自動(dòng)控制原理-于希寧-課后習(xí)題答案

第二部分古典控制理論基礎(chǔ)習(xí)題詳解

一概述

2-1-1試比較開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)缺點(diǎn)。

【解】:

控制系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

開環(huán)控制簡(jiǎn)單、造價(jià)低、調(diào)節(jié)速度快調(diào)節(jié)精度差、無(wú)抗多因素干擾能力

閉環(huán)控制抗多因素干擾能力強(qiáng)、調(diào)節(jié)精度高結(jié)構(gòu)較復(fù)雜、造價(jià)較高

2-1-2試列舉幾個(gè)日常生活中的開環(huán)和閉環(huán)控制系統(tǒng)的例子，并說明其工作原

理。

【解】：

開環(huán)控制——半自動(dòng)、全自動(dòng)洗衣機(jī)的洗衣過程。

工作原理：被控制量為衣服的干凈度。洗衣人先觀察衣服的臟污程度，根據(jù)自

己的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)定洗滌、漂洗時(shí)間，洗衣機(jī)按照設(shè)定程序完成洗滌漂洗任務(wù)。系統(tǒng)輸

出量（即衣服的干凈度）的信息沒有通過任何裝置反饋到輸入端，對(duì)系統(tǒng)的控制不

起作用，因此為開環(huán)控制。

閉環(huán)控制一一衛(wèi)生間蓄水箱的蓄水量控制系統(tǒng)和空調(diào)、冰箱的溫度控制系統(tǒng)。

工作原理：以衛(wèi)生間蓄水箱蓄水量控制為例，系統(tǒng)的被控制量（輸出量）為蓄

水箱水位（反應(yīng)蓄水量）。水位由浮子測(cè)量，并通過杠桿作用于供水閥門（即反饋至

輸入端），控制供水量，形成閉環(huán)控制。當(dāng)水位達(dá)到蓄水量上限高度時(shí)，閥門全關(guān)（按

要求事先設(shè)計(jì)好杠桿比例），系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。一旦用水，水位降低，浮子隨之下

沉，通過杠桿打開供水閥門，下沉越深，閥門開度越大，供水量越大，直到水位升

至蓄水量上限高度，閥門全關(guān)，系統(tǒng)再次處于平衡狀態(tài)。

2-1-3試判斷下列微分方程所描述的系統(tǒng)屬何種類型（線性、非線性；定常、

時(shí)變）。

（1）j+3皿+2c（，）=5如+?）；⑵+2c（，）=如+2?）；

dtdtdtdtdt

（3）粵+2皿+2c2?）=r⑺；（4）5如+cQ）=3蛆+2r（/）+3ir^dt。

dt2dtdtdtJ

【解】:

（1）線性定常系統(tǒng)；（2）線性時(shí)變系統(tǒng)；（3）非線性定常系統(tǒng)；（4）線性定常系統(tǒng)。

2-1-4根據(jù)題2-1-1圖所示

的電動(dòng)機(jī)速度控制系統(tǒng)工作原理

題2-1-3圖

圖:

(1)將a,b與c,4用線連接成負(fù)反饋系統(tǒng);

(2)畫出系統(tǒng)方框圖。

【解】：

(1)a-d連接，b-c連接。

(2)系統(tǒng)方框圖

題2-1-4解圖

2-1-5卜圖是水位控制系統(tǒng)的示意圖，圖中。1,。2分別為進(jìn)水流量和出水流量。

控制的目的是保持水位為一定的

高度。試說明該系統(tǒng)的工作原理

并畫出其方框圖。

【解】:當(dāng)輸入流量與輸出流

量相等時(shí)，水位的測(cè)量值和給定

值相等，系統(tǒng)處于相對(duì)平衡狀態(tài)，

電動(dòng)機(jī)無(wú)輸出，閥門位置不變。

當(dāng)輸出流量增加時(shí)，系統(tǒng)水位下

降，通過浮子檢測(cè)后帶動(dòng)電位器

抽頭移動(dòng)，電動(dòng)機(jī)獲得一個(gè)正電壓，通過齒輪減速器傳遞，使閥門打開，從而增加

入水流量使水位上升，當(dāng)水位回到給定值時(shí)，電動(dòng)機(jī)的輸入電壓又會(huì)回到零，系統(tǒng)

重新達(dá)到平衡狀態(tài)。反之易然。

題2-1-5解圖

2-1-6倉(cāng)庫(kù)大門自動(dòng)控制系統(tǒng)如圖所示，試分析系統(tǒng)的工作原理，繪制系統(tǒng)的

方框圖，指出各實(shí)際元件的功能及輸入、輸出量。

【解】:

當(dāng)給定電位器和測(cè)量電位器輸出相等時(shí)，放大器無(wú)輸出，門的位置不變。假設(shè)

門的原始平衡位置在關(guān)狀態(tài)，門要打開時(shí)、“關(guān)門”開關(guān)打開，“開門”開關(guān)閉合。

給定電位器與測(cè)量電位器輸出不相等，其電信號(hào)經(jīng)放大器比較放大，再經(jīng)伺服電機(jī)

和絞盤帶動(dòng)門改變位置，直到門完全打開，其測(cè)量電位器輸出與給定電位器輸出相

等，放大器無(wú)輸出，門的位置停止改變，系統(tǒng)處于新的平衡狀態(tài)。系統(tǒng)方框圖如解

圖所示。

題2-1-6解圖

元件功能

電位器組一一將給定“開”、“關(guān)”信號(hào)和門的位置信號(hào)變成電信號(hào)。為給定、

測(cè)量元件。

放大器、伺服電機(jī)一一將給定信號(hào)和測(cè)量信號(hào)進(jìn)行比較、放大。為比較、放大

元件。

絞盤一一改變門的位置。為執(zhí)行元件。

門一一被控對(duì)象。

系統(tǒng)的輸入量為“開”、“關(guān)”信號(hào)；輸出量為門的位置。

二控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2-2-1試建立下圖所示各系統(tǒng)的微分方程并說明這些微分方程之間有什么特

點(diǎn)，其中電壓"http://）和位移與（。為輸入量；電壓”式。和位移與。）為輸出量；和心為

彈簧彈性系數(shù)；/為阻尼系數(shù)。

題2-1-1圖

【解工(a)

方法?：設(shè)回路電流為i,根據(jù)克?；舴蚨?，可寫出下列方程組:

Ur=亍Ji4+“c

tic=Ri

削去中間變量，整理得:

ncdur

=RC--

dt

方法二:

U,(s)RRCs

=>RCu+〃c=RCu

RCs+1cr

U,(s)R+—

Cs

(b)由于無(wú)質(zhì)量，各受力點(diǎn)任何時(shí)刻均滿足￡F=O,則有:

f.f.

f(xr-xc)=kxc==7巧

⑹=R2CS+1

==(/?]+R)CU+U=RCii+u

U,(s)_1-向+/?2)Cs+l2CC2rr

+

K\十K27T

(d)設(shè)阻尼器輸入位移為X.,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可寫出該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

卜(…)=七(…)=』尼+—…

[k2(xc-xa)=fxa32七

結(jié)論：(a)、3)互為相似系統(tǒng)，(c)、(d)互為相似系統(tǒng)。四個(gè)系統(tǒng)均為一階系統(tǒng)。

2-2-2試求題2-2-2圖所示各電路的傳遞函數(shù)。

((-)W)

題2-2-2圖

【解】：可利用復(fù)阻抗的概念及其分壓定理直接求傳遞函數(shù)。

(a)9

&//-------2

仆、4G)〔GsN&CGs+(2G+R2c2)s+l

(b)=1----------------------=--------------------------------------

U$)⑻〃，)+&+，R島CCS2+(RC+R2c2+R(2)S+1

C]5C2s

U,(s)*(&+，’)___________"+"___________

2

"「(s)+J_〃(總+Ls)&LCs+(&R2c+L)s+R1+&

1(R+；)//K

U’G)Cs+--------------------------------xR

(d)2

UrG)(7?+-)///?+-^(/?+-L)///?+—R+，

C]SC2sC]SC,sC]$

22

_RC]C2S+2RC}S+\

22

RCtC2s+(2RCf+RC2)S+1

2-2-3工業(yè)上常用孔板和差壓變送器測(cè)量流體的流量。通過孔板的流量。與孔

板前后的差壓p的平方根成正比，即。=左而，式中改為常數(shù)，設(shè)系統(tǒng)在流量值。。附

近作微小變化，試將流量方程線性化。

【解】：取靜態(tài)工作點(diǎn)(Po，。。)，將函數(shù)在靜態(tài)工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，并

近似取前兩項(xiàng)

2=。。+。')〃(P-尸0)=。0+；/(P—尸o)n。一。0=—^=(P-尸0)

'Ho2y)Po

設(shè)工(R為流動(dòng)阻力)，并簡(jiǎn)化增量方程為

R2歷

2-2-4系統(tǒng)的微分方程組為:

X](/)=r(，)-cQ)

4”乎)=k]xi(t)-x2(t)

at

x3(t)=x2(t)-k3c(t)

/T)+CS=%X3⑴

T2

at

式中7],r2崗也，心均為正的常數(shù)，系統(tǒng)的輸入為，")，輸出為c(f),試畫出動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖,

并求出傳遞函數(shù)G(s)="t

R(s)

【解工對(duì)微分方程組進(jìn)行零初始條件下的Laplace變換得:

X](s)=R(s)-C(s)

TlsX2(s)=k[X^s)-X2(s)

X3(s)=X2(s)-k3C(s)

T2sC(s)+C(s)=k2X3(s)

繪制方框圖

題2?2.4圖

傳遞函數(shù)為C(s)__________________________________

2

R(s)T{Txs+(T2+T1+&★2Gs+(%#2+k3k2+1)

2-2-5用運(yùn)算放大器組成的有源電網(wǎng)絡(luò)如題2-2-5圖所示，試采用復(fù)阻抗法寫

出它們的傳遞函數(shù)。

題225

【解】：利用理想運(yùn)算放大器及其復(fù)阻抗的特性求解。

U,(s)UJs)UAs)C,1

(。)=--=一(——T--------FH2G$----------)

勺+/與*

Ur(s)R]。2R]C2s

U,(s)U「(s)U,(S)r/?21

S)

1UJs)R[RCs+l

R//2

2a

2-2-6系統(tǒng)方框圖如題2-2-6圖所示，試簡(jiǎn)化方框圖，并求出它們的傳遞函數(shù)空。

R(s)

-----------------------亙r(jià)

題2-2-6圖

【解】：⑷

⑵

(3)

R($)_________G。2G3+GQ4_________C(s)_

1+G02G3”]+GQ2G3H2+G1G4/72'3

(4)

(b)

⑵

⑶

/?(，)_G】G2G3+GKl+G、H\+GQ/i+G2G3H2)強(qiáng)

l+G2Hl+GlG2Hi+G2GyH2

(4)

(c)

-----------------1H2-G.H,H--------

(3)

K($)_GQ2G3G4C(q

~l+G3G陷+G2G3H3+G]G2G3〃2—GQ2G3G4Hl>

(4)

(d)

⑵

(3)

K(s)____________GQ2G3+GQ4

I+GQ2”]+GQ2G3+G2G3//2+GR+G必

(4)

2-2-7系統(tǒng)方框圖如題2-2-7圖所示，試用梅遜公式求出它們的傳遞函數(shù)也。

R(s)

【解】：(a)

(1)該圖有一個(gè)回路

/=^o_A=I-^2_

1S(S+1)s(s+1)

(2)該圖有三條前向通路

小3—品

所有前向通路均與/]回路相接觸，故A]=與=43=44=1。

(3)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(s”看r(c\111e+41

(b)

(1)為簡(jiǎn)化計(jì)算，先求局部傳遞函數(shù)G'(s)=8。該局部沒有回路，即△=1,

七⑶

有四條前向通路：P^=Gfi2號(hào)%=T/^A3=-6,62^364^A4=G3G4

所以GXS)=G]G2+G3G4-G|G2G3G4-1

(2)

廠/、C(s)G'(s)G]G?+G3G4-G]G2G3G4T

G(5)=-----=---------=-------------------------------

R⑹1+G'(s)GG+G3G4—GQ2G3G4

2-2-8設(shè)線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題

2-2-8圖所示，試

（1）畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖；

（2）求傳遞函數(shù)義包及￡處。

A（s）&⑸

【解工

（1）系統(tǒng)信號(hào)流圖如圖：

(2)

①求傳遞函數(shù)也

O令&（$）=0。

%（s）

有三個(gè)回路：一擊K1_一K

=

2(5+1)(5+2)3―5(5+17)

K

/1和，3互不接觸:1山=

5(5+1)(5+2)

因此A=l+—-----------——+—^—+K

S+2(5+1)(5+2)s(s+l)s(s+l)(s+2)

有三條前向通路：P]=---A)=Id---——P,=-----------△2=1

s+1s(s+1)5(5+1)($+2)

A=1

一一"+1)"+2)3

C(s)_S2+S(1-K)

R1(S)s3+4s2+3s+3K

②求傳遞函數(shù)馬上。令R|(s)=0。

&(§)

=

求解過程同①，△不變。P]=———A,=1H—■—P-,=—^―A21

1$(s+l)1S+225+12

C(s)_K(s2+3s+3)

R式s)$3+4S2+3S+3K

2-2-9系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試求

(1)求傳遞函數(shù)也和△旦：(2)若要求消除干擾對(duì)輸出的影響，求G*s)=?

R(s)N(s)

【解】：(1)根據(jù)梅森增益公式得

k\k2k③

C(s)5(7\+1)

----=-----------k1=k-2-k-3------------

2

R(s)]?k#2k3Ts+s+k1k2k3

s(7\+l)

G(,)hk2k3k3k4

C(s)_cs(Ts+1)Ts+\k?2k3Gc(s)-k3k4s

N(s)*k*2k3Ts?+s+k、k2k3

s(Ts+l)

(2)根據(jù)題意型“=。=>k#2k3G4)-k3k4s=0=>Gc(5)=--

N(s)&&2

2-2-10某復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也。

RG)

題2-2-10圖

【解工根據(jù)梅森增益公式得:

K(?s+1)CT+1ra+1K.1

------1------1-------------------1—~+14—Qo

C(.V)_$3sS.J$_KS+1)+KS+.S-3+S2_1

R(S「[?K(-+l)IK11-K(is+l)+Ks+s3+s2~

53S2s

2-2-11系統(tǒng)微分方程如下：

xl(t)=r(t)-rc(t)+Kin(t)

》2(，)=K()X|(，)

x3(t)=x2(t)-n(t)-x5(t)

Tx4(t)=x3(t)

X5(，)=X4(，)-C?)

GO%

試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)02及8。其中r,n為輸入，c為輸出。Ko，(,T均為常

R(s)N(s)

數(shù)。

【解】：(1)對(duì)微分方程組進(jìn)行零初始條件下的Laplace變換,并加以整理得

X|(s)=R(s)-tsC(s)+KiN(s)

X2(t)=K0X,(s)

X3(S)=X2(S)-N(S)-X5(S)

X4(s)=^X3(s)

X5(s)=X4(s)-C(s)

〃)=與5(,)

(2)畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

題2-2-11解圖

(3)求傳遞函數(shù)也，令N(s)=O

RG)

K。

C(s)Ts(s+1)________Ko________

2

R(s)]?1?1?―看Ts+(2T+Kor+\)s+\

Ts5+1Ts(s+\)

(4)求傳遞函數(shù)8,令R(S)=O

N(s)

(,KK,-1)----------

C(s)0°?’Ts(s+1)K0&-I

2

N(s)[?1?11J-7^+(2T+Aror+l)s+l

Ts.v+17$(s+l)

2-2-12已知系統(tǒng)方框圖如圖所示，試求各典型傳遞函數(shù)

C(s)E(￡)C(S)E(S)

R(s)‘瓦3'N(s)'N(s)'

C(s)E(s)

尸G)'尸(s)°

題2-2-12圖

【解】：(1)求烏空1。令N(s)=0F(i)=0

R(s)RG)

C(s)=G]G2G3

1+G]G2G3+G2G3G6

E(s)=I+G2G3G6

R(s)1+G]G2G3+G2G3G6

⑵求借，器

令R(s)=0F(s)=0

C(s)______G2G3________

N(s)-1+G]G2G3+G2G3G6

E(s)=G2G3

N(s)1+G]G)G3+G)G3G6

(3)求生1,空1。令R(s)=ON(s)=O

F(s)F(s)

C(s)=G]G2G3G5+G3G4

-1+G]G2G3+G2G3G6

E(s)=GQ2G3G5+G3G4

F(s)1+G]G2G3+G2G3G6

三時(shí)域分析法

2-3-2二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。設(shè)系

統(tǒng)為單位負(fù)反饋式。

【解】

5

<r%=e他7x100%=0.2

="0.456

'P=I—77~=01

=>conx35.23

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:題2-3-2圖

2

①〃1246

Gk(s)=

s(s+2匏“)s(s+32.2)

2-2-3已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示

(1)當(dāng)?shù)?0時(shí)，求系統(tǒng)的阻尼比小無(wú)阻尼振蕩頻率以和單位斜坡輸入時(shí)的

穩(wěn)態(tài)誤差;

(2)確定的以使J=0.707,并求此時(shí)當(dāng)輸入為單位斜坡函數(shù)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤

差。

【解】(1)3=0時(shí)

8C(s)

6悶二號(hào)s($+2)

BKic。。腐

=242

*=83，，

="

2"=2旦

4

QA1

GK(S)=------=--------系統(tǒng)為I型K=4=>e=---=0.25

s(s+2)sj+1)v輸

(2)的。0時(shí)

8

4=8(O=2V2=2.83

s(s+2)=8n

Il8kd=e+2(1+4%)]=<2物=2(1+4勒)=’

&=0.707

G+2)

Q71

GKG)=------=----------=v=1,I型系統(tǒng)，Kv=2,=>ess=---=0.5

5(5+4)s(0.25s+l)v"Kv

2-3-8己知閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式如下，試用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性及根的

分布情況。

(1)53+20?+9.V+100=0(2)?+20?+95+200=0

(3)54+2J3+852+45+3=0(4)j5+12i4+44i3+4852+5；r+l=0

【解工(1)勞斯表為

S319

5220100

s'4

s°100

勞斯表第一列符號(hào)沒有改變，且特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于0,因此系統(tǒng)穩(wěn)定，

該系統(tǒng)三個(gè)特征根均位于s的左半平面。

(2)勞斯表為

S319

5220200

?-1

50200

勞斯表第一列符號(hào)改變二次，該系統(tǒng)特征方程二個(gè)根位于右半平面，一個(gè)根位

于左半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)勞斯表為

5324

j263

s'3

s°3

勞斯表第列符號(hào)沒有改變，且特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于0,因此系統(tǒng)穩(wěn)定,

該系統(tǒng)四個(gè)特征根均位于S的左半平面。

(3)勞斯表為

1445

12481

59

40

TI

1861

S21

"40"

s'4.06

s°1

勞斯表第一列符號(hào)沒有改變，且特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于0,因此系統(tǒng)穩(wěn)定,

該系統(tǒng)五個(gè)特征根均位于S的左半平面。

2-3-9已知閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式如下

(1)54+2053+1552+2J+JV=0(2)s3+(K+\)s2+Ks+50=0

試確定參數(shù)K的取值范圍確保閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

【解工(1)根據(jù)特征方程列寫出勞斯表為：

54115

53202

s114.9K

1c20K

S

14.9

s°K

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為

K>0

<20Kn0<K<1.49

2----->0

I14.9

(2)由三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件得

(K>0

4=>K>6.59

[(K+l)K〉50

2-3-10具有速度反饋的電動(dòng)控制系統(tǒng)如題2-3-10圖所示，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的

給的取值范圍。

100C(s)

s(s+5.6)(.9+10)

前o二in囪

【解工系統(tǒng)的特征方程為

100K,S1000

14-=0

s(s+5.6)(s+10)s(s+5.6)(s+10)

53+15.6i2+(100A：,+56)5+1000=0

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是

100K,+56>0

=>K,>0.081。

15.6(1005+56)>1000

2-3-11己知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如

圖所示，分別求該系統(tǒng)的靜態(tài)位置

誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)和加速度

誤差系數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)的輸入分別為(1)

1"),(2)7(/),(3)).1⑺時(shí)，

2

求每種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.

【解工系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

1005K

0.2s+1100^+1t“5K

G*G)“赤.----------------nv=1,KK=---------------

~100格(0.2八"IOOK+i

1H--------S(---------5+1)1

0.2s+11+100&

KK為開環(huán)增益.在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提條件下有

kp=8,k=———,k=0

v110()A：,+Ia"

'=—!—=o

(1)r(t)=1(/)=>

"1+與

1100(+1

(2)r(f)=t-1(f)

工-_5K

(3)r(f)=.]?)=ess=9

2-3-12已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。

(1)確定K和儲(chǔ)滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件；

(2)求當(dāng),4)=”。)和/!?)=0時(shí);系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e“.；

*C->1C即

【解】：(1)系統(tǒng)的特征方程為

,KK,sK(0.02s+l)八32

1+———■——+-------=0=s+25s+K(Kt+0.02)s+K=0

$2(S+25)S2(S+25)

系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)

K>0

f「K>0

\K(K.+0.02)>0=>{

'U,>0.02

25K(K,+0.02)>K1'

(2)方法一

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

K(0.02s+l)

—(0.025+1)

§2($+25)

Kt_____________

GK(S)=~2~~25~=v=l,KK=—,

KKt

14-----------.S'(—S+--------5+1)

s(s+25)KKtKKt

KR為開環(huán)增益。

［型系統(tǒng)，kp=oo,=底=占，ka=0,根據(jù)題意R(s)=《，N(s)=0,

Kts~

?ss="+0=￡

方法二

l+y2

E(s)_________.$2(S+25)_si+25s+KK,)

-32

R(s)-I〕KK”IK(0.02S+1),V+25S+K(K,+0.02)S+K

S2(S+25)S2(J+25)

“l(fā)imsEG)=lim25TK,)—±=K,

sfOSTOS3+25S2+K(K,+0.02)S+K52

(3)方法一

n(r)=1(f)?山G|(s)=0.02s+l得/=0,K'=l,

人|

'"一吧下何）=-lim---

STO1S

方法二

E(s)________S2(S+25)______________________K

32

N(s「i?KK(SIK(0.02s+l)-s+25s+KiK,+O.O2)s+7C

$2(S+25)S2(S+25)

rE(s)

?==hms------N(s)=lims[——-+25S2+K(K,+0.02)S+/1T

sssen八KT/\La

$->ON(S)S->0S5

四根軌跡分析法

2-4-2設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別如卜:

K(s+1)

(2)G(s)=

(s+0.2)(s+0.5)(s+l)s(2s+1)

K(s+2)K

(3)G(s)=(4)G(s)=

(52+2s+5)(s+l)(s+5)(5~+6s+13)

試?yán)L制K由0f+8變化的閉環(huán)根軌跡圖。

【解】：（1）系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-p1=-02-2=-O.5,-p3=-1。

①〃=3,加=0,有三條根軌跡，均趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。

②實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間（-8,-1][-0.5,-0.2]。

③漸近線

-0.2-0.5-1

=-0.57

3

6=出+!/80。=±60。/80。(憶=0,1,2)

④分離點(diǎn)。

方法一由尸(s)Q(s)-P(s)0(s)=O得

3s2+3.4s+0.8=0=j|2=-0.8,—0.33

si=-0.8不在根軌跡上，舍去。分離點(diǎn)為-0.33。

分離點(diǎn)處K值為K=-2也=0.014

PG)S=_O,33

方法二特征方程為：S3+I.7S2+O.8S+O.1+K=O

重合點(diǎn)處特征方程：(s+a)2(s+6)=$3+(2a+b)s2+(2ab+a2)s+a2b=0

令各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等求出重合點(diǎn)坐標(biāo)和重合點(diǎn)處增益取值。

⑤根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)的特征方程為

D(s)=s3+1.752+0.8S+0.1+K=0

方法一令s+jo),得

-5

a7八一(D+0.86?=0CD=±，0.8

一加3—17i+j0&y+0.1+K=0=>\=>

-1.76y2+0.1+K=0K=1.26

方法二將特征方程列勞斯表為

j310.8

521.70.1+K

令一行等于0,得K=1.26°代入s°行，得輔助方程

1.1s2+1.36=0nS],2=土人砥

⑥系統(tǒng)根軌跡如題2-4-2(1)解圖所示。

(2)

①根軌跡方程

。。+1)

2------+1=0

5(5+0.5)

開環(huán)零點(diǎn)一口=一1,開環(huán)極點(diǎn)一2]=0,-p2=-0.5o

②實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間

③分離會(huì)合點(diǎn)

方法一P(s)=s+lQ(s)=52+0.5i

P'(s)Q(s)-P(s)0(s)=On52+0.55-(5+1)(25+0.5)=0

2

=5+25+0.5=0=>si2=-l±V2/2=-0.29,-1.71

-0.29,-1.71均在根軌跡上，-0.29為分離點(diǎn)，-1.71為會(huì)合點(diǎn)。

—="—■)nKd[=0.17Kd2=5.85

2PG)1S…—Si7

方法二系統(tǒng)特征方程：./+0.5(長(zhǎng)+1)5+0.5K=0

重合點(diǎn)處特征方程：(s+a)2=$2+2as+『=0