巧用初等變換求解分塊矩陣

巧用初等變換求解分塊矩陣巧用初等變換求解分塊矩陣/NUMXII內(nèi)容摘要：本文把數(shù)字矩陣的初等變換推廣到分塊矩陣中，并且運(yùn)用分塊初等變換求矩陣的逆、矩陣的行列式、矩陣的秩是高等代數(shù)中常見(jiàn)的問(wèn)題。而對(duì)于高階矩陣而言，這些問(wèn)題的求解過(guò)于困難，因此用分塊矩陣的初等變換來(lái)解決有關(guān)分塊矩陣的問(wèn)題比較方便，本文總結(jié)如何使用初等變換求矩陣的逆、矩陣的行列式、矩陣的秩。關(guān)鍵詞：分塊矩陣初等變換分塊初等變換目錄TOC\o\h\z\u引言 11矩陣初等變換及矩陣分塊的相關(guān)概念 11.1矩陣的初等變換 11.2初等變換 1.3分塊矩陣 1.4分塊初等變換 1.5分塊初等矩陣 2應(yīng)用分塊初等變換求解行列式 3應(yīng)用分塊初等變換求矩陣的逆 4應(yīng)用分塊初等變換求矩陣的秩 6結(jié)束語(yǔ) 參考文獻(xiàn) 致

謝 引言利用分塊矩陣處理階數(shù)較高的矩陣，是一種常用的方法，在證明相關(guān)問(wèn)題時(shí)能帶來(lái)很多方便，在矩陣的應(yīng)用中,矩陣的初等變換起著關(guān)鍵作用.關(guān)于矩陣初等變換的應(yīng)用,本文歸納了初等變換在求分塊矩陣的秩,矩陣的逆,矩陣的行列式中的方法。1矩陣的初等變換與分塊矩陣的相關(guān)概念1.1矩陣的初等變換定義1：對(duì)矩陣施行以下三種變換,稱(chēng)為矩陣的初等行（列）變換:(1)對(duì)調(diào)矩陣的兩行(列);(2)以一個(gè)常數(shù)乘矩陣的某行(列)中的所有元素（）;(3)把某行(列)的元素的倍加上另一行(列）的對(duì)應(yīng)元素上.1.2初等矩陣單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換（以上3種）得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣：(1)交換的第行與第行(或第列與第列)得到的初等矩陣，記作：;(2)用非零常數(shù)乘的第行(或第列)得到的初等矩陣，記作：（或）;(3)的第行的倍加到第行(或第列的倍加到列)得到的初等矩陣記作：。1.3分塊矩陣將一個(gè)高階矩陣用若干條橫線(xiàn)和豎線(xiàn)分成許多塊，每一塊矩陣稱(chēng)為的子矩陣。以子矩陣為元素的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣。例如，我們將矩陣分塊，==是一分塊矩陣，其中,,,均表示一個(gè)矩陣。交換分塊矩陣的兩行（或兩列）；用一個(gè)可逆矩陣乘分塊矩陣的某一行（或某一列）；用某一矩陣乘某一行（或列）加到另一行（或列）上去；1.5分塊初等矩陣將單位矩陣如下進(jìn)行分塊,對(duì)分塊后的單位矩陣做一次分塊初等變換所得的矩陣稱(chēng)之為分塊初等矩陣。根據(jù)所做的分塊初等變換不同，分塊初等矩陣有如下三種類(lèi)型：；或；或.其中為可逆矩陣。2.運(yùn)用分塊矩陣初等變換求解行列式例1、已知均是階矩陣且，，.證明：==.設(shè)是階矩陣，為階單位矩陣，用左乘,得=因?yàn)?，故存?令得，代入式,等式兩邊同時(shí)取行列式得：,即得====。所以，命題得證例2、設(shè)、均為階方陣，證明:證明：依據(jù)分塊矩陣初等變換得：左右兩邊分別乘一個(gè)單位矩陣得：兩邊同時(shí)取行列式得：例3求行列式的值.解將P進(jìn)行分塊，得，其中,,,.由于=.3.分塊矩陣初等變換求解分塊矩陣的逆將初等變換求逆矩陣的方法推廣到分塊矩陣中去。例1、求=的逆，其中,可逆。解：所以，=.例2、設(shè)、可逆，求分塊矩陣的逆矩陣解：所以，例3、已知分塊矩陣可逆，其中為塊，為塊，其中、都可逆，求證：解：所以，=例4、求矩陣=的逆矩陣，其中.解：令=，則=，由知可逆所以，=， =，所以 =.4.分塊矩陣初等變換求解分塊矩陣的秩秩=秩秩秩特別，秩=秩=秩秩秩秩秩秩秩例1、設(shè)是矩陣的可逆順序主子陣，證明：.證明：由于因?yàn)槭强赡婢仃?，所?所以，命題得證例2、設(shè)是的實(shí)矩陣，求證：秩-證明：因?yàn)?，所以秩?秩（1）又因?yàn)?，所以秩?秩（2）由（2）-（1）得：秩秩=所以，結(jié)論得證結(jié)束語(yǔ)參考文獻(xiàn)：[1]王萼芳,石生明.高等代數(shù)（第3版），北京：高等教育出版社，2003.9:181-197[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)（第5版），北京：高等教育出版社，2007.6:200-210[3]錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹（第2版）中央民族大學(xué)出版版社，2002:161-172[4]吳云，徐小湛.分塊矩陣的初等變換，工科數(shù)學(xué)，1997.8，第13卷第四期[5[6]巫永萍.分塊矩陣的初等變換在分塊矩陣中的應(yīng)用[J].龍巖師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2004：5-6[7]應(yīng)建軍.分塊矩陣初等變換及其在行列式，逆和秩中的應(yīng)用.考試周刊，2012年19期.44-45參考文獻(xiàn)：[1]王萼芳,石生明.高等代數(shù)（第3版），北京：高等教育出版社，2003.9:181-197[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)（第5版），北京：高等教育出版社，2007.6:200-210[3]錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹（第2版）中央民族大學(xué)出版版社，2002:161-172[4]陳洪明，宋波.高等代數(shù)同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解，北京：中國(guó)水利水電出版社，2009:96-101[5]吳云，徐小湛.分塊矩陣的初等變換，工科數(shù)學(xué)，1997.8，第13卷第四期[6[7]巫永