數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用函數(shù)與映射的概念

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1講函數(shù)與映射的概念課標(biāo)要求考情風(fēng)向標(biāo)1.通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.2.知道指數(shù)函數(shù)y＝ax

與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a＞0,a≠1)對(duì)函數(shù)概念的理解是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵，函數(shù)的概念比較抽象，不易理解，應(yīng)做適量練習(xí)，通過(guò)練習(xí)彌補(bǔ)理解的缺陷，糾正理解上的錯(cuò)誤.本講重點(diǎn)解決求函數(shù)的定義域，但也涉及反函數(shù)的概念及求法，新課標(biāo)在2011年、2012年、2013年連續(xù)三年都考查求簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)映射的

概念設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做從集合A到集合B的映射，通常記為f：A→B函數(shù)概念設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，通常記為y＝f(x)，x∈A三個(gè)要素定義域x的取值范圍A值域函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}對(duì)應(yīng)關(guān)系f1.下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相同的是()BA)A.y＝2x3.(2019年上海)下列函數(shù)中，值域?yàn)閇0，＋∞)的是(C.y＝tanxD.y＝cosxB

解析：y＝2x的值域?yàn)?0，＋∞)，故A錯(cuò)；y＝的定義域?yàn)閇0，＋∞)，值域也是[0，＋∞)，故B正確；y＝tanx的值域?yàn)?－∞，＋∞)，故C錯(cuò)；y＝cosx的值域?yàn)閇－1,1]，故D錯(cuò).故選B.C

解析：由映射的定義，集合M中的每一個(gè)元素在集合N中必須有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)，對(duì)選項(xiàng)C,22＝4

N.故選C.考點(diǎn)1有關(guān)映射與函數(shù)的概念例1：(1)(2018年甘肅武威調(diào)研)下列四個(gè)對(duì)應(yīng)中，哪個(gè)對(duì)應(yīng)不是從A到B的映射？()

A.設(shè)A＝{矩形}，B＝{實(shí)數(shù)}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：矩形和它的面積對(duì)應(yīng)解析：x＝1∈A，x→|x－1|＝0

B，即對(duì)集合A中元素1，在集合B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng).故選C.答案：C(2)(多選)下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是()ABCD

解析：由每一個(gè)自變量x對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)f(x)可知B不是函數(shù)圖象，ACD是函數(shù)圖象.故選ACD.

答案：ACD(3)存在函數(shù)f(x)，滿足對(duì)任意x∈R都有()A.f(sin2x)＝sinxC.f(x2＋1)＝|x＋1|

B.f(sin2x)＝x2＋xD.f(x2＋2x)＝|x＋1|答案：Dx123f(x)131x123g(x)321(4)已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出：答案：12則f(g(1))的值為_(kāi)_______；滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值為_(kāi)_______.

(5)已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝－x2＋2x，對(duì)于實(shí)數(shù)k∈B，且在集合A中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，)則k的取值范圍是( A.k>1 C.k<1B.k≥1D.k≤1

解析：y＝－(x－1)2＋1≤1，若k∈B，且在集合A中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，則k>1.故選A.

答案：A【規(guī)律方法】理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①集合A，B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng)； ②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從集合B到集合A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的； ③集合A中每一個(gè)元素在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對(duì)應(yīng)的本質(zhì)特征；④集合A中不同的元素在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；⑤不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.考點(diǎn)2求函數(shù)的定義域考向1具體函數(shù)的定義域________.

解析：要使函數(shù)

f(x)有意義，則log2x－1≥0.解得x≥2.即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2，＋∞).

答案：[2，＋∞)

解析：由已知得7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0， 解得－1≤x≤7，故函數(shù)的定義域?yàn)閇－1,7].

答案：[－1,7]答案：{x|x∈R，x≠－1，且x≠－2}【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)定義域的一般步驟：①寫(xiě)出使得函數(shù)式有意義的不等式(組)；②解不等式(組)；③寫(xiě)出函數(shù)的定義域.(2)常見(jiàn)的一些具體函數(shù)的定義域：

有分母的保證“分母≠0”；有開(kāi)偶次方根的要保證“被開(kāi)方數(shù)≥0”；有對(duì)數(shù)函數(shù)的保證“真數(shù)>0，底數(shù)>0，且底數(shù)≠1”.【跟蹤訓(xùn)練】()A.(－2,1)C.(0,1)B.[－2,1]D.(0,1]C考向2抽象(復(fù)合)函數(shù)的定義域、值域例3：(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?)

思維點(diǎn)撥：求抽象函數(shù)定義域的關(guān)鍵，f后面括號(hào)內(nèi)部分取值范圍相同.

解析：由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,0)，則使函數(shù)f(2x＋1)有答案：B(2)已知函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?－1,0)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)解析：f(2x＋1)的定義域?yàn)?－1,0)，即－1<x<0，∴－1<2x＋1<1.∴f(x)的定義域?yàn)?－1,1).答案：A答案：C

(4)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2,3]，則f(x－1)的值域?yàn)開(kāi)_______，f(x)－1的值域?yàn)開(kāi)_______.

解析：f(x－1)的圖象是將

f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，不改變值域.f(x)－1的圖象是將f(x)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.故f(x－1)的值域?yàn)閇2,3]，f(x)－1的值域?yàn)閇1,2].答案：[2,3][1,2]【規(guī)律方法】抽象函數(shù)：①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，其復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域.【跟蹤訓(xùn)練】2.(2019年重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(－x－x2)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)開(kāi)______________.f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_________.[－1,2]

難點(diǎn)突破⊙對(duì)反函數(shù)概念的理解答案：A(2)(2019年上海)函數(shù)f(x)＝x2(x>0)的反函數(shù)為_(kāi)_______.答案：C

【規(guī)律方法】本題主要考查反函數(shù)的求解，利用原函數(shù)反解，再互換得到結(jié)論，同時(shí)也考查函數(shù)值域的求法；特別要注意的是教材關(guān)于反函數(shù)的內(nèi)容不多，只有對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此本知識(shí)點(diǎn)要引起我們的重視.【跟蹤訓(xùn)練】4.已知點(diǎn)(3,9)在函數(shù)f(x)＝1＋ax的圖象上，則f(x)的反函數(shù)f－1(x)＝_______________.log2(x－1)(x>1)

解析：將點(diǎn)(3,9)代入函數(shù)f(x)＝1＋ax中，得a＝2.∴f(x)＝1＋2x.用y表示x，得x＝log2(y－1).∴f

－1(x)＝log2(x－1)(x>1).

1.函數(shù)的三要素是定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則，判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只需判斷這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則與定義域是否相同即可.2.對(duì)于求抽象的復(fù)合函數(shù)的定義域，主要理解三種情形：(1)已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，求f[u(x)]的定義域，只需