浙大數(shù)分部分答案

浙江大學2002學分析一、1、用語言”證明limx2)(x1)0證明

f(x)0||x2||x1||x3

x當0|x1|1時，我們2|x3||2x1|2|x1|213 |x2||x1|1113 于是當0|x1|2時，|x2||x1||x1||x3 對

0，取 1)min(min(0|x1|時，都|f(x)0||x2||x1||x1||x3這就證明 (x2)(x1)0 x

2、給出一個一元函數(shù)f(x，在有理點都不連續(xù)，在無理點都連續(xù)，并.解Riemann數(shù)R(x)1

xpqq

x ,q0,p,q互 qx無理對于任意實數(shù)x0，證明limR(x) xRiemann是在歷史上非常著名的函數(shù)，說明過一些重大問題過重大作用對0pq

0,pq互素所以只p0q1R(0)1（x0處的值是惟一確定的。R(x1為周期的周期函數(shù)R(x1)0，R(x1)R(x)當xxqq0pqq互素，由定義

q0pqx1p，q，R(x)1，R(x1)1 R(x1)R(x)，故有R(x1)R(x)，xR 證明意給定的0，取充分大的q0，使容易知道，在區(qū)間(x01x01中，使0qq0的分數(shù)

pq只有有（因為對每一個0qq0，不等只有有限多個整數(shù)解p

1)pq(x0因此總能取到充分0，使x0x0中的有理數(shù)的分母qq0故當x滿足0|xx0|時R(x0xp0|xx0|q

0R(x)11 這就證明 R(x)x

.從而可知，此函數(shù)在有理點都不連續(xù)，在無點都連續(xù)3f(xy為二元函數(shù)，在(x0y0附近有定義，試討論f(x,y在點(x0y0)處可微”與f(xy在點(x0y0的某鄰域內(nèi)偏導數(shù)fx(x,yfy(xy都存在”（1）若f在x0y0處可微f在(x0y0處的兩個偏導數(shù)必存在Af(x,

),B

(x,y) 但不f(xy在點(x0y0的某鄰域內(nèi)偏導fx(xyfy(xy都在 例如設二元函數(shù)f(xy

(x2y22xyQ，其中 0,其他f(xy在原點處連續(xù)，在原點處可微；但該函數(shù)在除原點以外的其它（2）f(xy在點(x0y0的某鄰域內(nèi)偏導fx(xyfy(xyfx(xyfy(xy在(x0y0處連續(xù)，則f(x,y在點(x0y0處可微推不出f(x,y在點(x0,y0)處可微。

f(x,y)

x2y2,x2y2fxy)在原點某鄰域內(nèi)偏導數(shù)fx(xy)fy(xy都存在存在,但f(xy在(0,0處不可微（1）設f(x)x2，數(shù)列{x}由如下遞 定義x x01,xn1f(xn),(n0,1,2,?)，求證：limxn n證 設

0，

1 1xn

，顯然1xn12，1xn2n|

||(1 )(1 )

1

1 |x 1|x ，n1,2,1

1

于是得{x}是收斂的，設limxnA，顯然1A2 在 1 limxn

12，解得A ，因為1A2

12，所以A 計算極限lim( ) 21 1x22解

(cosx

(cosx)ucos11，vx

，可見這個極限是“1Au1cos11vx2x

1

]

1A)A

Av limAvlimx2(cos1 cosx1t cost 最后得

(x

1)x

e2 1 lim(

)2 設函

f(x)

x2

x0，x

f

(0)，n解用法則及歸納法直接驗算,可f(n)(0)0，n求不定積分1x2dx1 1x2dx 1 1x2dx dx11x2dx1 1 1 1ln(x 1x2) (x)

n證 函 xn

內(nèi)是連續(xù)的，并在這意階連續(xù)導函數(shù).（這種性質(zhì)，也稱為無窮次可微。1證明：令

(x) nx，顯u(x)1nx，u(x)nxlnn，u(x)nx(lnn)2 [un(x)](k

(1)knx(lnn)k，

都在(1,)上連續(xù)；對任何1x時(x)||

n|u(x)|1lnn |

(x)](k)|

(lnn)k

(k而n(lnn)收斂，所以un(x)，n(x)，[un （k 都在[,)上一致收斂，由于1是任意的，所以

n n(x)nn(x)

在[,)內(nèi)是連續(xù)的，并在這1n1在(1,)內(nèi)是連續(xù)的，并在這區(qū)間內(nèi)有任意階連續(xù)導函數(shù)顯然

(x)

在n1在

內(nèi)非一致收斂 1n1n

內(nèi)不假若(x)

x在(1,內(nèi)一致連續(xù)，則有l(wèi)im(xA存在且有限nn在(x在(xnxx

，取極限，A1，(N1,2,3,?)n1.（1）計算積 x2y2z2

,其中常數(shù)hRh（2）abc為三個實數(shù)，證明：方程exax2bxc的根不超過三個解（1）xRsincos,yRsinsin,zRcos，其中020rRsincos,Rsinsin,RcosrRsinsin,Rsincos,0rRcoscos,Rcossin,Rsin E|r|2Rsin2，G|r|2R，F(xiàn)(r,

)0 R2sin，dS

EGF2ddR2sinddx2y2(zx2y2(z 2d R2sin 2R22RhR22Rh

R22Rhh22R244

(|Rh||Rh|)0|h|R.|h| |h|（2）證明設f(xexax2bxcf(x的零點超過三x1x2x3x4是它的四個零點由羅爾中值定理，存在1(x1,x2),2x2,x3),3(x3,x4),f(10,f(20,f(30，由羅爾中值定理，存在1(1,2),22,3，使得f(1)0,f(2)0但這與f(x)ex0，，結(jié)論得證.四、fn(x)cosxcos2x?cosnx求證:（1）對任意自然數(shù)n(n2),方程f(x)1在區(qū) 內(nèi)必有唯一根xn（2）并求數(shù)列x的極限limx

3證明(1)

(0)n1

n f )

?

11,由連續(xù)函數(shù)的介值 n n

3,使

fn(xn)1 顯然fn(x0,xfn(x)1的根是唯一的

3

fn(x)(0,3)上嚴格單調(diào)遞減所以(2)fn1(x)fn(x,fn(xn)fn1(xn1)fn(xn1于x ,即得x單調(diào)遞增 0xx,從而limxa存在