）即F（x）在（0，1）上是增函數(shù)，故F（x）＞F（0）=0，x∈（0，1）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ii）當(dāng)k＞2時(shí)，則存在x0∈（0，1），使得m'（x）在（0，x0）小于0，即m（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，則h'（x）＜0，x∈（0，x0），即h（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，又F'（0）=2﹣k＜0，則F'（x）＜0，x∈（0，x0），又F'（0）=2﹣k＜0，即F（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，故F（x）＜F（0）=0，x∈（0，x0），矛盾！故k的最大值為2；…（2）設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）在其公共點(diǎn)x=x1處存在公切線，則，由②得，即代入①得8lna﹣8