人教A版高中數(shù)學(xué)二同步學(xué)習(xí)講義：第三章直線與方程3.2.3 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2。3直線的一般式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握直線的一般式方程.2。理解關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)都表示直線。3.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化．知識(shí)點(diǎn)一直線的一般式方程思考1直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式這四種形式都能用Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為0)來(lái)表示嗎?答案能．思考2關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A,B不同時(shí)為0)一定表示直線嗎？答案一定．思考3當(dāng)B≠0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)表示怎樣的直線？B＝0呢？答案當(dāng)B≠0時(shí)，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－eq\f（A，B)x－eq\f（C,B）,所以該方程表示斜率為－eq\f(A，B),在y軸上截距為－eq\f（C，B)的直線;當(dāng)B＝0時(shí)，A≠0,由Ax＋By＋C＝0，得x＝－eq\f(C,A)，所以該方程表示一條垂直于x軸的直線．梳理直線的一般式方程形式Ax＋By＋C＝0條件A,B不同時(shí)為0知識(shí)點(diǎn)二直線的一般式與點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的關(guān)系梳理形式方程局限點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1）＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x，a）＋eq\f(y，b)＝1不能表示與坐標(biāo)軸平行及過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0無(wú)類型一直線的一般式方程eq\x（命題角度1求直線的一般式方程)例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是eq\r(3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5，3)；(2)斜率為4,在y軸上的截距為－2；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，5),B(2,－1)兩點(diǎn);（4）在x軸，y軸上的截距分別為－3，－1.解（1）由直線方程的點(diǎn)斜式得y－3＝eq\r（3）(x－5），即eq\r(3)x－y－5eq\r(3)＋3＝0。(2）由斜截式得直線方程為y＝4x－2,即4x－y－2＝0.（3）由兩點(diǎn)式得eq\f（y－5，－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1），即2x＋y－3＝0。(4）由截距式得直線方程為eq\f（x，－3)＋eq\f（y，－1）＝1,即x＋3y＋3＝0.反思與感悟（1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋eq\f（B，A)y＋eq\f（C,A)＝0，只需求eq\f（B,A)，eq\f（C，A）的值；若B≠0,則方程化為eq\f（A,B)x＋y＋eq\f(C,B）＝0,只需確定eq\f(A,B），eq\f(C，B)的值，因此,只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程．（2）在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單,常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)條件寫出下列直線的一般式方程:（1）斜率是－eq\f(1,2），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，－6)的直線方程為_(kāi)_______________；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4,2）,且平行于x軸的直線方程為_(kāi)_______________；（3)在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2）和－3的直線方程為_(kāi)_______________；(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(3，－2)，P2（5，－4)的直線方程為_(kāi)_______________．答案(1)x＋2y＋4＝0（2）y－2＝0(3）2x－y－3＝0(4）x＋y－1＝0eq\x（命題角度2由含參數(shù)的一般式求參數(shù))例2設(shè)直線l的方程為（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1)y＋6－2m＝0。（1）若直線l在x軸上的截距為－3，則m＝________;(2）若直線l的斜率為1,則m＝________。答案（1)－eq\f(5,3）（2)－2解析(1）令y＝0,則x＝eq\f（2m－6，m2－2m－3），∴eq\f(2m－6,m2－2m－3）＝－3，得m＝－eq\f（5,3)或m＝3（舍去）．∴m＝－eq\f（5，3)。（2)由直線l化為斜截式方程得y＝eq\f(m2－2m－3，2m2＋m－1）x＋eq\f(6－2m,2m2＋m－1），則eq\f（m2－2m－3，2m2＋m－1）＝1，得m＝－2或m＝－1（舍去)．∴m＝－2.反思與感悟(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直線,需滿足A,B不同時(shí)為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程注意驗(yàn)根．跟蹤訓(xùn)練2若方程(a2＋5a＋6)x＋（a2＋2a）y＋1＝0表示一條直線,則實(shí)數(shù)a滿足______．答案a≠－2解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＋5a＋6＝0，,a2＋2a＝0，))得a＝－2，∵方程(a2＋5a＋6）x＋（a2＋2a）y＋1＝0表示一條直線，∴a≠－2.類型二由直線方程的一般式研究直線的平行與垂直eq\x（命題角度1利用兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)）例3（1）已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；（2）當(dāng)a為何值時(shí),直線l1：（a＋2）x＋（1－a)y－1＝0與直線l2：（a－1)x＋（2a＋3）y＋2＝0互相垂直？解方法一（1）由l1：2x＋（m＋1）y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①當(dāng)m＝0時(shí)，顯然l1與l2不平行．②當(dāng)m≠0時(shí)，l1∥l2，需eq\f（2，m)＝eq\f（m＋1，3）≠eq\f（4，－2）。解得m＝2或m＝－3，∴m的值為2或－3.(2）由題意知,直線l1⊥l2.①若1－a＝0,即a＝1時(shí)，直線l1:3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0顯然垂直．②若2a＋3＝0,即a＝－eq\f(3，2）時(shí)，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2:5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a),k2＝－eq\f(a－1，2a＋3）。當(dāng)l1⊥l2時(shí)，k1·k2＝－1，即（－eq\f(a＋2，1－a)）·(－eq\f(a－1,2a＋3))＝－1，∴a＝－1。綜上可知,當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2.方法二（1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.當(dāng)m＝－3時(shí)，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2。同理當(dāng)m＝2時(shí)，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2。∴m的值為2或－3.（2)由題意知直線l1⊥l2,∴(a＋2）（a－1)＋（1－a)（2a＋3）＝0，解得a＝±1,將a＝±1代入方程，均滿足題意．故當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí),直線l1⊥l2。反思與感悟?qū)τ谟芍本€的位置關(guān)系求參數(shù)的問(wèn)題，有下列結(jié)論:設(shè)直線l1與l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2,B2不同時(shí)為0），則l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.）)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0。跟蹤訓(xùn)練3已知直線l1：ax＋2y－3＝0，l2:3x＋（a＋1)y－a＝0，求滿足下列條件的a的值．(1）l1∥l2；(2）l1⊥l2。解(1)∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(aa＋1－3×2＝0，,2×－a－－3a＋1≠0,）)解得a＝2。(2）a×3＋2×（a＋1)＝0，得a＝－eq\f(2，5)。eq\x（命題角度2求平行、垂直的直線方程)例4已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：（1)過(guò)點(diǎn)（－1，3）,且與l平行;(2）過(guò)點(diǎn)(－1，3），且與l垂直．解方法一（1)l的方程可化為y＝－eq\f（3,4)x＋3，∴l(xiāng)的斜率為－eq\f(3,4)?！遧′與l平行，∴l(xiāng)′的斜率為－eq\f（3,4)。又∵l′過(guò)點(diǎn)（－1,3),由點(diǎn)斜式知方程為y－3＝－eq\f(3，4）(x＋1），即3x＋4y－9＝0。（2）∵l′與l垂直，∴l(xiāng)′的斜率為eq\f(4,3），又l′過(guò)點(diǎn)(－1，3）,由點(diǎn)斜式可得方程為y－3＝eq\f(4,3）(x＋1），即4x－3y＋13＝0。方法二（1)由l′與l平行，可設(shè)l′的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．將（－1,3）代入上式得m＝－9.∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.(2)由l′與l垂直，可設(shè)l′的方程為4x－3y＋n＝0.將(－1，3)代入上式得n＝13?！嗨笾本€的方程為4x－3y＋13＝0.反思與感悟一般地，直線Ax＋By＋C＝0中系數(shù)A、B確定直線的斜率，因此,與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.這是經(jīng)常采用的解題技巧．跟蹤訓(xùn)練4已知點(diǎn)A（2，2）和直線l：3x＋4y－20＝0。求:（1)過(guò)點(diǎn)A和直線l平行的直線方程；(2）過(guò)點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程．解(1）將與直線l平行的直線方程設(shè)為3x＋4y＋C1＝0，又過(guò)點(diǎn)A(2，2），所以3×2＋4×2＋C1＝0,所以C1＝－14。所求直線方程為3x＋4y－14＝0。（2)將與l垂直的直線方程設(shè)為4x－3y＋C2＝0，又過(guò)點(diǎn)A(2,2),所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2,所以直線方程為4x－3y－2＝0。1．在直角坐標(biāo)系中,直線x＋eq\r（3)y－3＝0的傾斜角是（)A．30°B．60°C．150°D．120°答案C解析直線斜率k＝－eq\f(\r(3）,3），所以傾斜角為150°，故選C。2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A、B應(yīng)滿足的條件為（)A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0答案D解析方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A、B不能同時(shí)為0，即A2＋B2≠0。3．已知ab<0，bc〈0，則直線ax＋by＝c通過(guò)(）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限答案C解析由ax＋by＝c，得y＝－eq\f（a，b）x＋eq\f(c,b），∵ab<0,bc〈0，∴直線的斜率k＝－eq\f(a，b)>0，直線在y軸上的截距eq\f（c，b）<0。由此可知直線通過(guò)第一、三、四象限．4．已知兩直線l1：x＋my＋6＝0,l2：（m－2）x＋3y＋2m＝0，（1）若l1∥l2，則m＝________;(2）若l1⊥l2，則m＝________.答案（1)－1（2）eq\f(1，2）解析(1）由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1×3－mm－2＝0，，2m2≠6×3，）)得m＝－1.（2)由題意知1×(m－2）＋m×3＝0，得m＝eq\f(1,2）.5．求與直線3x＋4y＋1＝0平行，且過(guò)點(diǎn)(1，2）的直線l的方程．解由題意，設(shè)l的方程為3x＋4y＋C＝0，將點(diǎn)(1，2)代入l的方程3＋4×2＋C＝0,得C＝－11，∴直線l的方程為3x＋4y－11＝0.1．根據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線平行的方法（1）判定斜率是否存在,若存在，化成斜截式后，則k1＝k2且b1≠b2;若都不存在，則還要判定不重合．（2)可直接采用如下方法:一般地，設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0。l1∥l2?A1B2－A2B1＝0,且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0。這種判定方法避開(kāi)了斜率存在和不存在兩種情況的討論,可以減小因考慮不周而造成失誤的可能性．2．根據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線垂直的方法(1）若一個(gè)斜率為零，另一個(gè)不存在，則垂直；若兩個(gè)都存在斜率，化成斜截式后，則k1k2＝－1.(2)一般地，設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0,l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0。第二種方法可避免討論，減小失誤．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角為45°，則m的值為（)A．－2B．2C．－3D．3答案D解析由已知得m2－4≠0，且eq\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1,解得m＝3或m＝2(舍去）．2．直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，若直線l過(guò)原點(diǎn)和二、四象限，則（）A．C＝0,B>0 B．A〉0，B〉0,C＝0C．AB〈0，C＝0 D．AB>0,C＝0答案D解析通過(guò)直線的斜率和截距進(jìn)行判斷．3．已知直線ax＋by－1＝0在y軸上的截距為－1，且它的傾斜角是直線eq\r（3）x－y－eq\r(3)＝0的傾斜角的2倍,則a,b的值分別為（）A。eq\r(3)，1 B.eq\r(3)，－1C．－eq\r（3），1 D．－eq\r（3），－1答案D解析原方程化為eq\f(x,\f(1,a)）＋eq\f(y，\f(1，b）)＝1，∴eq\f（1,b）＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)＝a，且eq\r（3)x－y－eq\r（3）＝0的傾斜角為60°，∴k＝tan120°，∴a＝－eq\r(3)，故選D.4．兩條直線mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的條件是（)A．m＝1 B．m＝±1C。eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝1，,n≠－1)) D。eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝1，,n≠－1)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝－1，，n≠1))答案D解析令m×m＝1×1,得m＝±1。當(dāng)m＝1時(shí)，要使x＋y－n＝0與x＋y＋1＝0平行,需n≠－1.當(dāng)m＝－1時(shí)，要使－x＋y－n＝0與x－y＋1＝0平行，需n≠1.5．把直線x－y＋eq\r（3）－1＝0繞點(diǎn)（1，eq\r（3))逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后,所得直線l的方程是()A．y＝－eq\r（3)x B．y＝eq\r（3)xC．x－eq\r（3）y＋2＝0 D．x＋eq\r(3)y－2＝0答案B解析如圖，已知直線的斜率為1，則其傾斜角為45°，則直線l的傾斜角α＝45°＋15°＝60°.∴l(xiāng)的斜率k＝tanα＝tan60°＝eq\r（3），∴l(xiāng)的方程為y－eq\r(3)＝eq\r(3）（x－1），即y＝eq\r（3)x.6．在同一直角坐標(biāo)系中表示直線ax－y＝0與x－y＋a＝0（a≠0）正確的是（）答案C解析若a>0，直線y＝x＋a與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，直線x－y＋a＝0過(guò)第一、二、三象限,而直線ax－y＝0過(guò)定點(diǎn)(0，0)，傾斜角為銳角，此時(shí)各選項(xiàng)都不正確；若a<0，則直線y＝x＋a與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，直線過(guò)第一、三、四象限,而直線y＝ax過(guò)定點(diǎn)（0，0），且傾斜角為鈍角，故C正確．7．若直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則直線l的斜率為（）A．1 B．－1C．－2或1 D．－1或2答案D解析當(dāng)直線ax＋y－2－a＝0過(guò)原點(diǎn)時(shí),可得a＝－2。當(dāng)直線ax＋y－2－a＝0不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意知,當(dāng)a＝0時(shí)，直線l與x軸無(wú)交點(diǎn),當(dāng)a≠0時(shí)，直線l在x軸上的截距為eq\f（2＋a，a），與在y軸上的截距2＋a相等，可得eq\f（2＋a，a)＝2＋a，解得a＝1，或a＝－2。綜上知，a＝－2或1.所以直線l的斜率為－1或2.二、填空題8．已知直線(a＋2）x＋(a2－2a－3）y－2a＝0在x軸上的截距為3,則該直線在y軸上的截距為_(kāi)_______．答案－eq\f(4,15）解析把（3,0)代入已知方程，得(a＋2）×3－2a＝0，∴a＝－6，∴直線方程為－4x＋45y＋12＝0，令x＝0,得y＝－eq\f(4,15）。9．垂直于直線3x－4y－7＝0，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線l的方程為_(kāi)_______．答案4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0解析由題意可設(shè)與直線3x－4y－7＝0垂直的直線的方程為4x＋3y＋c＝0，令y＝0，得x＝－eq\f（c，4）,令x＝0，得y＝－eq\f（c,3)，則S△＝eq\f(1,2)|－eq\f(c，4)·（－eq\f(c，3）)｜＝6,得c2＝122,c＝±12，∴直線l的方程為4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0。10．若直線mx－y＋（2m＋1)＝0恒過(guò)定點(diǎn),則此定點(diǎn)是________．答案（－2，1）解析由y＝mx＋2m＋1，得y－1＝m（x＋2)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)(－2，1）．11．直角坐標(biāo)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持到兩點(diǎn)A（a,0）(其中a∈R)和B(0,1)的距離相等，且機(jī)器人也始終接觸不到直線l：y＝x＋1，則a的值為_(kāi)_______．答案1解析根據(jù)題意可知機(jī)器人在線段AB的中垂線上運(yùn)動(dòng)，且軌跡與直線l：y＝x＋1平行，由此可得AB⊥l，因此kAB·kl＝－1，即eq\f（1－0，0－a）×1＝－1，解得a＝1。三、解答題12．若方程(m2－3m＋2）x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線．(1)求實(shí)數(shù)m需滿足的條件；(2)若該直線的斜率k＝1,求實(shí)數(shù)m的值．解（1）由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m2－3m＋2≠0,，m－2≠0，）)解得m≠2。（2)由題意知，m≠2，由－eq\f(m2－3m＋2,m－2）＝1，解得m＝0.13．（1）已知直線l1：（k－3）x＋(4－k)y＋1＝0與l2:2(k－3)x－2y＋3＝0。①若這兩條直線垂直，求k的值;②若這兩條直線平行，求k的