有關矩形折疊的數學題目

關于有關矩形折疊的數學題目第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月有關矩形折疊的數學問題

矩形性質獨特,折疊起來形特各異,趣味無窮,會產生豐富多彩的幾何問題,而這些問題形式新穎、結構獨特，往往融入了豐富的數學知識和思想，因此，越來越受到各省中考命題者的青睞。縱觀2008年、2009年中考中所出現的有關“矩形的折疊問題”，主要涉及以下幾類情況：第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月一、折疊后求角度

例1.（2008年甘肅省白銀市）如圖，把矩形ABCD沿EF對折后使兩部分重合，若∠1=50°,則∠AEF=()(A)1100

(B)1150(C)1200(D)1300第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月根據矩形的性質AD∥BC,有∠AEF=∠EFD.再由折疊的特征可知:∠BFE=∠EFG=1/2(1800-∠1)=650,所以∠EFC=∠EFG+∠1=650+500=1150由此得∠AEF=1150故選（B）例1.（2008年甘肅省白銀市）如圖，把矩形ABCD沿EF對折后使兩部分重合，若∠1=50°,則∠AEF=()(A)1100

(B)1150

(C)1200(D)1300

在矩形折疊問題中，往往利用軸對稱圖形的對稱性和平行線的性質作聯系找等角來計算相關的度數。第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月二、折疊后求長度例2.(2008年威海市)將矩形紙片ABCD按如圖1所示的方式折疊，得到圖2所示的菱形AECF.若AB=3,則BC的長為()(A)1(B)2(C)(D)

解析:根據折疊的特征可知:AC=2BC,設BC=X,則AC=2X.在Rt△ABC中由勾股定理得：X2+32=(2x)2解得BC的長為故選（D）

點評：在矩形折疊中，求折線等長度時，往往利用軸對稱轉化為相等的線段，再借助勾股定理構造方程來求解。第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月三、折疊后求周長例3（2008年蘭州市）如圖1-4，把長為8cm的矩形按虛線剪出一個直角梯形，打開得到一個等腰梯形。剪掉部分的面積為6cm2，則打開后梯形的周長是（）（A）（B）（C）22cm（D）18cm第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：從顯示的圖形中我們不難看出，所剪掉的三角形的一條直角邊長為3cm，由題意可知道所剪掉的每個三角形的面積為3cm2，則它的另一直角邊為2cm，因此得到的等腰梯形其上底AB=8cm。腰故該等腰三角形的周長為本題選擇（A）

點評：本例題通過剪折紙片作計算，檢驗學生對有關數學技能的理解和掌握程度，使考生的自主性得以充分發(fā)揮。第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月四、折疊后求面積例4（2008年濰坊市）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD上的E點，折痕的一端G點在邊BC上，BG=10，當折痕的另一端F在AB邊上時，試求△EFG的面積。第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：過點G作GH⊥AD則四邊形ABGH是矩形.所以GH=AB=8,AH=BG=10.由圖形的折疊可知,△BFG≌△EFG所以,EG=BG=10,∠FEG=∠B=900所以,EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=900因為∠AEF+∠AFE=900所以∠HEG=∠AFE又因為∠EHG=∠A=900所以△EFA∽△GHE

點評:在矩形的折疊中,由角之間的關系產生相似圖形,從而通過有關成比例線段來做計算,也是在矩形折疊問題中常見的類型之一.同學們應予以關注.第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

五、折疊后求直線解析式例5（2008年棗莊市）如圖，在直角坐標系中放入一個邊長OC為9的矩形紙片ABCO，將紙片折后，點B恰好落在x軸上，記為B/，折痕為CE，已知tan∠OB/C=3/4.(1)求點B′的坐標；（2）求折痕CE所在直線的解析式。解析（1）在Rt△B/OC中，第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月9=b,4=15k+bb=9,K=-1/3點評：本題設計精致，追求創(chuàng)新意，將幾何與函數在矩形的折疊中完美結合，最大特色是知識入口較寬，涉及折疊的對稱性、三角函數、勾股定理及一次函數解析式的確定等，這樣的命題，切認識水平，體現知識體系的整體性。第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

六、折疊后判斷圖形形狀

例6（2008年湖北省十堰市）如圖，把一張矩形的紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在店E處，BE與AD的交于點F。（1）求證△ABF≌△EDF；

（2）若將折疊的圖形恢復原狀，點F與邊BC邊上的點M正好重合，連接DM，試判斷四邊形BMDF的形狀，并說明理由。第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

點評：本題以矩形的折疊為背景，讓同學們在操作和實踐中觀察、探究并解決問題.有利于激發(fā)同學們潛在的智慧,讓同學們體驗創(chuàng)新的快樂,并獲得學習的成功感.第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月七、折疊后探究其數量關系例7（2008年江西?。┤鐖D，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的B/處，點A落在A/處。（1）求證：B/E=BF；（2）設AE=a,AB=b,BF=c,試猜想a、b、c之間的一種關系，并給予證明。第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月點評：矩形的折疊，主要是通過折疊圖形構造的圖形的軸對稱性質來解決問題。由于折疊前后折疊部分圖形的形狀、大小不變，因此，利用軸對稱性，可以轉化挪威相等三線段、相等的角。第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

2009年有關折疊的中考題選1（北京市）正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點，將紙片的一角沿過點B的直線折疊，使點A落在MN上，落點記為A/，折痕交AD于點E。若M、N分別是AD、BC

中點，則A/N=____;若M、N分別是AD、BC邊上距DC最近的n（n﹥2,且n為整數)等分點，則

A/N=____.(用含n的式子表示）第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2（吉林?。⒁粡埦匦渭埰郫B成如圖所示三形狀，則∠ABC=___度3（吉林?。挒?cm長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是（）B第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月4（河北?。┤鐖D，等邊三角形△ABC的邊長為1cm,D、F分別是AB、AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在A/處，且點A/在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為_____cm.35(河南省）動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5。如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ。當點A′在BC上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動。若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上刻移動的最大距離為_____.2第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月6（山東?。┤鐖D所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°,則∠AED′=____(A)70°(B)65°(C)50°(D)25°(C)7(山東?。⑷切渭埰ā鰽BC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′。折痕為EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以點B′、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是____第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月8（江蘇?。?）觀察與發(fā)現：小明將三角形紙片ABCD（AB﹥AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖1）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片得到△AEF(如圖2),小明認為△AEF是等腰三角形,你同意嗎?請說明理由.(2)實踐與運用:將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊,使點A落在BC邊上的點F處,折痕為EF(如圖3);再沿著過點E的直線折疊,使點D落在BE上的點D處,折痕為EG(如圖4);再展平紙片(如圖5),求圖5中∠α的大小。第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

解析：（1）同一。如圖，設AD與EF交于點G。由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。又由折疊知，∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，即△AEF為等腰三角形。（2）由折疊知，四邊形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以，∠BED=135°,又由折疊知,∠BEG=∠DEG,所以∠DEG=67.5°.

從而有∠α=90°－67.5°=22.5°.第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月9（海南?。┤鐖D，將矩形ABCD沿EF折疊后，點C、D分別落在C/、D/處，若∠AFE=45°，則∠C/EF=____度.6510（海南省）如圖1（上右圖），在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F。（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形；（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值。第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月解析（1）略。第23頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月11（哈爾濱市）如圖，梯形ABCD中，AD/