數(shù)學(xué)215正余弦定理的綜合應(yīng)用(北師大版必修5)

數(shù)學(xué)：2.1.5正、余弦定理的綜合應(yīng)用(北師大版必修5)數(shù)學(xué)：2.1.5正、余弦定理的綜合應(yīng)用(北師大版必修5)數(shù)學(xué)：2.1.5正、余弦定理的綜合應(yīng)用(北師大版必修5)2.1.5正、余弦定理的綜合應(yīng)用知識(shí)梳理1.正弦定理：abc2R，此中R為ABC外接圓的半徑。sinAsinBsinC利用正弦定理，能夠解決以下兩類(lèi)相關(guān)三角形的問(wèn)題.（1）已知兩角和任一邊，求其余兩邊和一角；（2）已知兩邊和此中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.（進(jìn)而進(jìn)一步求出其余的邊和角）余弦定理：余弦定理：a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC.222在余弦定理中，令C=90°，這時(shí)cosC=0，所以c=a+b.cosAb2c2a2；cosBa2c2b2a2b2c22bc2ac；cosC2ab.利用余弦定理，能夠解決以下兩類(lèi)相關(guān)三角形的問(wèn)題：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其余兩個(gè)角.3.三角形面積公式：SABC1absinC=1acsinB=1bcsinA2224.三角形的性質(zhì)：①.A+B+C=,AB2Csin(AB)sinC,22cosC,sinABcosCcos(AB)22②.在ABC中,ab＞c,ab＜c;A＞BsinA＞sinB,A＞BcosA＜cosB,a＞bA＞B③.若ABC為銳角，則AB＞,B+C＞,A+C＞;222a2b2＞c2，b2c2＞a2，a2＋c2＞b25.(1)若給出a，b,A那么解的個(gè)數(shù)為：(A為銳角)，幾何作圖時(shí)，存在多種狀況．如已知及A，求作三角形時(shí)，要分類(lèi)議論，確立解的個(gè)數(shù)．已知兩邊和此中一邊的對(duì)角解三角形，有以下的狀況：(1)A為銳角CCCbbaaabABAB1AB2

a、baBa=bsinAbsinA<a<bab一解兩解一解若absinA，則無(wú)解；2）當(dāng)A≥90若a>b,則一解若a≤b，則無(wú)解典例解析題型一三角形多解狀況的判斷例1.依據(jù)以下條件，判斷ABC有沒(méi)有解？如有解，判斷解的個(gè)數(shù)．（1）a5，b4，A120，求B；（2）a5，b4，A90，求B；（3）a106，b203，A45，求B；（4）a202，b203，A45，求B；（5）a4，b103，A60，求B．3解：（1）∵A120，∴B只好是銳角，所以?xún)H有一解．（2）∵A90，∴B只好是銳角，所以?xún)H有一解．2（3）因?yàn)锳為銳角，而106203，即absinA，所以?xún)H有一解B90．2（4）因?yàn)锳為銳角，而203202202106，即babsinA，所以有兩3解，易解得B60或1202．（5）因?yàn)锳為銳角，又41035，即absinA，3sin60B無(wú)解．評(píng)析：對(duì)于已知兩邊和此中一邊的對(duì)角，解三角形問(wèn)題，簡(jiǎn)單犯錯(cuò)，必定要注意一解、兩解仍是無(wú)解。這時(shí)應(yīng)聯(lián)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解”。題型二正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用例2在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D為BC中點(diǎn)，且AD＝4，求BC邊長(zhǎng).解析：本題所給題設(shè)條件只有邊長(zhǎng)，應(yīng)試慮在假定BC為x后，成立對(duì)于x的方程.而正弦定理波及到兩個(gè)角，故不行用.此時(shí)應(yīng)注意余弦定理在成立方程時(shí)所發(fā)揮的作用.因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以BD、DC可表示為x.2，而后利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)成立方程解：設(shè)BC邊為x，則由D為BC中點(diǎn)，可得BD＝DC＝x2，22242＋（x）2－52在△ADB中，cosADB＝AD＋BD－AB＝22AD·BDx2×4×222242＋（x）2－32在△ADC中，cosADC＝AD＋DC－AC＝22AD·DCx2×4×2又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.42＋（x）2－5242＋（x）2－32∴2＝－2xx2×4×2×4×22解得，x＝2所以，BC邊長(zhǎng)為2.評(píng)論：本題要啟迪學(xué)生注意余弦定理成立方程的功能，領(lǐng)會(huì)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的合用題型.備選題正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3在△ABC中，已知tanB3,cosC1,AC36，求△ABC的面積.3解法1：設(shè)AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b，由tanB3,得B60,sinB3,cosB1.22又sinC1222,應(yīng)用正弦定理得cbsinC36228.cosCsinB332sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC3112332.232363故所求面積SABC1bcsinA6283.2解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得b2a2c22accosB,即54a2642a81,a28a100.2所得a146,a246.B60,0C90,30A120.由abbsinAb361323,sinAsinB得,asin3032sinBsinB2而a2463,舍去,故a46.故所求面積SABC1acsinB6283.2評(píng)析：本小題主要考察正弦定理、余弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技術(shù)和運(yùn)算能力.點(diǎn)擊雙基一.選擇題：1.在ABC中，a23，b22，B45，則A為（）A.60或120B.60C.30或150D.30解：ab，sinAa3sinAsinB2sinBb答案：A2.在C中，若sinAcosB，則B（）abA.30B.45C.60D.90解：由題意及正弦定理可得tanB1答案：B3.以4、5、6為邊長(zhǎng)的三角形必定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形解：：長(zhǎng)為6的邊所對(duì)角最大，設(shè)它為則16253610cos2458090答案A4.在ABC中，化簡(jiǎn)bcosCccosB___________解：利用余弦定理，得原式ba2b2c2ca2c2b22aba2ac答案：a5.在ABC中，ab12，A60，B45，則a_______，b________解：ab，asinAsin606sinAsinBbbbsinBsin452又ab12，a36126，b12624答案：36126，12624課外作業(yè)一、選擇1.在222bc，則A等于（）ABC中，abcA.60B.45C.120D.30解：由余弦定理及已知可得cosA

12答案：C2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60,則此三角形的解的狀況是（）A.有一解B.有兩解C.無(wú)解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確立解：bsinC=203>c,無(wú)解答案：C3.在ABC中，bcosAacosB，則三角形為（）A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解：由余弦定理可將原等式化為bb2c2a2aa2c2b22bc2ac即2b2a2，ab2答案C4.在ABC中，cosAcosBsinAsinB，則ABC是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.正三角形解：原不等式可變形為cos(AB)00AB，B(0，)2進(jìn)而C(AB)(2，)答案：C5在△ABC中，若a7,b3,c8，則其面積等于（）A12B21C28D632解：cosA1,A600,SVABC1bcsinA63答案：D226在△ABC中，角A,B均為銳角，且cosAsinB,則△ABC的形狀是（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形解：cosAsin(A)sin,,都是銳角，則AB,AB,C222答案：C222Abc）7.在△ABC中，cos=2c,則△ABC的形狀是（2A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解：原式可化為cosA1=bc，cosA+1=b1cosA=b22ccc由余弦定理，得b2c2a2b，a2b2c2△ABC為直角三角形2bcc答案：B8.在△ABC中，A=，BC=3，則△ABC的周長(zhǎng)為（）3A.43sin(B)3B.43sin(B)336C.6sin(B)3D.6sin(B)336解：abcbc33bc3,sinAsinB，sinB==2sinB=2sinCsinC3sinC2b+c==23(sinB+sin(2B))==23(3sinB3cosB)=6sin(B)3226a+b+c=6sin(B)36答案：D二.填空題：9.在ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4，則cosA___________解：由正弦定理得a:b:c6:54:設(shè)1份為k，則a6k，b5k，c4k再由余弦定理得cosAb2c2a212bc8答案：1810.在ABC中，A、B均為銳角，且cosAsinB，則ABC是_________解：由cosAsinB得sin(A)sinB2A、B均為銳角，A(0，)，B(0，)222而ysinx在(0，)上是增函數(shù)22AB即AB2C(AB)(，)2答案：鈍角三角形11.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x27x60的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為解：由題意得cos3或2（舍去）5三角形的另一邊長(zhǎng)5232253cos52213答案：213.解答題：12..依據(jù)以下條件，判斷ABC能否有解？有解的做出解答．①a=7,b=8,A=105②a=10,b=20,A=80③b=10,c=56,C=60④a=23,b=6,A=30解：①a=7,b=8,a<b,A=105>90本題無(wú)解②a=10,b=20,a<b,A=80<90bsinA=20?sin80>20?sin60=103a<bsinA本題無(wú)解③b=10,c=56,b<c,C=60<90,本題有一解sinB=bsinC10sin602c5=26B=45,A=180-(B+C)=75bsinA10sin751062431)a===5(sinB=2sin452④a=23,b=6,a<b,A=30<90又bsinA=6sin30=3,a>bsinA本題有兩解由正弦定理得sinB=bsinA=6sin30=3a232B=60或120當(dāng)B=60時(shí)，C=90,c=asinC=23sin90=43sinAsin30當(dāng)B=120時(shí)，C=30,c=asinC=23sin30=23sinAsin30B=60，C=90,c=43或B=120，C=30,c=2313：在ABC中，sinAcosA2，AC2，AB3，求tanA的值和ABC的面積.2解sinAcosA2cos(A45)245)10A180cos(A，又22A45o60o,A105otanAtan(45o60o)132313sinAsin105sin(4560)sin45cos60cos4526sin604SABC1ABsinA1326326)AC24(22414.已知ABC的外接圓半徑是2，且知足條件22(sin2Asin2C)(ab)sinB。1）求角C。2）求ABC面積的最大值。解：（1）R2且22(sin2Asi