因式分解的高級方法(解析版)

.一．雙十字相乘法從計算過程可以發(fā)現(xiàn)，乘積中的二次項6x2-7xy-3y2只和乘式中的一次項有關(guān)，而與常數(shù)項無關(guān)；乘積中的一次項13x+8y，只和乘式中的一次項及常數(shù)項有關(guān)系；乘積中的常數(shù)項，只和乘〔2〕在這個十字相乘圖右邊再畫一個十字，把常數(shù)項分解為兩個因數(shù)，填在第二個十字的右端，使這兩個因數(shù)在第二個十字中穿插之積之和，等于原式中含y的一次項的系數(shù)E，同是還必須與第一個十字中左列的兩個因數(shù)穿插相乘，使其穿插之積之和等于原式中含x的一次項的系數(shù)D.二．對稱式與輪換對稱式【定義1】一個n元代數(shù)式f(x，xx)，假如交換任意兩個字母的位置后，代數(shù)式不變，即對于任意的i，j〔1<i<j<n〕，都有f(xxxx)=f(xxxx)那么，就稱1ijn1jin這個代數(shù)式為n元對稱式，簡稱對稱式。假如n元對稱式是一個多項式，那么稱這個代數(shù)式為n元對稱多項式。由定義1知，在對稱式中，必包含任意交換兩個字母所得的一切項，例如，在對稱多項式bz2y項，這些項叫做對稱式的同形項，同形項的系數(shù)都一樣。.根據(jù)對稱多項式的定義，可以寫出含n個字母的對稱多項式的一般形式，例如，含有三個字母【定義2】假如一個n元多項式的各項的次數(shù)均等于同一個常數(shù)r，那么稱這個多項式為n元r例如，含三個字母的三元三次齊對稱式為：【定義3】一個n元代數(shù)式f(x，xx)，假如交換任意兩個字母的位置后，代數(shù)式均改變f(xxxx)=f(xxxx)那么就稱這個代數(shù)式為n元交代式。1ijn1jin【定義4】假如一個n交代數(shù)式f(x，x3xx代x，x代x后代數(shù)式不變，即f(x，xx)=f(x，x為n元輪換對稱式，簡稱輪換式。x，x)那么稱這個代數(shù)式顯然，對稱式一定是輪換式，但輪換式不一22x)是輪換式，但不是對稱式。對稱式、交代式、輪換式之間有如下性質(zhì)：〔1〕兩個同字母的對稱式的和、差、積、商仍是對稱式；〔2〕兩個同字母的交代式的和、差是交代式它們的各、商是對稱式；〔4〕兩個同字母的輪換式的和、差、積、商.〔5〕多變無的交代多項式中必有其中任意兩變元之差的因式?！径x5】下面n個對稱多項式稱為n元根本對稱多項式。例如，二元根本對稱多項式是指x+y，xy，當(dāng)你學(xué)完了高等代數(shù)的時候就會知道，任何一個n元對稱多項式都可以表示為根本對稱多項式的多項式。這個結(jié)論對解題的指導(dǎo)作用。2．對稱式、輪換式、交代式在解題中的應(yīng)用為了初中學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，我們在本講里主要介紹二元和三元的情形，對于多元的情形，只需下面是利用對稱式、輪換式、交代式解題的一些常用技巧〔3〕假設(shè)f(x，y，z)是輪換式，那么在解題中可設(shè)x最大〔小〕，但不能設(shè)x<y<z?！?〕假設(shè)f(x，y，z)是交代多項式，那么xy，yz，zx是f(x，y，z)的因式，即其在利用對稱式作因式分解時，齊次對稱多項式，齊次輪換對稱多項式，齊次交代多項式是常用.三．拆、添項法將多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個符號相反的項，使得便于用分組分解法進展分解因式．例如：將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，用一個新字母替代它，從而簡化運算過程，五．主元法當(dāng)題目中的字母較多、問題較復(fù)雜時，我們可以把某一字母作為主元，而將其他字母作為常數(shù)六：因式定理與待定系數(shù).〔2〕假設(shè)兩個多項式相等，那么它們同類項的系數(shù)相等.6．因式定理與待定系數(shù).二．重難點：對稱式與輪換對稱式；拆、添項法.三．易錯點：因式分解過程中計算錯誤.題模一：雙十字相乘法【解析】〔1〕先用十字相乘法分解6x2-7xy-3y2，再將常數(shù)項-5的兩個因數(shù)寫在第二個十字的右邊，由于第2列與第3列穿插相乘之積的和等于8，再看第1列與第3列穿插相乘之積的和等2+2-題模二：輪換對稱式法【解析】(x-y)(y-z)(z-x)是它的因式。又因為f(x，y，z)是4次齊次式，所以它還:f(x，y，z)=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)..33:x+y+z是f(x，y，z)的一個因式．故它的另一個因式比為二次齊【答案】1x4+y44122-xy)122-xy)2y2)(1)題模四：換元法))).22)()2)222=(a2題模六：因式定理與待定系數(shù)法.22-3x)的約數(shù)〕分別代入原式，假設(shè)值為0，那么可找到一次因3-5x22-3x).3+(y-z)3+(z-x)3244222222-3x2-3x2-3x2).-2-，21,再分別以這些商代入原式求值，可知只有當(dāng)x12322)〔a是待定系數(shù)〕比較右邊和左邊x2的系數(shù)得322222