平面向量的應(yīng)用(在平面幾何、解析幾何和物理中的應(yīng)用)

平面向量的應(yīng)用(在平面幾何、解析幾何和物理中的應(yīng)用)平面向量的應(yīng)用(在平面幾何、解析幾何和物理中的應(yīng)用)16-/NUMPAGES16平面向量的應(yīng)用(在平面幾何、解析幾何和物理中的應(yīng)用)1.(江蘇省南京市2015屆高三上學(xué)期9月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，點(diǎn)A，B在圓C上，且AB=，則的最大值是________.【考點(diǎn)】平面向量的應(yīng)用.【答案】8【分析】設(shè)，，AB中點(diǎn).∵，∴，∵圓C：，∴，圓心C(3，0)，半徑CA=2.∵點(diǎn)A，B在圓C上，AB=，∴，即CM=1.點(diǎn)M在以C為圓心，半徑r=1的圓上.∴OM≤OC+r=3+1=4.∴，.2.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cosθ,t).(1)若a∥,且=,求向量的坐標(biāo).(2)若a∥,求的最小值.【解析】(1)因?yàn)?,又a∥,所以.所以.①又因?yàn)?,所以.②由①②得,,所以.所以.當(dāng)時(shí),(舍去),當(dāng)時(shí),,所以,所以.(2)由(1)可知,所以所以當(dāng)3．已知(1)求a與b的夾角θ.(2)求|a+b|.(3)若,,求△ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)?所以.又所以,所以,所以.又0≤θ≤π,所以θ=.(2),所以.(3)因?yàn)榕c的夾角θ=,所以∠ABC=又||=|a|=4,||=|b|=3,所以4.（15宿遷市沭陽縣銀河學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)試卷）已知圓C過點(diǎn)P（1，1），且與圓M：+=（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對稱．若Q為圓C上的一個(gè)動點(diǎn)，則·的最小值為．【考點(diǎn)】 向量在幾何中的應(yīng)用．【答案】 -4【分析】設(shè)圓心C（a，b），則，解得，則圓C的方程為+=，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得=2，故圓C的方程為+=2，設(shè)Q（x，y），則+=2，且·=（x－1，y－1）（x+2，y+2）=++x+y－4=x+y－2，令x=cosα，y=sinα，則x+y=2sin（α+）≥－2所以·=x+y－2≥－4，則·的最小值為－4.5.(2015·南昌模擬)已知向量，QUOTE,在軸上一點(diǎn)使有最小值,則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn),則,,故,因此當(dāng)=3時(shí)取最小值,此時(shí).6.(2015·宿州模擬)已知直線x+y=a與圓相交于A,B兩點(diǎn)且滿足,O為原點(diǎn).則正實(shí)數(shù)a的值為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】由可得，又,故QUOTE,所以點(diǎn)O到AB的距離d=QUOTE,所以QUOTE得|a|=2,又a>0,故a=2.7.(2015·贛州模擬)已知向量a=(cosα,2),b=(sinα,1),且a∥b,則2sinαcosα等于()A.3 B.3 C.QUOTE D.QUOTE【答案】D【分析】由a∥b得cosα=2sinα,所以tanα=QUOTE.所以2sinαcosα=.8.(2015·江淮模擬)在△ABC中,已知a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,S為△ABC的面積.若向量p=(S,a+b+c),q=(a+bc,1),滿足p∥q,則tanQUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.4【答案】D【分析】由p∥q得S=,即QUOTEabsinC=2ab+2abcosC,亦即QUOTEsinC=1+cosC,tanQUOTE=QUOTE=4.9.(2015·臨沂模擬)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),則a與b一定滿足()A.a與b的夾角等于αβ B.a⊥bC.a∥b D.(a+b)⊥(ab)【答案】D【分析】因?yàn)閍·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(αβ),這表明這兩個(gè)向量的夾角的余弦值為cos(αβ).同時(shí),也不能得出a與b的平行和垂直關(guān)系.因?yàn)橛?jì)算得到(a+b)·(ab)=0,所以(a+b)⊥(ab).10.(2015·鷹潭模擬)已知P,M,N是單位圓上互不相同的三個(gè)點(diǎn),且滿足|QUOTE|=|QUOTE|,則QUOTE·QUOTE的最小值是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【答案】B【分析】根據(jù)題意,不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(cosθ,sinθ),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(cosθ,sinθ),其中0<θ<π,則QUOTE=(cosθ1,sinθ),QUOTE=(cosθ1,sinθ),所以QUOTE·QUOTE=(cosθ1,sinθ)·(cosθ1,sinθ)====2所以當(dāng)cosθ=QUOTE時(shí),QUOTE·QUOTE有最小值QUOTE.11.(2015·寶雞模擬)在平行四邊形ABCD中,E,F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若QUOTE=λQUOTE+μQUOTE(λ,μ∈R),則的值為()A.2 B.1 C.1 D.2【答案】A【分析】如圖,第11題圖zl169令QUOTE=a,QUOTE=b,則QUOTE=a+b,①a+b,=a+QUOTEb,所以QUOTE=λQUOTE+μQUOTE==QUOTE,②由①,②得QUOTE解得λ=μ=QUOTE,故.12.(2015·銀川模擬)已知正三角形OAB中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,4),點(diǎn)A在第一象限,向量m=(1,0),記向量m與向量QUOTE的夾角為α,則sinα的值為.【答案】【分析】設(shè)向量QUOTE與x軸正向的夾角為β,則α+β=π+QUOTE=QUOTE,且有sinβ=QUOTE,cosβ=QUOTE,sinα=sin(πα)=sinQUOTE=QUOTEsinβQUOTEcosβ=QUOTE×QUOTEQUOTE×QUOTE=QUOTE.13.(2015·九江模擬)在銳角△ABC中,AC=BC=2,QUOTE=xQUOTE+yQUOTE(其中x+y=1),函數(shù)f(λ)=|QUOTEλQUOTE|的最小值為QUOTE,則|QUOTE|的最小值為.【答案】【分析】如圖所示:第13題圖zl170設(shè)λQUOTE=QUOTE,所以|QUOTEλQUOTE|=|QUOTEQUOTE|=|QUOTE|,由于QUOTE=λQUOTE,所以點(diǎn)D在直線BC上,所以f(λ)=|QUOTE|,結(jié)合圖形知:當(dāng)AD⊥BC時(shí),f(λ)取最小值,即=|QUOTE|sin∠ACB=2sin∠ACB=QUOTE,所以sin∠ACB=QUOTE,由于∠ACB為銳角,所以∠ACB=QUOTE,因?yàn)镃A=CB,所以△ABC為等邊三角形,因?yàn)镼UOTE=xQUOTE+yQUOTE,且x+y=1,所以點(diǎn)O,A,B三點(diǎn)共線,所以當(dāng)CO⊥AB時(shí),|QUOTE|取最小值,所以=|QUOTE|sin∠BAC=2sinQUOTE=QUOTE.14.(2015·西安模擬)已知向量a=QUOTE,QUOTE=ab,QUOTE=a+b,若△OAB是等邊三角形,則△OAB的面積為.【答案】【分析】因?yàn)閍=QUOTEQUOTE=ab,QUOTE=a+b,所以QUOTE+QUOTE=(ab)+(a+b)=2a=(1,QUOTE),所以|QUOTE+QUOTE|=QUOTE=2.所以等邊三角形OAB的高為1,邊長為QUOTE,因此其面積為.15.(2015·上饒模擬)已知a=(sinx,1),b=(cosx,QUOTE),若f(x)=a·(ab),求:(1)f(x)的最小正周期及對稱軸方程.(2)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(3)當(dāng)x∈QUOTE時(shí),函數(shù)f(x)的值域.【解】（1）因?yàn)閍=(sinx,1),b=QUOTE,所以ab=QUOTE,所以f(x)=a·(ab)=sinx(sinxcosx)+QUOTE=sinxcosx+QUOTE=QUOTEQUOTEsin2x+QUOTE=2QUOTE(sin2x+cos2x)=2QUOTEsinQUOTE,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T==π,令=QUOTE+kπ(k∈Z),解得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z),所以函數(shù)f(x)對稱軸方程為x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).(2)因?yàn)閒(x)=2QUOTEsinQUOTE,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為函數(shù)y=sin的單調(diào)減區(qū)間,令QUOTE+2kπ2x+QUOTEQUOTE+2kπ(k∈Z),即得QUOTE+kπxQUOTE+kπ(k∈Z),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z).(3)令2x+QUOTE=t∈QUOTE,所以原式化為f(t)=2QUOTEsintQUOTE,因?yàn)閠∈QUOTE,所以QUOTEsint1,即得2QUOTEf(t)QUOTE,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上的值域?yàn)镼UOTE.16.(2015·南昌模擬)已知向量a=(QUOTE,QUOTEsinx+QUOTEcosx)與b=(1,y)共線,設(shè)函數(shù)y=f(x).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若有fQUOTE=QUOTE,邊BC=QUOTE,sinB=QUOTE,求△ABC的面積.【解】(1)因?yàn)閍與b共線,所以QUOTEyQUOTE=0,則y=f(x)=2sinQUOTE,所以f(x)的最小正周期T=2π,當(dāng)x=2kπ+QUOTE,k∈Z時(shí),=2.(2)因?yàn)閒QUOTE=QUOTE,所以2sinQUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE.因?yàn)?<A<QUOTE,所以A=QUOTE.由正弦定理得QUOTE，又sinB=QUOTE,所以AC=QUOTE=2,且sinC=QUOTE,所以=QUOTEAC·BC·sinC=QUOTE.17．(2015·成都模擬)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(a+c,ba),n=(ac,b),且m⊥n.(1)求角C的大小.(2)若向量s=(0,1),t=QUOTE,試求|s+t|的取值范圍.【解】(1)由題意得m·n=(a+c,ba)·(ac,b)=ab=0,即=ab.由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE.因?yàn)?<C<π,所以C=QUOTE.(2)因?yàn)閟+t=QUOTE=(cosA,cosB),所以==QUOTEsinQUOTE+1.因?yàn)?<A<QUOTE,所以QUOTE<2AQUOTE<QUOTE,所以QUOTE<sinQUOTE1.所以QUOTE<QUOTE,故QUOTE|s+t|<QUOTE.18.(2015·九江模擬)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,m=(2a+c,bn=(cosB,cosC),且m·n=0.(1)求角B的大小.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2xcos(A+C)QUOTEcos2x,求函數(shù)f(x)的最小正周期,最大值及當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)x的值.【解】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以2sinAcos