江蘇省無錫市懷仁中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

江蘇省無錫市懷仁中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題則是

（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C略2.在△ABC中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．已知a=b，A-B=，則角C=（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)條件，直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】在△ABC中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．已知a=b，A-B=，則：sinA=，故：，整理得：，所以：tanB=，由于：0＜B＜π，故：B=．，則：故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．3.設(shè)，，在中正數(shù)的個數(shù)是()A.25 B.50 C.75 D.100參考答案：D【分析】由于的周期，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，，，…，，，，…，，單調(diào)遞減，，…都為負(fù)數(shù)，但是，，…，，從而可判斷的符號，同理可判斷的符號.【詳解】由于周期，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，，…，，，，，…，，且，…但是單調(diào)遞減，都為負(fù)數(shù)，但是，，…，∴，，…，中都為正，且，，…，都為正，同理，，…，都為正，且，…，都為正，即個數(shù)為100，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的應(yīng)用，數(shù)列求和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正弦函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于中檔題.4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)位于第（）象限．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的意義、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)==i+1，則=1﹣i對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)（1，﹣1）位于第四象限．故選：D．5.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，它在集合學(xué)中的研究比西方早1千年，在《九章算術(shù)》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑，已知某“鱉臑”的三視圖如圖所示，則該鱉臑的外接球的表面積為（）A．200π B．50π C．100π D．π參考答案：B【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體；簡單空間圖形的三視圖．【分析】幾何體復(fù)原為底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐，擴(kuò)展為長方體，長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求其的表面積．【解答】解：由三視圖復(fù)原幾何體，幾何體是底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐；擴(kuò)展為長方體，也外接與球，它的對角線的長為球的直徑：=5該三棱錐的外接球的表面積為：=50π，故選B．【點(diǎn)評】本題考查三視圖，幾何體的外接球的表面積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．6.圓E經(jīng)過三點(diǎn)A（0，1），B（2，0），C（0，﹣1），且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．（x﹣）2+y2= B．（x+）2+y2=C．（x﹣）2+y2= D．（x﹣）2+y2=參考答案：C【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為（a，0）（a＞0），半徑為r；利用待定系數(shù)法分析可得，解可得a、r的值，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為（a，0）（a＞0），半徑為r；則有，解可得a=，r2=；則要求圓的方程為：（x﹣）2+y2=；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要用待定系數(shù)法進(jìn)行分析，關(guān)鍵是求出圓心的坐標(biāo)以及半徑．7.已知集合A={}，Z為整數(shù)集，U=R，則A.

B.

C.CU

D.CU參考答案：C∵集合∴集合，∵為整數(shù)集∴，，，故選C

8.已知全集，A={3,4,5}，，則A.{5,6} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,3,4,5}參考答案：B9.設(shè)a，b，c是空間三條直線，，是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是（）A．當(dāng)c⊥時，若c⊥，則∥B．當(dāng)時，若b⊥，則C．當(dāng)，且c是a在內(nèi)的射影時，若b⊥c，則a⊥bD．當(dāng)，且時，若c∥，則b∥c參考答案：答案：B10.若全集U＝R，集合，，則集合

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若在上恒正，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：12.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，則=

．參考答案：1【考點(diǎn)】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案為：1．13.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），若（﹣，0）為f（x）的圖象的對稱中心，x=為f（x）的極值點(diǎn)，且f（x）在（，）單調(diào)，則ω的最大值為．參考答案：5【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的對稱性．【分析】由函數(shù)的對稱性可知：ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，ω?+φ=n′π+，n′∈Z，相減可得ω=2k+1，即ω為奇數(shù)，f（x）在（，）單調(diào)，ω×+φ≥2kπ+，且ω?+φ≤2π+，求得ω≤8，由ω=7時，求得φ的值，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由f（x）=sin（7x﹣）在（，）不單調(diào)，不滿足題意，同理求得當(dāng)ω=5時，滿足題意，即可求得ω的最大值．【解答】解：由（﹣，0）為f（x）的圖象的對稱中心，則ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，x=為f（x）的極值點(diǎn)即為函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸，∴ω?+φ=n′π+，n′∈Z，∴相減可得ω?=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω為奇數(shù)，f（x）在（，）單調(diào)，ω×+φ≥2kπ+，且ω?+φ≤2π+，∴ωπ≤π，ω≤8，當(dāng)ω=7時，7（﹣）+φ=nπ，|φ|≤，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（7x﹣）在（，）不單調(diào)，不滿足題意，當(dāng)ω=5時，5（﹣）+φ=nπ，|φ|≤，φ=，f（x）=sin（5x+）在（，）單調(diào)，滿足題意，∴ω的最大值為5．故答案為：5．14.曲線在點(diǎn)(-1,-1)處的切線方程為

。參考答案：15.已知函數(shù)，定義函數(shù)給出下列命題：①；②函數(shù)是奇函數(shù)；③當(dāng)時，若，，總有成立，其中所有正確命題的序號是

.

參考答案：②、③16.如果對一切都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：17.函數(shù)y=的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值．【分析】直接利用換元法，通過三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化函數(shù)為二次函數(shù)，即可得出．【解答】解：由題意，設(shè)sinx+cosx=t，∵sinx+cosx=sin（x+）=t，∴≤t，且t≠0．那么：sin2x=t2﹣1函數(shù)y轉(zhuǎn)化為：f（t）=，（≤t，且t≠0）∴f（t）的最大值為：，即函數(shù)y的最大值為．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖,四棱錐P-ABCD中，，，，，．（1）求證：平面PBD⊥平面PBC；（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面ABM與平面PBD所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．參考答案：（1）見證明；（2）見解析【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算BC，根據(jù)勾股定理可得BC⊥BD，結(jié)合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC；（2）建立空間坐標(biāo)系，設(shè)λ，計(jì)算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夾角的余弦值的絕對值等于，解方程得出λ的值,即可得解．【詳解】（1）證明：因四邊形為直角梯形，且,,,所以，又因?yàn)?。根?jù)余弦定理得所以，故.又因?yàn)?,且,平面，所以平面，又因?yàn)槠矫鍼BC，所以（2）由（1）得平面平面,設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?所以,,又平面平面，平面平面，平面.如圖，以為原點(diǎn)分別以，和垂直平面的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，假設(shè)存在滿足要求，設(shè)，即，所以易得平面的一個法向量為.設(shè)為平面的一個法向量，，由得，不妨取.因?yàn)槠矫媾c平面所成的銳二面角為，所以，解得，（不合題意舍去）.故存在點(diǎn)滿足條件，且.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及平面與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，也可以建系來做。19.某市食品藥品監(jiān)督管理局開展2019年春季校園餐飲安全檢查，對本市的8所中學(xué)食堂進(jìn)行了原料采購加工標(biāo)準(zhǔn)和衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的檢查和評分，其評分情況如下表所示：中學(xué)編號12345678原料采購加工標(biāo)準(zhǔn)評分x10095938382757066衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)評分y8784838281797775（1）已知x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（精確到0.1）（2）現(xiàn)從8個被檢查的中學(xué)食堂中任意抽取兩個組成一組，若兩個中學(xué)食堂的原料采購加工標(biāo)準(zhǔn)和衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的評分均超過80分，則組成“對比標(biāo)兵食堂”，求該組被評為“對比標(biāo)兵食堂”的概率．參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，．參考答案：（1）；（2）．（1）由題意得：，，，．故所求的線性回歸方程為．（2）從8個中學(xué)食堂中任選兩個，共有28種結(jié)果：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中原料采購加工標(biāo)準(zhǔn)的評分和衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的評分均超過80分的有10種結(jié)果：，，，，，，，，，，所以該組被評為“對比標(biāo)兵食堂”的概率為．20.（本小題滿分12分） 如圖，平面平面ABCD，，點(diǎn)E在線段AD上移動． （Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時，求證：EF//平面PBD； （Ⅱ）求證：無論點(diǎn)E在線段AD的何處，總有．參考答案：（Ⅰ）證明：在三角形中，， 所以是的中點(diǎn)，連接，………………2分 在中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)， 所以

…………………4分 又

所以//平面．……………6分 （Ⅱ）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?， , 所以平面

……8分 又,所以,又， ,, 所以……10分 又

所以 所以無論點(diǎn)在線段的何處，總有．…………12分21.（本小題滿分12分）

是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，．（Ⅰ）求、的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。參考答案：（Ⅰ）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有

且

解得，．

所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得，．22.已知圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同單位長度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直線l過原點(diǎn)，且它的傾斜角α=，求l與圓E的交點(diǎn)A的極坐標(biāo)（點(diǎn)A不是坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）直線m過線段OA中點(diǎn)M，且直線m交圓E于B、C兩點(diǎn)，求||MB|﹣|MC||的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）由直線l的傾斜角α=，可得直線l的極角θ=，或θ=．代入圓E的極坐標(biāo)方程即可得出．（2）由（1）可得：線段OA的中點(diǎn)M，可得直角坐標(biāo)M．又圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線l的參數(shù)方向?yàn)椋海╰為參數(shù)），代入圓的方程可得關(guān)于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）∵直線l的傾斜角α=，∴直線l的極角θ=，或θ=．代入圓E的極坐標(biāo)方程ρ=