結(jié)構(gòu)動力學(xué)講義八

第二章

單自由度系統(tǒng)的振動5/17/20231§2－1單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動

§2－2單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動

§2－3單自由度系統(tǒng)簡諧荷載作用下的

受迫振動

§2－4一般荷載作用下的響應(yīng)

主要內(nèi)容5/17/20232§1.1單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動

系統(tǒng)的自由振動規(guī)律反映了系統(tǒng)的動力特性，這些動力特性和它在振動荷載作用下的響應(yīng)有密切關(guān)系，所以分析自由振動具有重要意義。自由振動：無外界干擾的體系振動形態(tài)稱為自由振動（freevibration）。5/17/20233無阻尼自由振動：如果阻尼系數(shù)等于零，則這種自由振動稱為無阻尼自由振動。（undampedfreevibration）假設(shè)由于外界干擾，質(zhì)點離開平衡位置，干擾消失后，質(zhì)點將圍繞靜力平衡點作自由振動。5/17/20234..單自由度體系動力分析的重要性①具有實際應(yīng)用價值，或進行初步的估算。②多自由度體系動力分析的基礎(chǔ)。自由振動(freevibration)：振動過程中沒有干擾力作用，振動是由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的。一、自由振動微分方程的建立（依據(jù)原理：達朗伯原理）mky(t)y(t)1、剛度法(stiffnessmethod)kmymky從力系平衡建立的自由振動微分方程2、柔度法(flexibilitymethod)從位移協(xié)調(diào)角度建立的自由振動微分方程取振動體系為研究對象，慣性力：δ=1/k....(D’Alember’sprinciple)5/17/20235二、自由振動微分方程的解)(mk=w)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=T=yCyycossin)(21ww+=tCtCtyy(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω)(0akyym=+

..02yy=+Tw..)0(010w=T=vCvy

.5/17/20236（1）自由振動的解

單自由度體系無阻尼自由振動微分方程為：令，則上式改寫為：齊次微分方程，其通解為：5/17/20237

系數(shù)和可由初始條件（initialcondition）確定。設(shè)在初始時刻時，有初始位移和初始速度，即：求得：5/17/20238于是：或：簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)形式A：振幅，：初相位角。5/17/20239（a）沒有初始速度，僅由初始位移引起的振動按的規(guī)律變化；（b）沒有初始位移，僅由初始速度引起的振動按的規(guī)律變化;比較兩式得：（c）既有初始位移，又有初始速度引起的振動形態(tài)按方程進行。5/17/2023105/17/202311（2）單自由度系統(tǒng)的動力特性（1）周期T：經(jīng)過一個周期T后，質(zhì)點又回到了原來的位置，因此周期T稱為自振周期或固有周期（naturalperiold），單位為s。（2）圓頻率：自由振動的圓頻率（circularfrequency），它是反映系統(tǒng)動力特性的一個重要參數(shù)，單位為rad/s。5/17/202312（3）工程頻率f

：，單位為Hz。計算自振周期的幾種形式：（1）由周期和圓頻率的定義可知：（2）將代入上式，得：5/17/202313（3）將代入上式，得：（4）令，得：5/17/202314結(jié)構(gòu)自振動周期重要性質(zhì)：（1）自振動周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，而且只與這兩者有關(guān)，與外界干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力的大小只能影響振幅A的大小，而對結(jié)構(gòu)自振周期T的大小沒影響。5/17/202315（2）自振周期與質(zhì)量平方根成正比，質(zhì)量越大，則周期越大；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，則周期越小。要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度。5/17/202316（3）自振周期是結(jié)構(gòu)動力性能的一個重要的數(shù)量標(biāo)志。a、兩個外表相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差很大，則動力性能相差很大；b、兩個外表看來并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動荷載作用下其動力性能基本一致。地震中常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象。5/17/202317圓頻率的計算公式：圓頻率也僅與結(jié)構(gòu)參數(shù)k和m有關(guān)，即僅與結(jié)構(gòu)體系本身的固有性質(zhì)有關(guān)，而與初始干擾無關(guān)，故稱為固有頻率或自振頻率。5/17/202318例2-1:求剛架的自振頻率，不考慮橫梁的變形。5/17/202319

解：使橫梁發(fā)生單位位移所需外力k為:自振頻率：5/17/202320例2-分2懸臂梁湊長度L怒=1米硬，其末慢端裝一椒重量Q藝=12凝21N否的電動狼機，梁抖為鋼梁爭，彈性歸模量E屯=2.炒1×1泊011N/m2，慣性萌矩I=途78×純10-8m4，與陸電動晉機重趁量相挽比梁您的重愚量可仗以略可去。街求結(jié)土構(gòu)的鎮(zhèn)自振但圓頻爸率及貍周期究。5/4垮/20婦2321解：懸臂育梁在至豎向終力Q作用揭下，裙端部把的豎請向位勢移為自振頻六率：自振周忠期：（s酸）5/襪4/選20沙2322例2擠-3遠:梁A歌B支舍承如此下圖破所示戚，重宮量可濃以不毛計。喚在梁慎的中點點置律一重罩為W督的物甜體M束時，弱其靜雅撓度繪為yst?，F(xiàn)稼將物毅體M影從高江h(huán)處牧自由劍釋放猜，落撥到梁惕的中會點處絡(luò)，求寸該系氧統(tǒng)振納動的癥規(guī)律氧。5/惑4/擠20掉2323解：取O宿點為缸坐標(biāo)摘原點昆，x恨軸鉛芬直向遭下，電則M斜點的傍運動純規(guī)律搬可表鋤為:則，充系統(tǒng)威振幅迎和初喊相角盒為：因物體盡落到C漏點后才陪開始振臨動，所始以5/4慢/20并2324于是另外，漲需求出凳自振圓批頻率：5/票4/當(dāng)20梯2325例如突，設(shè)，則故所擁要求與的運奏動規(guī)榮律為品：5/4網(wǎng)/20誓2326如果h否=0，郵即將物掙體無初漏速地放媽置在梁勸中點，則，對比以雄上結(jié)果陳可見，裹物體從音10c號m高處奶落到梁毅上所引展起的振紀(jì)動的振念幅是將恰物體突評然放到眼梁上所柏引起的久振動振勻幅的7倍（2.牛86澡/0蘋.4）。5/愈4/女20切2327§1虎.2媽單翠自由即度系慎統(tǒng)的登1蒙有阻相尼自既如果體系內(nèi)存在阻尼，單自由度體系的自由振動微分方程為:令：5/宗4/顧20潑2328則方匯程可政改寫愚為：設(shè)方程服解的形摸式為：特征沉方程意：特征脈方程出的解接為：5/罰4/釘20虜2329的通博解為纏：C1和C2為兩個鄰積分常號數(shù)，由億初始條睬件確定辭。有阻尼樂自由振產(chǎn)動的特錢性與根介式（五）垂的符號管有關(guān)。所對競應(yīng)的訪阻尼至系數(shù)貸c稱墨為臨裙界阻賢尼系只數(shù)，筑記為擦ccr，其安計算要公式汗為：5/僅4/拘20展2330稱為阻箱尼比（周dam賀pin董gr旱ati震o）反映了阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。一般結(jié)構(gòu)或構(gòu)件：<5%,阻尼比是測出的。5/4嘉/20收2331（1塞）當(dāng)娛＜啊1時體系狗的阻貪尼系柄數(shù)小孫于臨筍界阻古尼系元數(shù)，統(tǒng)稱為懷低阻嶄尼體珍系（設(shè)un喉de釀r畜da漢mp慰in禿g）費。式朵可寫撓為法:其中驢，關(guān)稱為鼻阻尼忌固有鬼頻率收。振動微胃分方程

5/4柳/20解2332或：其中佳：A1及A2或燈A親及直由晨初始劈燕條件貧確定再。設(shè)當(dāng)拋t=0巴時，膜初始位顫移棒，者初始速男度聯(lián)，將此騙初始條啊件代入箏方程解竟，可得：5/4誦/20尊2333或：表示低彼阻尼下槽的自由油振動，郊不是一麻個嚴格返的周期顧振動，情是一個刷減幅的作往復(fù)運的動，可解稱為準(zhǔn)程周期振車動，其證往復(fù)一唇次的周幼期時間倦為：衰減因子阻尼浙對周軋期影判響？5/4伴/20蒸2334其衰噸減簡熄諧運污動如激下圖踩所示圍。在容有阻閉尼自狀由振赤動中講，由察于阻譜尼不伙斷消幸耗能炮量又主沒有賞外界最能量籍補充惡，因沃5/幫4/仍20研2335（a）阻尼臨對固擴有頻倘率的屑影響有阻傷尼和撓無阻蔥尼的柏固有叼頻率尸和絞間戶的關(guān)掌系由江式田確扔定。冒在傘＜若1的殃低阻孕尼情央況下遷，行恒管小于起，而嘴且墊隨半的增軋大而獄減小搏。5/4飯/20勸2336但一咳般材育料的其阻尼杏比都遭很小賤，例枕如鋼扎（）奔,木局材（犬0.裹04掩），疤混凝賓土（?。┑确?。對鋤一般椅建筑捐結(jié)構(gòu)失，其稠阻尼仆比約飼在之繁間。夠如果姜＜0改.2濁則0值.9植6＜杠＜1鉛，即言與援的值累很接急近。蔑所以待說阻尼鍛對固說有頻泄率的紙影響河很小界，一般可霧認為急。阻尼對斤固有頻芳率基本另無影響扒！5/遇4/酬20據(jù)2337（b）阻尼脫對振柜幅的副影響振幅為通，槐阻尼比學(xué)出現(xiàn)在攪指數(shù)項守，對振擋幅有較天大影響駱。經(jīng)過一舉個周期觸T后，能相鄰兩川個振幅頓與轎比么值為：值愈大痕，振幅吳衰減速僅度愈快代。5/胃4/間20面2338兩邊集進行磁對數(shù)舊變換引后可反得：如果鋤＜0.菌2，則本，5/詠4/憲20穗2339稱為議對數(shù)碰衰減寸率（出lo撲ga宮ri禾th勺mi遼c況de本cr膀em溪en筑t）桌，表四征系猜統(tǒng)的內(nèi)阻尼洲情況搏，用必符號脊表示斗，定燙義為蒸兩個啦相鄰悠的同弦號位千移值所之比鋪的自已然對什數(shù)，曲即:對數(shù)衰種減率與歪阻尼比友只差一成個常數(shù)擱倍。5/4觀/20散2340用非和損表控示兩個鞋相隔n貢個周期腎的振幅渠，可得賴：當(dāng)誰＜白0.2鋪時，即鼠時，對于阻惜尼較小候的體系熱，取相魚隔幾周穴的響應(yīng)熱峰值來壩計算阻團尼比，奇可以獲憑得更高壞的精度為。5/4恐/20戰(zhàn)2341（2）當(dāng)捐=1伍時體系阻惰尼等于設(shè)初始條件：t=0時初始位移為，初始速度為，則：5/疤4/蠟20易2342因此喇：運動5/鍵4/蠻20蔬2343（3）當(dāng)擴＞登1時體系的畏阻尼大擺于臨界秀阻尼時趨，稱為超阻尼守體系（o考ve暴r丈da暗mp姑in恐g）漠。這市時方海程的喚特征銷根為5/齊4/乓20振2344相應(yīng)灑的通壟解為升:設(shè)t季=0時暢，初始遼位移稱謀為孔，初諸始速度擠為袋，待定究系數(shù)掏為：故：5/戀4/巨20隆2345運動也稿不再呈機振動形傭式，而贊是按指說數(shù)規(guī)律歉隨時間凡t的增羅大而逐悠漸衰減亦以至消桿失。圖表示逃時提的時棋程曲線異。從該雙圖可以奪看到，偏系統(tǒng)不界出現(xiàn)振崇動現(xiàn)象姜，同時扶以朗時抹衰減得膽最快。5/若4/壩20棵23462阻尼逝的量霞測下圖為奇自由振導(dǎo)動衰減航曲線。博若由實冰驗得到歸此曲線乖就可用胞來確定嗽阻尼比礎(chǔ)。5/4里/20抄2347如果博＜0肉.2板，則，若考慮栗兩相鄰摸幅值：為了鹽獲得漆更高續(xù)的精疊度和圍避免迎偶然廳因素厘產(chǎn)生扯的誤差，可卵以量測荒相隔m春個周期提的兩個極幅值。自由欄振動扒法5/短4/敘20輝23