巧用初等變換求解分塊矩陣

巧用初等變換求解分塊矩陣巧用初等變換求解分塊矩陣/NUMXII內容摘要：本文把數字矩陣的初等變換推廣到分塊矩陣中，并且運用分塊初等變換求矩陣的逆、矩陣的行列式、矩陣的秩是高等代數中常見的問題。而對于高階矩陣而言，這些問題的求解過于困難，因此用分塊矩陣的初等變換來解決有關分塊矩陣的問題比較方便，本文總結如何使用初等變換求矩陣的逆、矩陣的行列式、矩陣的秩。關鍵詞：分塊矩陣初等變換分塊初等變換目錄TOC\o\h\z\u引言 11矩陣初等變換及矩陣分塊的相關概念 11.1矩陣的初等變換 11.2初等變換 1.3分塊矩陣 1.4分塊初等變換 1.5分塊初等矩陣 2應用分塊初等變換求解行列式 3應用分塊初等變換求矩陣的逆 4應用分塊初等變換求矩陣的秩 6結束語 參考文獻 致

謝 引言利用分塊矩陣處理階數較高的矩陣，是一種常用的方法，在證明相關問題時能帶來很多方便，在矩陣的應用中,矩陣的初等變換起著關鍵作用.關于矩陣初等變換的應用,本文歸納了初等變換在求分塊矩陣的秩,矩陣的逆,矩陣的行列式中的方法。1矩陣的初等變換與分塊矩陣的相關概念1.1矩陣的初等變換定義1：對矩陣施行以下三種變換,稱為矩陣的初等行（列）變換:(1)對調矩陣的兩行(列);(2)以一個常數乘矩陣的某行(列)中的所有元素（）;(3)把某行(列)的元素的倍加上另一行(列）的對應元素上.1.2初等矩陣單位矩陣經過一次初等變換（以上3種）得到的矩陣稱為初等矩陣：(1)交換的第行與第行(或第列與第列)得到的初等矩陣，記作：;(2)用非零常數乘的第行(或第列)得到的初等矩陣，記作：（或）;(3)的第行的倍加到第行(或第列的倍加到列)得到的初等矩陣記作：。1.3分塊矩陣將一個高階矩陣用若干條橫線和豎線分成許多塊，每一塊矩陣稱為的子矩陣。以子矩陣為元素的矩陣稱為分塊矩陣。例如，我們將矩陣分塊，==是一分塊矩陣，其中,,,均表示一個矩陣。交換分塊矩陣的兩行（或兩列）；用一個可逆矩陣乘分塊矩陣的某一行（或某一列）；用某一矩陣乘某一行（或列）加到另一行（或列）上去；1.5分塊初等矩陣將單位矩陣如下進行分塊,對分塊后的單位矩陣做一次分塊初等變換所得的矩陣稱之為分塊初等矩陣。根據所做的分塊初等變換不同，分塊初等矩陣有如下三種類型：；或；或.其中為可逆矩陣。2.運用分塊矩陣初等變換求解行列式例1、已知均是階矩陣且，，.證明：==.設是階矩陣，為階單位矩陣，用左乘,得=因為，故存在.令得，代入式,等式兩邊同時取行列式得：,即得====。所以，命題得證例2、設、均為階方陣，證明:證明：依據分塊矩陣初等變換得：左右兩邊分別乘一個單位矩陣得：兩邊同時取行列式得：例3求行列式的值.解將P進行分塊，得，其中,,,.由于=.3.分塊矩陣初等變換求解分塊矩陣的逆將初等變換求逆矩陣的方法推廣到分塊矩陣中去。例1、求=的逆，其中,可逆。解：所以，=.例2、設、可逆，求分塊矩陣的逆矩陣解：所以，例3、已知分塊矩陣可逆，其中為塊，為塊，其中、都可逆，求證：解：所以，=例4、求矩陣=的逆矩陣，其中.解：令=，則=，由知可逆所以，=， =，所以 =.4.分塊矩陣初等變換求解分塊矩陣的秩秩=秩秩秩特別，秩=秩=秩秩秩秩秩秩秩例1、設是矩陣的可逆順序主子陣，證明：.證明：由于因為是可逆矩陣，所以=所以，命題得證例2、設是的實矩陣，求證：秩-證明：因為，所以秩秩=秩（1）又因為，所以秩秩=秩（2）由（2）-（1）得：秩秩=所以，結論得證結束語參考文獻：[1]王萼芳,石生明.高等代數（第3版），北京：高等教育出版社，2003.9:181-197[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數（第5版），北京：高等教育出版社，2007.6:200-210[3]錢吉林.高等代數題解精粹（第2版）中央民族大學出版版社，2002:161-172[4]吳云，徐小湛.分塊矩陣的初等變換，工科數學，1997.8，第13卷第四期[5[6]巫永萍.分塊矩陣的初等變換在分塊矩陣中的應用[J].龍巖師專學報，2004：5-6[7]應建軍.分塊矩陣初等變換及其在行列式，逆和秩中的應用.考試周刊，2012年19期.44-45參考文獻：[1]王萼芳,石生明.高等代數（第3版），北京：高等教育出版社，2003.9:181-197[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數（第5版），北京：高等教育出版社，2007.6:200-210[3]錢吉林.高等代數題解精粹（第2版）中央民族大學出版版社，2002:161-172[4]陳洪明，宋波.高等代數同步輔導及習題全解，北京：中國水利水電出版社，2009:96-101[5]吳云，徐小湛.分塊矩陣的初等變換，工科數學，1997.8，第13卷第四期[6[7]巫永