2022年山西省晉中市下莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022年山西省晉中市下莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，且對任意的實數(shù)x、y，等式恒成立，若數(shù)列滿足，且，則的值為(

)

A.4017

B.4018

C.4019

D.4021參考答案：D2.如圖所示，一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個直徑為2的圓，則這個幾何體的全面積是（）A．2π B．4π C．6π D．8π參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由已知可得該幾何體為圓柱，將半徑和高代入圓柱表面積公式，可得答案．【解答】解：由已知可得該幾何體為圓柱，底面直徑為2，半徑r=1，高h(yuǎn)=2，故全面積S=2πr（r+h）=6π，故選：C．3.已知直線與（）A．相交 B．平行 C．異面 D．共面或異面參考答案：B4.若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B5.已知,為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，然后利用特殊點(diǎn)對選項進(jìn)行排除，由此得出正確選項.【詳解】依題意，令，則.由于，故排除C選項.由于，故在處導(dǎo)數(shù)大于零，故排除B,D選項.故本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎(chǔ)題.6.下列命題正確的是（

）A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

參考答案：D，選項A中忽略了當(dāng)?shù)那闆r，故A錯；選項B的結(jié)論中不等號方向沒改變，故B錯；選項C中忽略了的情況，故C錯.7.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）

A．(0，2)

B.(0，3)

C.(0，5)

D.(0，1)參考答案：A8.已知函數(shù)y=，輸入自變量x的值，輸出對應(yīng)的函數(shù)值的算法中所用到的基本邏輯結(jié)構(gòu)是（） A．順序結(jié)構(gòu) B． 條件結(jié)構(gòu) C．順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu) D． 順序結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)參考答案：C9.設(shè)集合，集合，則是的（） A．充分不必要條件

B．必要不充分條件 C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略10.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，則角B=A. B. C. D.參考答案：B【分析】由，可得，結(jié)合余弦定理即可得到B的大小.【詳解】由，可得，根據(jù)余弦定理得，∵，∴．故應(yīng)選B．【點(diǎn)睛】對于余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2）.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還要記住，，等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)AQI技術(shù)規(guī)定》，AQI共分為六級：（0，50]為優(yōu)，（50，100]為良，（100，150]為輕度污染，（150，200]為中度污染，（200，300]為重度污染，300以上為嚴(yán)重污染．右圖是根據(jù)鹽城市2013年12月份中20天的AQI統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖．由圖中的信息可以得出這20天中鹽城市環(huán)境空氣質(zhì)量優(yōu)或良的總天數(shù)為

.參考答案：5略12.在如圖所示的程序框圖中，若輸出i的值是3，則輸入x的取值范圍是參考答案：（4，10]【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量i的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：設(shè)輸入x=a，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，x=3a﹣2，i=1，不滿足退出循環(huán)的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，x=9a﹣8，i=2，不滿足退出循環(huán)的條件；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，x=27a﹣26，i=3，滿足退出循環(huán)的條件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故答案為：（4，10]．13.某籃球?qū)W校的甲、乙兩名運(yùn)動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個．命中個數(shù)的莖葉圖如右圖．則罰球命中率較高的是

.參考答案：甲略14.定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直。（Ⅰ）求函數(shù)＝的解析式；（Ⅱ）設(shè)g(x)＝，若存在實數(shù)x∈[1，e]，使<，求實數(shù)m的取值范圍。參考答案：解:（Ⅰ）(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………1分由f′(x)是偶函數(shù)得：b＝0②……………2分又f(x)在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.……………4分（Ⅱ）由已知得：存在實數(shù)x∈[1，e]，使lnx－<x2－1即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x

…………6分設(shè)M(x)＝xlnx－x3＋xx∈[1，e]，則M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]設(shè)H(x)＝lnx－3x2＋2，則H′(x)＝－6x＝

……………8分∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上遞減于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0

……………10分∴M(x)在[1，e]上遞減，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分于是有m>2e－e3為所求．略15.兩個球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為________.參考答案：【分析】設(shè)兩球的半徑分別為，根據(jù)列出關(guān)于，的方程組，解出方程組，根據(jù)球的體積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)兩球的半徑分別為，∵兩個球的半徑相差1，表面積之差為，∴，，解得，，∴它們的體積和為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的體積公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.若，，且函數(shù)在處有極值，則的最大值為__________．參考答案：9【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為得到，滿足的條件，利用基本不等式求出的最值．【解答】解：由題意，導(dǎo)函數(shù)，∵在處有極值，，∴，∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴的最大值等于．故答案為：．17.在棱長為1的正方體ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分別為BB1，C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形ADD1A1的中心，則四邊形BGEF在正方體六個面上的射影圖形面積的最大值為________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分15分）已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄如下：、、、．（1）經(jīng)判斷點(diǎn)，在拋物線上，試求出的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)并求出橢圓的離心率；（3）過的焦點(diǎn)直線與橢圓交不同兩點(diǎn)且滿足，試求出直線的方程．參考答案：解得∴方程為……………6分法二：容易驗證直線的斜率不存在時，不滿足題意……………9分當(dāng)直線斜率存在時，直線過拋物線焦點(diǎn)，設(shè)其方程為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為由消掉，得，…………10分于是，①

19.、(12分)如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，(I)判斷異面直線和所成的角的大小是否變化，并證明你的結(jié)論；(II)當(dāng)直線和平面所成角最大時，試確定點(diǎn)的位置．參考答案：(I)不變；(II)為的中點(diǎn)．20.已知A為橢圓=1（a＞b＞0）上的一個動點(diǎn)，弦AB，AC分別過左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時，cos∠F1AF2=．（Ⅰ）求該橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．運(yùn)用余弦函數(shù)的定義可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由橢圓的定義，結(jié)合離心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為x2+2y2=2b2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），（1）當(dāng)AB，AC的斜率都存在時，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直線AC的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量共線定理，可得λ1+λ2為定值6；若AC⊥x軸，若AB⊥x軸，計算即可得到所求定值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．因為cos∠F1AF2=，所以|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=2a，則4?=2a，即a2=2b2=2（a2﹣c2），即a2=2c2，即有e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為x2+2y2=2b2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），（1）當(dāng)AB，AC的斜率都存在時，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），則直線AC的方程為y=（x﹣b），代入橢圓方程得（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0，可得y0y2=﹣，又λ2===，同理λ1=，可得λ1+λ2=6；（2）若AC⊥x軸，則λ2=1，λ1==5，這時λ1+λ2=6；若AB⊥x軸，則λ1=1，λ2=5，這時也有λ1+λ2=6；綜上所述，λ1+λ2是定值6．21.如圖，曲線c1：y2=2px（p＞0）與曲線c2：（x﹣6）2+y2=36只有三個公共點(diǎn)O，M，N，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且?=0．（1）求曲線c1的方程；（2）過定點(diǎn)M（3，2）的直線l與曲線c1交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求線段AB的長．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）由對稱性知MN⊥x軸于點(diǎn)（6，0），且|MN|=12，可得M的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求曲線c1的方程；（2）利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，可得AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式，可求線段AB的長度．【解答】解：（1）由對稱性知MN⊥x軸于點(diǎn)（6，0），且|MN|=12所以M（6，6），…所以62=2p×6所以p=3…所以曲線為y2=6x…（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）因為（3，2）是AB中點(diǎn)所以x1+x2=6，y1+y2=4…則由點(diǎn)差法得k==…所以直線l：3x﹣2y﹣5=0由所以由韋達(dá)定理…所以|AB|==…22.某高校對生源基地學(xué)校一年級的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行摸底調(diào)查，已知其中兩個摸底學(xué)校分別有1100人、1000人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從兩個學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了頻數(shù)分別統(tǒng)計表如下：（一年級人數(shù)為1100人的學(xué)校記為學(xué)校一，一年級人數(shù)為1000人的學(xué)校記為學(xué)校二）學(xué)校一分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻道231015分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)頻數(shù)15x31

學(xué)校二分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻道1298分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)頻數(shù)1010y3

（1）計算x，y的值．（2）若規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀，請分別估計兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率；（3）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異．

學(xué)校一學(xué)校二總計優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

附：0.100.0250.0102.7065.0246.635

參考答案：（1），（2）甲校優(yōu)秀率為，乙校優(yōu)秀率為（3）填