2020-2021學(xué)年北京市石景山區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市石景山區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，則A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣2＜x≤2} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|﹣2≤x≤2}2．（4分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y＝ B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2﹣x D．y＝logx3．（4分）對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是（）A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列 C．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列 D．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列4．（4分）袋中有10個(gè)除顏色以外完全相同的球，其中5個(gè)白球，3個(gè)黑球，2個(gè)紅球．從中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率是（）A． B． C． D．5．（4分）已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（4分）若a，b，c，d∈R，則“a+d＝b+c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝+lnx，則（）A．x＝時(shí)f（x）取到極大值 B．x＝時(shí)f（x）取到極小值 C．x＝2時(shí)f（x）取到極大值 D．x＝2時(shí)f（x）取到極小值8．（4分）某人射擊一次擊中的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為（）A． B． C． D．9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（0，e） D．（e，+∞）10．（4分）在一次知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)椋ǎ〢．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分．11．（4分）函數(shù)f（x）＝x?ex的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝．12．（4分）某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，如表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192次8次則該公司一年后估計(jì)可獲收益的期望是（元）．13．（4分）已知f（x）＝﹣x3+ax+3在定義域上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．14．（4分）若數(shù)列{an}滿足a1＝﹣，an?an﹣1＝an﹣1﹣1（n＞1，n∈N*），則a2021＝．15．（4分）已知集合A0＝{x|0＜x＜1}．給定一個(gè)函數(shù)y＝f（x），定義集合An＝{y|y＝f（x），x∈An﹣1}，若An∩An﹣1＝?對(duì)任意的n∈N*成立，則稱該函數(shù)y＝f（x）具有性質(zhì)“φ”（例如y＝x+1具有性質(zhì)“φ”）下列函數(shù)：①y＝；②y＝x2+1；③y＝cos（x）+2，其中具有性質(zhì)“φ”的函數(shù)的序號(hào)是．三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共40分．應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（7分）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．17．（7分）為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．（Ⅰ）設(shè)事件A為“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自不同協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；（Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求X的分布列．18．（9分）已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜3時(shí)，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值及最小值．19．（8分）為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時(shí)間開設(shè)《數(shù)學(xué)史》《生活中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機(jī)選一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響，且每一課程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；（2）設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．20．（9分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+kx，k∈R．（Ⅰ）求y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2+x恒成立，求k的取值范圍．

2020-2021學(xué)年北京市石景山區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，則A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣2＜x≤2} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|﹣2≤x≤2}【分析】求出集合A，由此能求出A∪B．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，∴A∪B＝{x|﹣2＜x≤2}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查并集及其運(yùn)算和一元二次不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（4分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y＝ B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2﹣x D．y＝logx【分析】根據(jù)題意，依次判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案．【解答】解：對(duì)于A，y＝在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于B，y＝（x﹣1）2是二次函數(shù)，在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，y＝2﹣x＝（）x是指數(shù)函數(shù)，在R上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，y＝logx是對(duì)數(shù)函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，需注意常見函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是（）A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列 C．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列 D．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列【分析】根據(jù)：若a，A，b構(gòu)成等比數(shù)列，則A2＝ab，即可對(duì)選項(xiàng)逐一判斷．【解答】解：由于1+9≠2×3，所以a≠a1a9，即a1、a3、a9不能構(gòu)成等比數(shù)列，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．由于2+6≠2×3，所以a≠a2a6，即a2、a3、a6不能構(gòu)成等比數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．由于3+9＝2×6，所以a＝a3a9，即a3、a6、a9能構(gòu)成等比數(shù)列，選項(xiàng)C正確．由2+8≠2×4，所以a≠a2a8，即a2、a4、a8不能構(gòu)成等比數(shù)列，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查推理論證和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）袋中有10個(gè)除顏色以外完全相同的球，其中5個(gè)白球，3個(gè)黑球，2個(gè)紅球．從中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率是（）A． B． C． D．【分析】易知10個(gè)小球中除5個(gè)白球外還有5個(gè)小球，其中黑球有3個(gè)，所以利用古典概型概率計(jì)算公式即可得出所求事件的概率．【解答】解：根據(jù)題意，袋中除白球外共有5個(gè)小球，其中黑球有3個(gè)，所以從袋中任取一個(gè)已知不是白球的小球是黑球的概率為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】可以得出，然后即可得出a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：∵，ln2＜lne＝1，∴c＞a＞b．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的換底公式，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）若a，b，c，d∈R，則“a+d＝b+c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】必要性根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)容易證明，充分性不成立只需要舉一個(gè)反例即可說明．【解答】解：若a，b，c，d依次成等差數(shù)列，則a+d＝b+c，即必要性成立，若a＝2，d＝2，b＝1，c＝3，滿足a+d＝b+c，但a，b，c，d依次成等差數(shù)列錯(cuò)誤，即充分性不成立，即“a+d＝b+c“是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件，考查等差數(shù)列的概念，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝+lnx，則（）A．x＝時(shí)f（x）取到極大值 B．x＝時(shí)f（x）取到極小值 C．x＝2時(shí)f（x）取到極大值 D．x＝2時(shí)f（x）取到極小值【分析】可求得f′（x）＝，然后判斷f（x）的單調(diào)性，再得到f（x）的極值點(diǎn)和極值即可．【解答】解：∵f（x）＝+lnx（x＞0），∴f′（x）＝，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取到極小值．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）某人射擊一次擊中的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為（）A． B． C． D．【分析】本題是一個(gè)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率，至少有兩次擊中目標(biāo)包括兩次擊中目標(biāo)或三次擊中目標(biāo)，這兩種情況是互斥的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式和互斥事件的概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知，本題是一個(gè)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率，射擊一次擊中的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，∴至少有兩次擊中目標(biāo)包括兩次擊中目標(biāo)或三次擊中目標(biāo)，這兩種情況是互斥的，∴至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為C320.62×0.4+C330.63＝＝故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目可以作為選擇和填空出現(xiàn)．9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（0，e） D．（e，+∞）【分析】根據(jù)題意，分析可得x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|＝ex﹣ax，對(duì)其求導(dǎo)分析可得在（0，lna）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，在（lna，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，即可得其最小值，分析可得必有f（x）min＝a﹣alna＜0，解可得a的取值范圍，綜合可得答案．【解答】解：函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|有三個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y＝ex與y＝a|x|有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則必有a＞0，圖象如圖：當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y＝ex與y＝a|x|有1個(gè)交點(diǎn)，即x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|有一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|有三個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|＝ex﹣ax有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣a|x|＝ex﹣ax，其導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex﹣a，令f′（x）＝ex﹣a＝0可得，x＝lna，分析可得：在（0，lna）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，在（lna，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x＝lna時(shí)，f（x）＝ex﹣ax有最小值，即f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，若（0，+∞）上，函數(shù)f（x）＝ex﹣a|x|＝ex﹣ax有2個(gè)零點(diǎn)，必有f（x）min＝a﹣alna＜0，解可得a＞e，綜合可得：a的取值范圍為（e，+∞）；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，涉及函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是分析函數(shù)y＝ex與y＝a|x|的交點(diǎn)情況．10．（4分）在一次知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)椋ǎ〢．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙【分析】分別討論甲、乙、丙預(yù)測(cè)正確，然后進(jìn)行推導(dǎo)，判斷是否符合題意即可．【解答】解：若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，即甲的成績(jī)比乙高，丙的成績(jī)比乙低，故三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙；若乙預(yù)測(cè)正確，則丙也預(yù)測(cè)正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，即丙的成績(jī)比乙高，乙的成績(jī)比甲高，故丙的成績(jī)比甲、乙都高，即乙的預(yù)測(cè)也正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理的應(yīng)用，考查了推理論證能力、應(yīng)用意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分．11．（4分）函數(shù)f（x）＝x?ex的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝（1+x）ex．【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式即可得到結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex+xex＝（1+x）ex，故答案為：（1+x）ex【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，要求熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．12．（4分）某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，如表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192次8次則該公司一年后估計(jì)可獲收益的期望是4760（元）．【分析】由表可知，投資成功、失敗的概率分別為、，而投資成功的收益為5×12%萬元，投資失敗的損失為5×50%萬元，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得解．【解答】解：由題表可知，投資成功的概率為，投資失敗的概率為，而投資成功的收益為5×12%萬元，投資失敗的損失為5×50%萬元，所以該公司一年后估計(jì)可獲收益的數(shù)學(xué)期望為5×12%×﹣5×50%×＝0.476萬元＝4760元．故答案為：4760．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，以及期望的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（4分）已知f（x）＝﹣x3+ax+3在定義域上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]．【分析】由f（x）＝﹣x3+ax+3在定義域上單調(diào)遞減?f′（x）＝﹣3x2+a≤0恒成立，從而可得答案．【解答】解：∵f（x）＝﹣x3+ax+3在定義域上單調(diào)遞減，∴f′（x）＝﹣3x2+a≤0在定義域R上恒成立，∴a≤（3x2）min，又3x2≥0，∴a≤0，∴數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，0]．故答案為：（﹣∞，0]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．14．（4分）若數(shù)列{an}滿足a1＝﹣，an?an﹣1＝an﹣1﹣1（n＞1，n∈N*），則a2021＝5．【分析】由已知可得數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，則答案可求．【解答】解：由a1＝﹣，an?an﹣1＝an﹣1﹣1（n＞1，n∈N*），得，，，..．∴數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，又2021＝3×673+2，∴a2021＝a2＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，求出數(shù)列的周期是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15．（4分）已知集合A0＝{x|0＜x＜1}．給定一個(gè)函數(shù)y＝f（x），定義集合An＝{y|y＝f（x），x∈An﹣1}，若An∩An﹣1＝?對(duì)任意的n∈N*成立，則稱該函數(shù)y＝f（x）具有性質(zhì)“φ”（例如y＝x+1具有性質(zhì)“φ”）下列函數(shù)：①y＝；②y＝x2+1；③y＝cos（x）+2，其中具有性質(zhì)“φ”的函數(shù)的序號(hào)是①②．【分析】分別運(yùn)用反比例函數(shù)、二次函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，結(jié)合新定義，即可判斷．【解答】解：①：由A0＝{x|0＜x＜1}，An＝{y|y＝f（x），x∈An﹣1}，可得A1＝{y|y＞1}，A2＝{y|0＜y＜1}，A3＝{y|y＞1}，A4＝{y|0＜y＜1}，…，滿足An∩An﹣1＝?對(duì)任意的n∈N*成立，故①具有性質(zhì)“g”；②y＝x2+1：由A0＝{x|0＜x＜1}，An＝{y|y＝f（x），x∈An﹣1}，可得A1＝{y|1＜y＜2}，A2＝{y|2＜y＜5}，A3＝{y|5＜y＜26}，…，滿足An∩An﹣1＝?對(duì)任意的n∈N*成立，故②具有性質(zhì)“g”；③：由A0＝{x|0＜x＜1}，An＝{y|y＝f（x），x∈An﹣1}，可得A1＝{y|2＜y＜3}，A2＝{y|1＜y＜2}，A3＝{y|1＜y＜2}，…，不滿足An∩An﹣1＝?對(duì)任意的n∈N*成立，故③不具有性質(zhì)“g”．故答案為：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，以及集合的運(yùn)算，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共40分．應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（7分）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比，由已知列式求得公比，則通項(xiàng)公式可求；（2）把（1）中求得的{an}的通項(xiàng)公式代入bn＝log2an，得到bn，說明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．∴；（2）bn＝log2an＝，∵b1＝1，bn+1﹣bn＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．17．（7分）為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．（Ⅰ）設(shè)事件A為“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自不同協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；（Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求X的分布列．【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出隨機(jī)變量X的可能取值，然后求出其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得，P（A）＝；（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4，則P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列為：X1234P【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量及其分布列的求解，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（9分）已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜3時(shí)，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值及最小值．【分析】（Ⅰ）求出f'（x），分a＞0，a＝0，a＜0，分別利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的單調(diào)性，即可求出[0，1]上的單調(diào)性，即可得到函數(shù)f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+2，則f'（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝，①當(dāng)a＞0時(shí)，則當(dāng)x＜0或x＞時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)0＜x＜時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），，單調(diào)減區(qū)間為（0，）；②當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；③當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x＜或x＞0時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，），（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（，0）．（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜3時(shí)，由（Ⅰ）可知，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，（，1）遞增，所以f（x）在[0，1]的最小值為，最大值為f（0）＝2或f（1）＝4﹣a，不妨設(shè)最小值為m，最大值為M，則m＝，則M＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值問題，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（8分）為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時(shí)間開設(shè)《數(shù)學(xué)史》《生活中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機(jī)選一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響，且每一課程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；（2）設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)分步