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文檔簡(jiǎn)介
第二部分古典控制理論基礎(chǔ)習(xí)題詳解
一概述
2-1-1試比較開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)缺點(diǎn)。
【解】:
控制系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)
開環(huán)控制簡(jiǎn)單、造價(jià)低、調(diào)節(jié)速度快調(diào)節(jié)精度差、無(wú)抗多因素干擾能力
閉環(huán)控制抗多因素干擾能力強(qiáng)、調(diào)節(jié)精度高結(jié)構(gòu)較復(fù)雜、造價(jià)較高
2-1-2試列舉幾個(gè)日常生活中的開環(huán)和閉環(huán)控制系統(tǒng)的例子,并說明其工作原
理。
【解】:
開環(huán)控制——半自動(dòng)、全自動(dòng)洗衣機(jī)的洗衣過程。
工作原理:被控制量為衣服的干凈度。洗衣人先觀察衣服的臟污程度,根據(jù)自
己的經(jīng)驗(yàn),設(shè)定洗滌、漂洗時(shí)間,洗衣機(jī)按照設(shè)定程序完成洗滌漂洗任務(wù)。系統(tǒng)輸
出量(即衣服的干凈度)的信息沒有通過任何裝置反饋到輸入端,對(duì)系統(tǒng)的控制不
起作用,因此為開環(huán)控制。
閉環(huán)控制一一衛(wèi)生間蓄水箱的蓄水量控制系統(tǒng)和空調(diào)、冰箱的溫度控制系統(tǒng)。
工作原理:以衛(wèi)生間蓄水箱蓄水量控制為例,系統(tǒng)的被控制量(輸出量)為蓄
水箱水位(反應(yīng)蓄水量)。水位由浮子測(cè)量,并通過杠桿作用于供水閥門(即反饋至
輸入端),控制供水量,形成閉環(huán)控制。當(dāng)水位達(dá)到蓄水量上限高度時(shí),閥門全關(guān)(按
要求事先設(shè)計(jì)好杠桿比例),系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。一旦用水,水位降低,浮子隨之下
沉,通過杠桿打開供水閥門,下沉越深,閥門開度越大,供水量越大,直到水位升
至蓄水量上限高度,閥門全關(guān),系統(tǒng)再次處于平衡狀態(tài)。
2-1-3試判斷下列微分方程所描述的系統(tǒng)屬何種類型(線性、非線性;定常、
時(shí)變)。
(1)j+3皿+2c(,)=5如+?);⑵+2c(,)=如+2?);
dtdtdtdtdt
(3)粵+2皿+2c2?)=r⑺;(4)5如+cQ)=3蛆+2r(/)+3ir^dt。
dt2dtdtdtJ
【解】:
(1)線性定常系統(tǒng);(2)線性時(shí)變系統(tǒng);(3)非線性定常系統(tǒng);(4)線性定常系統(tǒng)。
2-1-4根據(jù)題2-1-1圖所示
的電動(dòng)機(jī)速度控制系統(tǒng)工作原理
題2-1-3圖
圖:
(1)將a,b與c,4用線連接成負(fù)反饋系統(tǒng);
(2)畫出系統(tǒng)方框圖。
【解】:
(1)a-d連接,b-c連接。
(2)系統(tǒng)方框圖
題2-1-4解圖
2-1-5卜圖是水位控制系統(tǒng)的示意圖,圖中。1,。2分別為進(jìn)水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位為一定的
高度。試說明該系統(tǒng)的工作原理
并畫出其方框圖。
【解】:當(dāng)輸入流量與輸出流
量相等時(shí),水位的測(cè)量值和給定
值相等,系統(tǒng)處于相對(duì)平衡狀態(tài),
電動(dòng)機(jī)無(wú)輸出,閥門位置不變。
當(dāng)輸出流量增加時(shí),系統(tǒng)水位下
降,通過浮子檢測(cè)后帶動(dòng)電位器
抽頭移動(dòng),電動(dòng)機(jī)獲得一個(gè)正電壓,通過齒輪減速器傳遞,使閥門打開,從而增加
入水流量使水位上升,當(dāng)水位回到給定值時(shí),電動(dòng)機(jī)的輸入電壓又會(huì)回到零,系統(tǒng)
重新達(dá)到平衡狀態(tài)。反之易然。
題2-1-5解圖
2-1-6倉(cāng)庫(kù)大門自動(dòng)控制系統(tǒng)如圖所示,試分析系統(tǒng)的工作原理,繪制系統(tǒng)的
方框圖,指出各實(shí)際元件的功能及輸入、輸出量。
【解】:
當(dāng)給定電位器和測(cè)量電位器輸出相等時(shí),放大器無(wú)輸出,門的位置不變。假設(shè)
門的原始平衡位置在關(guān)狀態(tài),門要打開時(shí)、“關(guān)門”開關(guān)打開,“開門”開關(guān)閉合。
給定電位器與測(cè)量電位器輸出不相等,其電信號(hào)經(jīng)放大器比較放大,再經(jīng)伺服電機(jī)
和絞盤帶動(dòng)門改變位置,直到門完全打開,其測(cè)量電位器輸出與給定電位器輸出相
等,放大器無(wú)輸出,門的位置停止改變,系統(tǒng)處于新的平衡狀態(tài)。系統(tǒng)方框圖如解
圖所示。
題2-1-6解圖
元件功能
電位器組一一將給定“開”、“關(guān)”信號(hào)和門的位置信號(hào)變成電信號(hào)。為給定、
測(cè)量元件。
放大器、伺服電機(jī)一一將給定信號(hào)和測(cè)量信號(hào)進(jìn)行比較、放大。為比較、放大
元件。
絞盤一一改變門的位置。為執(zhí)行元件。
門一一被控對(duì)象。
系統(tǒng)的輸入量為“開”、“關(guān)”信號(hào);輸出量為門的位置。
二控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
2-2-1試建立下圖所示各系統(tǒng)的微分方程并說明這些微分方程之間有什么特
點(diǎn),其中電壓"http://)和位移與(。為輸入量;電壓”式。和位移與。)為輸出量;和心為
彈簧彈性系數(shù);/為阻尼系數(shù)。
題2-1-1圖
【解工(a)
方法?:設(shè)回路電流為i,根據(jù)克?;舴蚨?,可寫出下列方程組:
Ur=亍Ji4+“c
tic=Ri
削去中間變量,整理得:
ncdur
=RC--
dt
方法二:
U,(s)RRCs
=>RCu+〃c=RCu
RCs+1cr
U,(s)R+—
Cs
(b)由于無(wú)質(zhì)量,各受力點(diǎn)任何時(shí)刻均滿足£F=O,則有:
f.f.
f(xr-xc)=kxc==7巧
⑹=R2CS+1
==(/?]+R)CU+U=RCii+u
U,(s)_1-向+/?2)Cs+l2CC2rr
+
K\十K27T
(d)設(shè)阻尼器輸入位移為X.,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律,可寫出該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程
卜(…)=七(…)=』尼+—…
[k2(xc-xa)=fxa32七
結(jié)論:(a)、3)互為相似系統(tǒng),(c)、(d)互為相似系統(tǒng)。四個(gè)系統(tǒng)均為一階系統(tǒng)。
2-2-2試求題2-2-2圖所示各電路的傳遞函數(shù)。
((-)W)
題2-2-2圖
【解】:可利用復(fù)阻抗的概念及其分壓定理直接求傳遞函數(shù)。
(a)9
&//-------2
仆、4G)〔GsN&CGs+(2G+R2c2)s+l
(b)=1----------------------=--------------------------------------
U$)⑻〃,)+&+,R島CCS2+(RC+R2c2+R(2)S+1
C]5C2s
U,(s)*(&+,’)___________"+"___________
2
"「(s)+J_〃(總+Ls)&LCs+(&R2c+L)s+R1+&
1(R+;)//K
U’G)Cs+--------------------------------xR
(d)2
UrG)(7?+-)///?+-^(/?+-L)///?+—R+,
C]SC2sC]SC,sC]$
22
_RC]C2S+2RC}S+\
22
RCtC2s+(2RCf+RC2)S+1
2-2-3工業(yè)上常用孔板和差壓變送器測(cè)量流體的流量。通過孔板的流量。與孔
板前后的差壓p的平方根成正比,即。=左而,式中改為常數(shù),設(shè)系統(tǒng)在流量值。。附
近作微小變化,試將流量方程線性化。
【解】:取靜態(tài)工作點(diǎn)(Po,。。),將函數(shù)在靜態(tài)工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù),并
近似取前兩項(xiàng)
2=。。+。')〃(P-尸0)=。0+;/(P—尸o)n。一。0=—^=(P-尸0)
'Ho2y)Po
設(shè)工(R為流動(dòng)阻力),并簡(jiǎn)化增量方程為
R2歷
2-2-4系統(tǒng)的微分方程組為:
X](/)=r(,)-cQ)
4”乎)=k]xi(t)-x2(t)
at
x3(t)=x2(t)-k3c(t)
/T)+CS=%X3⑴
T2
at
式中7],r2崗也,心均為正的常數(shù),系統(tǒng)的輸入為,"),輸出為c(f),試畫出動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖,
并求出傳遞函數(shù)G(s)="t
R(s)
【解工對(duì)微分方程組進(jìn)行零初始條件下的Laplace變換得:
X](s)=R(s)-C(s)
TlsX2(s)=k[X^s)-X2(s)
X3(s)=X2(s)-k3C(s)
T2sC(s)+C(s)=k2X3(s)
繪制方框圖
題2?2.4圖
傳遞函數(shù)為C(s)__________________________________
2
R(s)T{Txs+(T2+T1+&★2Gs+(%#2+k3k2+1)
2-2-5用運(yùn)算放大器組成的有源電網(wǎng)絡(luò)如題2-2-5圖所示,試采用復(fù)阻抗法寫
出它們的傳遞函數(shù)。
題225
【解】:利用理想運(yùn)算放大器及其復(fù)阻抗的特性求解。
U,(s)UJs)UAs)C,1
(。)=--=一(——T--------FH2G$----------)
勺+/與*
Ur(s)R]。2R]C2s
U,(s)U「(s)U,(S)r/?21
S)
1UJs)R[RCs+l
R//2
2a
2-2-6系統(tǒng)方框圖如題2-2-6圖所示,試簡(jiǎn)化方框圖,并求出它們的傳遞函數(shù)空。
R(s)
-----------------------亙r(jià)
題2-2-6圖
【解】:⑷
⑵
(3)
R($)_________G。2G3+GQ4_________C(s)_
1+G02G3”]+GQ2G3H2+G1G4/72'3
(4)
(b)
⑵
⑶
/?(,)_G】G2G3+GKl+G、H\+GQ/i+G2G3H2)強(qiáng)
l+G2Hl+GlG2Hi+G2GyH2
(4)
(c)
-----------------1H2-G.H,H--------
(3)
K($)_GQ2G3G4C(q
~l+G3G陷+G2G3H3+G]G2G3〃2—GQ2G3G4Hl>
(4)
(d)
⑵
(3)
K(s)____________GQ2G3+GQ4
I+GQ2”]+GQ2G3+G2G3//2+GR+G必
(4)
2-2-7系統(tǒng)方框圖如題2-2-7圖所示,試用梅遜公式求出它們的傳遞函數(shù)也。
R(s)
【解】:(a)
(1)該圖有一個(gè)回路
/=^o_A=I-^2_
1S(S+1)s(s+1)
(2)該圖有三條前向通路
小3—品
所有前向通路均與/]回路相接觸,故A]=與=43=44=1。
(3)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為
G(s”看r(c\111e+41
(b)
(1)為簡(jiǎn)化計(jì)算,先求局部傳遞函數(shù)G'(s)=8。該局部沒有回路,即△=1,
七⑶
有四條前向通路:P^=Gfi2號(hào)%=T/^A3=-6,62^364^A4=G3G4
所以GXS)=G]G2+G3G4-G|G2G3G4-1
(2)
廠/、C(s)G'(s)G]G?+G3G4-G]G2G3G4T
G(5)=-----=---------=-------------------------------
R⑹1+G'(s)GG+G3G4—GQ2G3G4
2-2-8設(shè)線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題
2-2-8圖所示,試
(1)畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖;
(2)求傳遞函數(shù)義包及£處。
A(s)&⑸
【解工
(1)系統(tǒng)信號(hào)流圖如圖:
(2)
①求傳遞函數(shù)也
O令&($)=0。
%(s)
有三個(gè)回路:一擊K1_一K
=
2(5+1)(5+2)3―5(5+17)
K
/1和,3互不接觸:1山=
5(5+1)(5+2)
因此A=l+—-----------——+—^—+K
S+2(5+1)(5+2)s(s+l)s(s+l)(s+2)
有三條前向通路:P]=---A)=Id---——P,=-----------△2=1
s+1s(s+1)5(5+1)($+2)
A=1
一一"+1)"+2)3
C(s)_S2+S(1-K)
R1(S)s3+4s2+3s+3K
②求傳遞函數(shù)馬上。令R|(s)=0。
&(§)
=
求解過程同①,△不變。P]=———A,=1H—■—P-,=—^―A21
1$(s+l)1S+225+12
C(s)_K(s2+3s+3)
R式s)$3+4S2+3S+3K
2-2-9系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,試求
(1)求傳遞函數(shù)也和△旦:(2)若要求消除干擾對(duì)輸出的影響,求G*s)=?
R(s)N(s)
【解】:(1)根據(jù)梅森增益公式得
k\k2k③
C(s)5(7\+1)
----=-----------k1=k-2-k-3------------
2
R(s)]?k#2k3Ts+s+k1k2k3
s(7\+l)
G(,)hk2k3k3k4
C(s)_cs(Ts+1)Ts+\k?2k3Gc(s)-k3k4s
N(s)*k*2k3Ts?+s+k、k2k3
s(Ts+l)
(2)根據(jù)題意型“=。=>k#2k3G4)-k3k4s=0=>Gc(5)=--
N(s)&&2
2-2-10某復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也。
RG)
題2-2-10圖
【解工根據(jù)梅森增益公式得:
K(?s+1)CT+1ra+1K.1
------1------1-------------------1—~+14—Qo
C(.V)_$3sS.J$_KS+1)+KS+.S-3+S2_1
R(S「[?K(-+l)IK11-K(is+l)+Ks+s3+s2~
53S2s
2-2-11系統(tǒng)微分方程如下:
xl(t)=r(t)-rc(t)+Kin(t)
》2(,)=K()X|(,)
x3(t)=x2(t)-n(t)-x5(t)
Tx4(t)=x3(t)
X5(,)=X4(,)-C?)
GO%
試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)02及8。其中r,n為輸入,c為輸出。Ko,(,T均為常
R(s)N(s)
數(shù)。
【解】:(1)對(duì)微分方程組進(jìn)行零初始條件下的Laplace變換,并加以整理得
X|(s)=R(s)-tsC(s)+KiN(s)
X2(t)=K0X,(s)
X3(S)=X2(S)-N(S)-X5(S)
X4(s)=^X3(s)
X5(s)=X4(s)-C(s)
〃)=與5(,)
(2)畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
題2-2-11解圖
(3)求傳遞函數(shù)也,令N(s)=O
RG)
K。
C(s)Ts(s+1)________Ko________
2
R(s)]?1?1?―看Ts+(2T+Kor+\)s+\
Ts5+1Ts(s+\)
(4)求傳遞函數(shù)8,令R(S)=O
N(s)
(,KK,-1)----------
C(s)0°?’Ts(s+1)K0&-I
2
N(s)[?1?11J-7^+(2T+Aror+l)s+l
Ts.v+17$(s+l)
2-2-12已知系統(tǒng)方框圖如圖所示,試求各典型傳遞函數(shù)
C(s)E(£)C(S)E(S)
R(s)‘瓦3'N(s)'N(s)'
C(s)E(s)
尸G)'尸(s)°
題2-2-12圖
【解】:(1)求烏空1。令N(s)=0F(i)=0
R(s)RG)
C(s)=G]G2G3
1+G]G2G3+G2G3G6
E(s)=I+G2G3G6
R(s)1+G]G2G3+G2G3G6
⑵求借,器
令R(s)=0F(s)=0
C(s)______G2G3________
N(s)-1+G]G2G3+G2G3G6
E(s)=G2G3
N(s)1+G]G)G3+G)G3G6
(3)求生1,空1。令R(s)=ON(s)=O
F(s)F(s)
C(s)=G]G2G3G5+G3G4
-1+G]G2G3+G2G3G6
E(s)=GQ2G3G5+G3G4
F(s)1+G]G2G3+G2G3G6
三時(shí)域分析法
2-3-2二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示,試確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。設(shè)系
統(tǒng)為單位負(fù)反饋式。
【解】
5
<r%=e他7x100%=0.2
="0.456
'P=I—77~=01
=>conx35.23
系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:題2-3-2圖
2
①〃1246
Gk(s)=
s(s+2匏“)s(s+32.2)
2-2-3已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示
(1)當(dāng)?shù)?0時(shí),求系統(tǒng)的阻尼比小無(wú)阻尼振蕩頻率以和單位斜坡輸入時(shí)的
穩(wěn)態(tài)誤差;
(2)確定的以使J=0.707,并求此時(shí)當(dāng)輸入為單位斜坡函數(shù)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤
差。
【解】(1)3=0時(shí)
8C(s)
6悶二號(hào)s($+2)
BKic。。腐
=242
*=83,,
="
2"=2旦
4
QA1
GK(S)=------=--------系統(tǒng)為I型K=4=>e=---=0.25
s(s+2)sj+1)v輸
(2)的。0時(shí)
8
4=8(O=2V2=2.83
s(s+2)=8n
Il8kd=e+2(1+4%)]=<2物=2(1+4勒)=’
&=0.707
G+2)
Q71
GKG)=------=----------=v=1,I型系統(tǒng),Kv=2,=>ess=---=0.5
5(5+4)s(0.25s+l)v"Kv
2-3-8己知閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式如下,試用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性及根的
分布情況。
(1)53+20?+9.V+100=0(2)?+20?+95+200=0
(3)54+2J3+852+45+3=0(4)j5+12i4+44i3+4852+5;r+l=0
【解工(1)勞斯表為
S319
5220100
s'4
s°100
勞斯表第一列符號(hào)沒有改變,且特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于0,因此系統(tǒng)穩(wěn)定,
該系統(tǒng)三個(gè)特征根均位于s的左半平面。
(2)勞斯表為
S319
5220200
?-1
50200
勞斯表第一列符號(hào)改變二次,該系統(tǒng)特征方程二個(gè)根位于右半平面,一個(gè)根位
于左半平面,系統(tǒng)不穩(wěn)定。
(2)勞斯表為
5324
j263
s'3
s°3
勞斯表第列符號(hào)沒有改變,且特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于0,因此系統(tǒng)穩(wěn)定,
該系統(tǒng)四個(gè)特征根均位于S的左半平面。
(3)勞斯表為
1445
12481
59
40
TI
1861
S21
"40"
s'4.06
s°1
勞斯表第一列符號(hào)沒有改變,且特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于0,因此系統(tǒng)穩(wěn)定,
該系統(tǒng)五個(gè)特征根均位于S的左半平面。
2-3-9已知閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式如下
(1)54+2053+1552+2J+JV=0(2)s3+(K+\)s2+Ks+50=0
試確定參數(shù)K的取值范圍確保閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。
【解工(1)根據(jù)特征方程列寫出勞斯表為:
54115
53202
s114.9K
1c20K
S
14.9
s°K
系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為
K>0
<20Kn0<K<1.49
2----->0
I14.9
(2)由三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件得
(K>0
4=>K>6.59
[(K+l)K〉50
2-3-10具有速度反饋的電動(dòng)控制系統(tǒng)如題2-3-10圖所示,試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的
給的取值范圍。
100C(s)
s(s+5.6)(.9+10)
前o二in囪
【解工系統(tǒng)的特征方程為
100K,S1000
14-=0
s(s+5.6)(s+10)s(s+5.6)(s+10)
53+15.6i2+(100A:,+56)5+1000=0
系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是
100K,+56>0
=>K,>0.081。
15.6(1005+56)>1000
2-3-11己知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如
圖所示,分別求該系統(tǒng)的靜態(tài)位置
誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)和加速度
誤差系數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)的輸入分別為(1)
1"),(2)7(/),(3)).1⑺時(shí),
2
求每種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.
【解工系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為
1005K
0.2s+1100^+1t“5K
G*G)“赤.----------------nv=1,KK=---------------
~100格(0.2八"IOOK+i
1H--------S(---------5+1)1
0.2s+11+100&
KK為開環(huán)增益.在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提條件下有
kp=8,k=———,k=0
v110()A:,+Ia"
'=—!—=o
(1)r(t)=1(/)=>
"1+與
1100(+1
(2)r(f)=t-1(f)
工-_5K
(3)r(f)=.]?)=ess=9
2-3-12已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。
(1)確定K和儲(chǔ)滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件;
(2)求當(dāng),4)=”。)和/!?)=0時(shí);系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e“.;
*C->1C即
【解】:(1)系統(tǒng)的特征方程為
,KK,sK(0.02s+l)八32
1+———■——+-------=0=s+25s+K(Kt+0.02)s+K=0
$2(S+25)S2(S+25)
系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)
K>0
f「K>0
\K(K.+0.02)>0=>{
'U,>0.02
25K(K,+0.02)>K1'
(2)方法一
系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為
K(0.02s+l)
—(0.025+1)
§2($+25)
Kt_____________
GK(S)=~2~~25~=v=l,KK=—,
KKt
14-----------.S'(—S+--------5+1)
s(s+25)KKtKKt
KR為開環(huán)增益。
[型系統(tǒng),kp=oo,=底=占,ka=0,根據(jù)題意R(s)=《,N(s)=0,
Kts~
?ss="+0=£
方法二
l+y2
E(s)_________.$2(S+25)_si+25s+KK,)
-32
R(s)-I〕KK”IK(0.02S+1),V+25S+K(K,+0.02)S+K
S2(S+25)S2(J+25)
“l(fā)imsEG)=lim25TK,)—±=K,
sfOSTOS3+25S2+K(K,+0.02)S+K52
(3)方法一
n(r)=1(f)?山G|(s)=0.02s+l得/=0,K'=l,
人|
'"一吧下何)=-lim---
STO1S
方法二
E(s)________S2(S+25)______________________K
32
N(s「i?KK(SIK(0.02s+l)-s+25s+KiK,+O.O2)s+7C
$2(S+25)S2(S+25)
rE(s)
?==hms------N(s)=lims[——-+25S2+K(K,+0.02)S+/1T
sssen八KT/\La
$->ON(S)S->0S5
四根軌跡分析法
2-4-2設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別如卜:
K(s+1)
(2)G(s)=
(s+0.2)(s+0.5)(s+l)s(2s+1)
K(s+2)K
(3)G(s)=(4)G(s)=
(52+2s+5)(s+l)(s+5)(5~+6s+13)
試?yán)L制K由0f+8變化的閉環(huán)根軌跡圖。
【解】:(1)系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-p1=-02-2=-O.5,-p3=-1。
①〃=3,加=0,有三條根軌跡,均趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。
②實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間(-8,-1][-0.5,-0.2]。
③漸近線
-0.2-0.5-1
=-0.57
3
6=出+!/80。=±60。/80。(憶=0,1,2)
④分離點(diǎn)。
方法一由尸(s)Q(s)-P(s)0(s)=O得
3s2+3.4s+0.8=0=j|2=-0.8,—0.33
si=-0.8不在根軌跡上,舍去。分離點(diǎn)為-0.33。
分離點(diǎn)處K值為K=-2也=0.014
PG)S=_O,33
方法二特征方程為:S3+I.7S2+O.8S+O.1+K=O
重合點(diǎn)處特征方程:(s+a)2(s+6)=$3+(2a+b)s2+(2ab+a2)s+a2b=0
令各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等求出重合點(diǎn)坐標(biāo)和重合點(diǎn)處增益取值。
⑤根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)的特征方程為
D(s)=s3+1.752+0.8S+0.1+K=0
方法一令s+jo),得
-5
a7八一(D+0.86?=0CD=±,0.8
一加3—17i+j0&y+0.1+K=0=>\=>
-1.76y2+0.1+K=0K=1.26
方法二將特征方程列勞斯表為
j310.8
521.70.1+K
令一行等于0,得K=1.26°代入s°行,得輔助方程
1.1s2+1.36=0nS],2=土人砥
⑥系統(tǒng)根軌跡如題2-4-2(1)解圖所示。
(2)
①根軌跡方程
。。+1)
2------+1=0
5(5+0.5)
開環(huán)零點(diǎn)一口=一1,開環(huán)極點(diǎn)一2]=0,-p2=-0.5o
②實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間
③分離會(huì)合點(diǎn)
方法一P(s)=s+lQ(s)=52+0.5i
P'(s)Q(s)-P(s)0(s)=On52+0.55-(5+1)(25+0.5)=0
2
=5+25+0.5=0=>si2=-l±V2/2=-0.29,-1.71
-0.29,-1.71均在根軌跡上,-0.29為分離點(diǎn),-1.71為會(huì)合點(diǎn)。
—="—■)nKd[=0.17Kd2=5.85
2PG)1S…—Si7
方法二系統(tǒng)特征方程:./+0.5(長(zhǎng)+1)5+0.5K=0
重合點(diǎn)處特征方程:(s+a)2=$2+2as+『=0
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