2017年有理數(shù)培優(yōu)題(有答案)

PAGEPAGE4有理數(shù)培優(yōu)題基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、填空：1、在數(shù)軸上表示－2的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于（）。2、若∣a∣=－a,則a（）0.3、任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是（）。4、如果a+b=0,那么a、b一定是（）。5、將0.1毫米的厚度的紙對(duì)折20次，列式表示厚度是（）。6、已知，則（）7、的最小值是（）。8、在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是（）。9、若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，P的絕對(duì)值為3，則（）。10、若abc≠0，則的值是（）.11、下列有規(guī)律排列的一列數(shù)：1、、、、、…，其中從左到右第100個(gè)數(shù)是（）。二、解答問(wèn)題：1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離是7，求x、y、z這三個(gè)數(shù)兩兩之積的和。3、若的值恒為常數(shù)，求滿足的條件及此時(shí)常數(shù)的值。4、若為整數(shù)，且，試求的值。5、計(jì)算：－＋－＋－＋－＋6、應(yīng)用拓展：將七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。現(xiàn)要求每次翻轉(zhuǎn)其中任意四只，使它們杯口朝向相反，問(wèn)能否經(jīng)有限次翻轉(zhuǎn)后，讓所有杯子杯口朝下？能力培訓(xùn)題知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)軸例1：已知有理數(shù)在數(shù)軸上原點(diǎn)的右方，有理數(shù)在原點(diǎn)的左方，那么（）A．B．C．D．拓廣訓(xùn)練：1、如圖為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）A．1B．2C．33、把滿足中的整數(shù)表示在數(shù)軸上，并用不等號(hào)連接。2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；例2：如果數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為5，那么A、B兩點(diǎn)的距離為。拓廣訓(xùn)練：1、在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，則2、已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離之和等于。（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；例3：已知且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是。（用“”號(hào)連接）（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）拓廣訓(xùn)練：若且，比較的大小，并用“”號(hào)連接。例4：已知比較與4的大小拓廣訓(xùn)練：1、已知，試討論與3的大小2、已知兩數(shù)，如果比大，試判斷與的大小4、利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問(wèn)題。例5：有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A．B．C．D．拓廣訓(xùn)練：1、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為。①②③④⑤⑥二、知識(shí)點(diǎn)反饋1、去絕對(duì)值符號(hào)法則例1：已知且那么。拓廣訓(xùn)練：1、已知且，那么。（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）2、若，且，那么的值是（）A．3或13B．13或-13C．3或-3D．-3或-132、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義例2：的最小值是（）A．2B．0C．1D．-1解法1、分類討論當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。比較可知，的最小值是2，故選A。解法2、由絕對(duì)值的幾何意義知表示數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；表示數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；的最小值是指點(diǎn)到1與-1兩點(diǎn)距離和的最小值。如圖易知當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是2故選A。拓廣訓(xùn)練：已知的最小值是，的最大值為，求的值。三、培優(yōu)訓(xùn)練1、如圖，有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則在中，負(fù)數(shù)共有（）（湖北省荊州市競(jìng)賽題）A．3個(gè)B．1個(gè)C．4個(gè)D．2個(gè)2、若是有理數(shù)，則一定是（）A．零B．非負(fù)數(shù)C．正數(shù)D．負(fù)數(shù)3、如果，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．4、是有理數(shù)，如果，那么對(duì)于結(jié)論（1）一定不是負(fù)數(shù)；（2）可能是負(fù)數(shù)，其中（）（第15屆江蘇省競(jìng)賽題）A．只有（1）正確B．只有（2）正確C．（1）（2）都正確D．（1）（2）都不正確5、已知，則化簡(jiǎn)所得的結(jié)果為（）A．B．C．D．6、已知，那么的最大值等于（）A．1B．5C．8D．97、已知都不等于零，且，根據(jù)的不同取值，有（）A．唯一確定的值B．3種不同的值C．4種不同的值D．8種不同的值8、滿足成立的條件是（）（湖北省黃岡市競(jìng)賽題）A．B．C．D．9、若，則代數(shù)式的值為。10、若，則的值等于。11、已知是非零有理數(shù)，且，求的值。12、已知是有理數(shù)，，且，求的值。13、閱讀下列材料并解決有關(guān)問(wèn)題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個(gè)結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得（稱分別為與的零點(diǎn)值）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：（1）當(dāng)時(shí)，原式=;（2）當(dāng)時(shí)，原式=；（3）當(dāng)時(shí)，原式=。綜上討論，原式=通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：分別求出和的零點(diǎn)值；（2）化簡(jiǎn)代數(shù)式14、（1）當(dāng)取何值時(shí)，有最小值？這個(gè)最小值是多少？（2）當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？這個(gè)最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。15、某公共汽車運(yùn)營(yíng)線路AB段上有A、D、C、B四個(gè)汽車站，如圖，現(xiàn)在要在AB段上修建一個(gè)加油站M，為了使加油站選址合理，要求A，B，C，D四個(gè)汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最好？16、先閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：在一條直線上有依次排列的臺(tái)機(jī)床在工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站P，使這臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個(gè)問(wèn)題，先“退”到比較簡(jiǎn)單的情形：①②如圖①，如果直線上有2臺(tái)機(jī)床（甲、乙）時(shí),很明顯P設(shè)在和之間的任何地方都行,因?yàn)榧缀鸵曳謩e到P的距離之和等于到的距離.如圖②,如果直線上有3臺(tái)機(jī)床(甲、乙、丙)時(shí)，不難判斷，P設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床處最合適，因?yàn)槿绻鸓放在處，甲和丙分別到P的距離之和恰好為到的距離；而如果P放在別處，例如D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是到的距離，可是乙還得走從到D近段距離，這是多出來(lái)的，因此P放在處是最佳選擇。不難知道，如果直線上有4臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方；有5臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)位置。問(wèn)題（1）：有機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處？問(wèn)題（2）根據(jù)問(wèn)題（1）的結(jié)論，求的最小值。有理數(shù)的運(yùn)算一、閱讀與思考在小學(xué)里我們已學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大的不同：首先，有理數(shù)計(jì)算每一步要確定符號(hào)；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算，也就是通常說(shuō)的符號(hào)演算。數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計(jì)算的速成度，有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有：1、利用運(yùn)算律；2、以符代數(shù)；3、裂項(xiàng)相消；4、分解相約；5、巧用公式等。二、知識(shí)點(diǎn)反饋1、利用運(yùn)算律：加法運(yùn)算律乘法運(yùn)算律例1：計(jì)算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算（1）（2）例2：計(jì)算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：計(jì)算：2、裂項(xiàng)相消（1）；（2）；（3）（4）例3、計(jì)算解：原式===拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算：3、以符代數(shù)例4：計(jì)算：解：分析：令=，則原式=拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算：4、分解相約例5：計(jì)算：解：原式===三、培優(yōu)訓(xùn)練1、是最大的負(fù)整數(shù)，是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，則=。2、計(jì)算：（1）=；（2）=。3、若與互為相反數(shù)，則=。4、計(jì)算：=。5、計(jì)算：=。6、這四個(gè)數(shù)由小到大的排列順序是。7、（“五羊杯”）計(jì)算：=（）A．3140B．628C．1000D．12008、（“希望杯”）等于（）A．B．C．D．9、（“五羊杯”）計(jì)算：=（）A．B．C．D．10、（2009鄂州中考）為了求的值，可令S＝，則2S＝，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理計(jì)算出的值是（）A、B、C、D、11、都是正數(shù)，如果，，那么的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．不確定12、設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可表示為的形式，又可表示為的形式，求的值（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）13、計(jì)算（1）（2009年第二十屆“五羊杯”競(jìng)賽題）（2）（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）14、已知互為相反數(shù)，互為負(fù)倒數(shù)，的絕對(duì)值等于，求的值15、已知，求的值（香港競(jìng)賽）16、（2007，無(wú)錫中考）圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為．第2層第2層第1層……第n層圖１圖2圖3圖4如果圖1中的圓圈共有12層，（1）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)，則最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是 ；（2）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)，，，，求圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和．【專題精講】【例1】計(jì)算下列各題⑴⑵【例2】計(jì)算：【例3】計(jì)算：⑴⑵反思說(shuō)明：一般地，多個(gè)分?jǐn)?shù)相加減，如果分子相同，分母是兩個(gè)整數(shù)的積，且每個(gè)分母中因數(shù)差相同，可以用裂項(xiàng)相消法求值。①②③④【例4】（第18屆迎春杯）計(jì)算：【例5】計(jì)算：【例6】（第8屆“希望杯”）計(jì)算：【例7】請(qǐng)你從下表歸納出的公式并計(jì)算出：的值。【實(shí)戰(zhàn)演練】1、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：2、（第10屆“希望杯”訓(xùn)練題）3、已知?jiǎng)t4、計(jì)算：5、（“聰明杯”試題）6、的值得整數(shù)部分為（）A．1B．2C．3D．4提示：7、8、計(jì)算：9、計(jì)算的值.10、計(jì)算：的值。參考答案基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、填空。1、2；2、≤；3、非負(fù)數(shù)；4、互為相反數(shù)；5、毫米；6、5或1；7、5；8、；9、－8；10、±3，±1；11、。二、解答題。1、－25或87；3、當(dāng)時(shí)，常數(shù)值為7；4、2；5、6、不可能，因?yàn)槊看畏D(zhuǎn)其中任意4個(gè)，無(wú)論如何翻轉(zhuǎn)，杯口朝上的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)個(gè)，所以不可能讓杯口朝上的杯子個(gè)數(shù)為偶數(shù)零，故不可能。能力培訓(xùn)題知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)軸例1、D拓廣訓(xùn)練：1、B；3、因?yàn)?，所以?、8或2拓廣訓(xùn)練：1、0或－6；2、12例3、拓廣訓(xùn)練：1、題目有誤。例4、解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.拓廣訓(xùn)練：略。例5、C拓廣訓(xùn)練：1、－2；2、①③3、D三、培優(yōu)訓(xùn)練1、C2、D3、B4、A5、C6、D7、；8、；9、10、5；11、①3，3，4；②，1或－3；③；④997002聚焦絕對(duì)值例1、―2或―8.拓廣訓(xùn)練：1、4或0；2、A例2、A拓廣訓(xùn)練：1、通過(guò)零點(diǎn)值討論得a=5,b=5;所以a+b=10.三、培優(yōu)訓(xùn)練1、A;2、B；3、D;4、A;5、A;6、B；7、B；8、C9、1；10、1或－3；11、0；12、－7；13、⑴零點(diǎn)值分別為－2，4.⑵略。(分三種情況討論)14、⑴、3；⑵、-2；⑶、1；⑷、215、加油站應(yīng)建在D,C兩汽站之間(包括D,C兩汽車站)16、95172有理數(shù)的運(yùn)算例1、拓廣訓(xùn)練：⑴－1.2；⑵例2、拓廣訓(xùn)練：⑴－34例3、拓廣訓(xùn)練：⑴例4、拓廣訓(xùn)練：⑴三、培優(yōu)訓(xùn)練1、－1；2、，－8；3、1；4、；5、6；6、；7、C；8、D；