數(shù)論基礎(chǔ)slgl素?cái)?shù)計(jì)數(shù)完全

12131415121314 1213121314素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····1213121314素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1(歐幾里得 存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1 得 存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)證明假設(shè)已r個(gè)素p1,p2,···,pr121314

素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1 得 存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)證明假設(shè)已有r個(gè)素?cái)?shù)p1,p2,···,pr，A=p1p2···pr+121314

素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1 得 存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)證明假設(shè)已有r個(gè)素?cái)?shù)p1,p2,···,pr，A=p1p2···pr+斷言1在整除A的素?cái)?shù)q．121314

素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1 得 存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)證明假設(shè)已有r個(gè)素?cái)?shù)p1,p2,···,pr，A=p1p2···pr+斷言1在整除A的素?cái)?shù)q．?dāng)嘌?qp1,p2,···,pr都不相同121314

p1=p2=p3=p4=p5=121314121314

A=2+1=A=2·3+1=A=2·3·7+1=A=2·3·7·43+1=13·A=2·3·7·43·13+1=53·A=2·3·7·43·13·53+1=·····12131412131443素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··41素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··12121314定理 存在無窮多個(gè)模4余3的素?cái)?shù)41素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··12121314定理 存在無窮多個(gè)模4余3的素?cái)?shù)證明假設(shè)已有模43素?cái)?shù)3,p1,p2,···,pr41素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··定理 存在無窮多個(gè)模4余3的素?cái)?shù)證明假設(shè)已有模43素?cái)?shù)3,p1,p2,···,pr，121314A=4p1p12131441素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··定理 存在無窮多個(gè)模4余3的素?cái)?shù)證明假設(shè)已有模43素?cái)?shù)3,p1,p2,···,pr，A=4p1p2···pr+121314斷言1在12131441素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··定理 存在無窮多個(gè)模4余3的素?cái)?shù)證明假設(shè)已有模43素?cái)?shù)3,p1,p2,···,pr，A=4p1p2···pr+121314斷言1：存在整除A的模4余3素?cái)?shù)q．?dāng)嘌?：q 與3,p1,p2,12131443p1=p2=p3=p4=121314121314

A=4·7+3=A=4·7·31+3=13·A=4·7·31·67+3=19·A=4·7·31·67·19+3=179·A=4·7·31·67·19·179+3=··43p1=p2=p3=p4=p5=

A=4·7+3=A=4·7·31+3=13·A=4·7·31·67+3=19·A=4·7·31·67·19+3=179·A=4·7·31·67·19·179+3=··121314注記不能用此方法證1213141213121314定理3(狄利克雷) 和m是互素的整數(shù)，則存在無窮多個(gè)模m余 12131415121314 問題已知素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，而合數(shù)也有無窮多個(gè)．哪種 121314

問題已知素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，而合數(shù)也有無窮多個(gè)．哪種 定義素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π )=#{素?cái)?shù)p|p121314

問題已知素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，而合數(shù)也有無窮多個(gè)．哪種 定義素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π )=#{素?cái)?shù)p|p例 π(10)=4，π(60)=121314

12131213145000→π)4 →π()0.250.190.1680.134 5000→π)4 →π()0.250.190.1680.134 1213141213141213121314→∞π)4→∞→∞π /→1PrimeNumberTheorem定理(素?cái)?shù)定理 很大時(shí)，小 的素?cái)?shù)近似等于有

，即

=121314121314121314121314兩個(gè)素

每個(gè)偶n≥4都可表示121314121314p+2也是素

存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p使2孿生素?cái)?shù)猜想p+2也是素

存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p使設(shè)T )=#{素?cái)?shù)p |p+2也是素?cái)?shù)}．測(cè)

T

2=C.→ /121213143(N2+1猜想素?cái)?shù)

存在無窮多個(gè)形如N2+1 14 3N2+1猜想素?cái)?shù)

存在無窮多個(gè)形如N2+1設(shè)S )=#{素?cái)?shù)p |p=N2+1}．測(cè)limpS

=C′12131412131412131415121314 問題 研究形如n?1（n≥2）的素?cái)?shù)12 121314問題 研究形如n?1121314注記 如 >2，則n?1是合數(shù)121314問題1 研究形如n?1（n≥2）的素?cái)?shù)．注記1 >2121314問題 研究形如2n?1（n≥2）的素?cái)?shù)問題1 研究形如n?1（n≥2）的素?cái)?shù)．注記1 >2，則n?1是合數(shù)．問題 研究形如2n?1（n≥2）的素?cái)?shù)121314注記 如果n是合數(shù)，則121314問題1 n?1（n≥2）的素?cái)?shù)．注記1 >2，則 n?1是合數(shù)．問題 研究形如2n?1（n≥2）的素?cái)?shù)121314注記2 如果n是合數(shù)，則2n?1是合數(shù)．問題3 研究形如2p?121314MersennePrimes定義形如2p?1的素?cái)?shù)稱 素?cái)?shù)121314 MersennePrimes定義形如2p?1的素?cái)?shù)稱為 例1 22132317251271213?1=121314 MersennePrimes定義形如2p?1的素?cái)?shù)稱為 例1 22132317251271213?1=例 211?1=2047=23·89不 素?cái)?shù)121314 編發(fā)現(xiàn)日素?cái)?shù)Mp的位472008-08-2343111297482013-01-2557881742492015-09-1774202233502017-12-2677232324121314 編發(fā)現(xiàn)日素?cái)?shù)Mp的位472008-08-2343111297482013-01-2557881742492015-09-1774202233502017-12-2677232324因特 素?cái)?shù)大搜索（GreatInternetMersennePrime121314 編發(fā)現(xiàn)日素?cái)?shù)Mp的位472008-08-2343111297482013-01-2557881742492015-09-1774202233502017-12-2677232324因特 素?cái)?shù)大搜索（GreatInternetMersennePrime問 存在無窮多 素?cái)?shù)么121314 12131415121314

定義 完全數(shù)是等于其真因數(shù)之和的數(shù)1213

12121314定義 完全數(shù)是等于其真因數(shù)之和的數(shù)例 6=1+2+3，所以6是完全數(shù)定義 完全數(shù)是等于其真因數(shù)之和的數(shù)例 6=1+2+3，所以6是完全數(shù)121314例 28=1+2+4+121314定理1 德完全 如果2p?1是素?cái)?shù)2p?1(2p?1)是完全數(shù)121314

定理2(歐拉完全數(shù)定理 如果n是n=2p?1(2p?其中2p?1 素?cái)?shù)

完全數(shù)，則121314

12121314定義σ(n)表示n的所有因數(shù)之和（包1n．定義σ(n)n的所有因數(shù)之和（包括1n定理3(σ函 (1)若p是素?cái)?shù)，k≥