第一講數(shù)系的擴充

第一講數(shù)系的擴充演示文稿目前一頁\總數(shù)六十七頁\編于四點第一講數(shù)系的擴充目前二頁\總數(shù)六十七頁\編于四點一、數(shù)系的擴展順序、方法、原則（一）數(shù)系的擴展順序、方法、原則從代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，人們對數(shù)的認(rèn)識大體按照以下的邏輯順序進(jìn)行的：自然數(shù)正有理數(shù)非負(fù)有理數(shù)有理數(shù)實數(shù)復(fù)數(shù)添正分?jǐn)?shù)添零添負(fù)有理數(shù)添無理數(shù)添虛數(shù)目前三頁\總數(shù)六十七頁\編于四點（1）自然數(shù)的產(chǎn)生起源于人類在生產(chǎn)和生活中記數(shù)的需要（三個階段：結(jié)繩記數(shù)；出現(xiàn)”三頭牛，五只羊”；把數(shù)從具體事物的集合分離出來，形成抽象的正整數(shù)概念，并有了代表它的符號）

結(jié)繩法最早出現(xiàn)在印加帝國，是利用一種十進(jìn)的位置值系統(tǒng)在繩上打結(jié)的記事方式。目前四頁\總數(shù)六十七頁\編于四點在干繩最遠(yuǎn)的一行一個結(jié)代表1，次遠(yuǎn)的一個結(jié)代表10，如此等等.目前五頁\總數(shù)六十七頁\編于四點秘魯?shù)挠〉诎踩说慕Y(jié)繩法中國的甲骨文計數(shù)法目前六頁\總數(shù)六十七頁\編于四點《易.系辭》載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書目契?！蔽覈糯募坠俏闹械摹皵?shù)”字，左邊表示打結(jié)的繩，右邊是一只手，表示古人用結(jié)繩記數(shù)目前七頁\總數(shù)六十七頁\編于四點（2）由于生產(chǎn)力的發(fā)展，在土地丈量、天文觀測、水利工程等方面的需要，正分?jǐn)?shù)運應(yīng)而生。據(jù)史書記載，三千多年前埃及紙草卷中已有關(guān)于正分?jǐn)?shù)問題的記述。引進(jìn)正分?jǐn)?shù)是數(shù)的概念的第一次擴充。目前八頁\總數(shù)六十七頁\編于四點（3）人們開始記數(shù)時，最初沒有“零”的概念，在生產(chǎn)實踐需要記數(shù)的東西越來越多，逐漸產(chǎn)生了位值記數(shù)法，如我國古代籌算上利用空格表示“零”。引入“0”是數(shù)的概念的第二次擴展。（4）引入負(fù)數(shù)，是數(shù)的概念的第三次擴展。（5）引入無理數(shù)，是數(shù)的概念的第四次擴展。（6）引入虛數(shù)，是數(shù)的概念的第五次擴展。目前九頁\總數(shù)六十七頁\編于四點（二）數(shù)系的擴展方法和原則近代數(shù)學(xué)關(guān)于數(shù)的認(rèn)識，是在總結(jié)數(shù)的歷史發(fā)展的基礎(chǔ)上，用代數(shù)結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)主義觀點）和公理系統(tǒng)加以整理而建立起來的。數(shù)的擴展通常采用兩種方法：（1）添加新元素法，即把新元素添加到已建立的數(shù)集中。目前十頁\總數(shù)六十七頁\編于四點（2）構(gòu)造法，即從理論上構(gòu)造一個集合，然后指出這個集合的某個真子集與先前的同構(gòu)。目前十一頁\總數(shù)六十七頁\編于四點二、自然數(shù)理論與數(shù)學(xué)歸納法1、自然數(shù)的基數(shù)理論19世紀(jì)中葉，德國數(shù)學(xué)家康托提出了自然數(shù)的基數(shù)理論，基數(shù)理論以“集合”為原始概念，利用集合的知識來定義自然數(shù)以及各種運算。基數(shù)理論反映了“多少個”在數(shù)量上的意義，但沒有能揭示自然數(shù)在順序上“第幾個”的意義，也沒有給出自然數(shù)的加乘運算的具體方法。目前十二頁\總數(shù)六十七頁\編于四點伽利略的困惑

直觀上看：自然數(shù)多，完全平方數(shù)在自然數(shù)中，有如滄海一粟，占的比例極少。

理論上得：自然數(shù)與完全平方數(shù)一樣多。目前十三頁\總數(shù)六十七頁\編于四點2、自然數(shù)的序數(shù)理論

皮亞諾（G.Peano）在1889年提出自然數(shù)的公理，建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，以“集合”、“后繼”為原始概念，用一組公理刻劃：目前十四頁\總數(shù)六十七頁\編于四點公理I說明1是自然數(shù)，公理III說明1是最前面的自然數(shù)，公理IV說明N中任何數(shù)都有唯一的后繼元，且不同數(shù)的后繼數(shù)也不同。德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克有一句名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他的數(shù)都是人造的了。”目前十五頁\總數(shù)六十七頁\編于四點自然數(shù)集是一個無限集，也是人們在數(shù)學(xué)上遇到的最簡單、最直接的無限集。從1開始采用求后繼的辦法，可以求出任何一個自然數(shù)，而且求每一個自然數(shù)的過程是有限的，把自然數(shù)集的這種無限性叫做“潛無限”。

歸納公理是第一數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)和邏輯基礎(chǔ)。目前十六頁\總數(shù)六十七頁\編于四點目前十七頁\總數(shù)六十七頁\編于四點應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)的命題時應(yīng)注意：1、第一步是奠基部分，歸納法原理的兩步缺一不可，否則將導(dǎo)致矛盾；2、在證明推導(dǎo)第二步時，一定要用歸納假設(shè)的結(jié)論作為第二步推理的基礎(chǔ)。3、數(shù)學(xué)歸納法是建立在“潛無限”的觀念基礎(chǔ)上，推導(dǎo)過程看似一個有限的過程，但是在邏輯上保證命題對“一切自然數(shù)”都正確。用“有限”體現(xiàn)“無限”的過程。目前十八頁\總數(shù)六十七頁\編于四點正確理解“潛無限”三毛悖論：“任何有頭發(fā)的人都是禿子”。我國的數(shù)學(xué)教科書中在20世紀(jì)90年代之前，一直沒有把0作為自然數(shù)，但是1993年頒發(fā)的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》中《量和單位》規(guī)定自然數(shù)包括0.具體表述為：用0表示“一個物體也沒有”所對應(yīng)的計數(shù)。目前十九頁\總數(shù)六十七頁\編于四點最小數(shù)原理目前二十頁\總數(shù)六十七頁\編于四點

最小數(shù)原理是第二數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)和理論依據(jù)。目前二十一頁\總數(shù)六十七頁\編于四點目前二十二頁\總數(shù)六十七頁\編于四點目前二十三頁\總數(shù)六十七頁\編于四點“瑞雪兆豐年”與數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法考察了以下能力傾向：

（1）從整體結(jié)構(gòu)上直接領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的能力；（2）從數(shù)學(xué)問題、數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)式關(guān)系中洞察對象本質(zhì)的能力；

（3）從解題思路和問題結(jié)果中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。目前二十四頁\總數(shù)六十七頁\編于四點數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法涉及三種題型：

1、直接證明型

2、探討求索型

3、變式演繹型目前二十五頁\總數(shù)六十七頁\編于四點(探討求索型問題)解題思維過程：

嘗試——觀察——歸納、猜想——證明

即從特殊關(guān)系中概括一般規(guī)律，建立猜想，給出嚴(yán)格證明。(數(shù)學(xué)歸納法問題)解題策略：從數(shù)學(xué)問題、數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)式關(guān)系、解題思路和問題結(jié)果等特征去思考問題。目前二十六頁\總數(shù)六十七頁\編于四點目前二十七頁\總數(shù)六十七頁\編于四點目前二十八頁\總數(shù)六十七頁\編于四點三、平靜地接受一些無理數(shù)（一）無理數(shù)的起源和發(fā)展公元前6世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開始研究整數(shù)的性質(zhì)，他們提出了奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、合數(shù)的概念，并逐漸形成了宇宙哲學(xué)觀：“萬物皆數(shù)”。靈魂是不死的，靈魂也是數(shù)，“正義”、“友誼”、“愛情”等概念也可以從數(shù)的關(guān)系中得到解釋。目前二十九頁\總數(shù)六十七頁\編于四點萬物皆數(shù)“萬物皆數(shù)”理論：數(shù)是萬物的本原；數(shù)產(chǎn)生萬物，數(shù)的規(guī)律統(tǒng)治萬物。1是最神圣的數(shù)字，1生2，2生諸數(shù)，數(shù)生點，點生線，線生面，面生體，體生萬物。目前三十頁\總數(shù)六十七頁\編于四點學(xué)派誓詞：

謹(jǐn)以賦予我們靈魂的四象之名宣誓，

長流不息的自然的根源包含于其中.1、上帝是按照數(shù)的規(guī)律創(chuàng)造宇宙的，整個世界正好建立在前四個整數(shù)基礎(chǔ)上的，因而1+2+3+4=10，用10作出的誓言是最莊嚴(yán)、最神圣的。目前三十一頁\總數(shù)六十七頁\編于四點

畢達(dá)哥拉斯湯姆——220瑪麗——284

2、“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密”。

3、完全數(shù)6是婚姻、健康、美麗、幸福的象征。

《圣經(jīng)》注釋家們視6、28為至高無上的建筑師——上帝的基本數(shù)字。目前三十二頁\總數(shù)六十七頁\編于四點4、中國古代以數(shù)字來表達(dá)哲學(xué)觀點：

老子在《道德經(jīng)》有云：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”。

數(shù)學(xué)表示為：0，1，2，3，……

《周易.系辭上》有云：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉兇，吉兇生大業(yè)。數(shù)學(xué)表達(dá)為：1，2，4，8，……

目前三十三頁\總數(shù)六十七頁\編于四點5、《周易.系辭上》有云：“河出圖，洛出書，圣人則之”——“河圖”、“洛書”。河圖”、“洛書”“二四為肩；六八為足，左三右七，戴九履一，五居其中。“九子斜排；上下對易，左右相更，四維挺出。楊輝目前三十四頁\總數(shù)六十七頁\編于四點公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子蘇帕薩斯發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實：（1）正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的。目前三十五頁\總數(shù)六十七頁\編于四點（2）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的徽章正五邊形的邊長和對角線不可公度目前三十六頁\總數(shù)六十七頁\編于四點這一發(fā)現(xiàn)與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的哲學(xué)理論極不和諧，引起了該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)極度惶恐和惱怒，認(rèn)為它動搖了他們在學(xué)術(shù)上的統(tǒng)治，是致命的打擊。蘇帕薩斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后被拋入大海，葬身魚腹，為科學(xué)獻(xiàn)身。不可公度長期得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值一直被認(rèn)為是不可理喻的。15世紀(jì)的意大利畫家達(dá)芬奇稱之為“無理的數(shù)”，17世紀(jì)的德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。目前三十七頁\總數(shù)六十七頁\編于四點然而，真理是淹沒不了的，人們?yōu)榧o(jì)念這位“科學(xué)的星座”，就把不可通約的量改名為“無理數(shù)”。由于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，打破了畢達(dá)哥拉斯的“信條”，引起了數(shù)學(xué)界思想的混亂，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機。目前三十八頁\總數(shù)六十七頁\編于四點（二）無理數(shù)的定義定義1（實數(shù)的無限小數(shù)說）全體有限小數(shù)和無限小數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集。無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。特點：直觀但抽象，無法解釋兩個無限不循環(huán)小數(shù)的和差積商等運算。目前三十九頁\總數(shù)六十七頁\編于四點

問題：0.9999…和1是否相等？不是證明的“證明”：1、籠統(tǒng)的分析：目前四十頁\總數(shù)六十七頁\編于四點2、所謂的“證明”目前四十一頁\總數(shù)六十七頁\編于四點3、極限求和法目前四十二頁\總數(shù)六十七頁\編于四點定義2（康托的基本序列說）有理數(shù)的基本序列的等價類稱為實數(shù).基本思想：把無限小數(shù)看作是一個有限小數(shù)序列的極限。目前四十三頁\總數(shù)六十七頁\編于四點定義3（戴德金分割說）有理數(shù)的戴德金分割稱為實數(shù),有端點分割稱為有理數(shù),無端點分割稱為無理數(shù)?；舅枷耄河欣頂?shù)在直線上分布是稠密的，但是不連續(xù)的，存在“漏洞”?！岸础笔且粋€無法從自身的結(jié)構(gòu)來定義的概念，但是“洞”在直線上對其他點起到“分割”的作用。目前四十四頁\總數(shù)六十七頁\編于四點目前四十五頁\總數(shù)六十七頁\編于四點（三）一些無理數(shù)的證明目前四十六頁\總數(shù)六十七頁\編于四點實數(shù)的鬼魂——虛數(shù)

背景：當(dāng)無理數(shù)的位置確定后，人們又發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題。這樣最簡單的二次方程，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解

一、復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程目前四十七頁\總數(shù)六十七頁\編于四點12世紀(jì)的印度大數(shù)學(xué)家婆什伽羅都認(rèn)為這個方程是沒有解的。他認(rèn)為正數(shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，因此，一個正數(shù)的平方根是兩重的；一個正數(shù)和一個負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒有平方根，因此負(fù)數(shù)不是平方數(shù)。這等于不承認(rèn)方程的負(fù)根的存在。目前四十八頁\總數(shù)六十七頁\編于四點16世紀(jì)，卡爾達(dá)諾的《大衍術(shù)》第一次大膽使用了負(fù)數(shù)平方根的概念。使用負(fù)數(shù)平方根，就有可能解決四次方程的求解問題。雖然他寫出了負(fù)數(shù)的平方根，但他卻猶豫不次，他不得不聲明，這個表達(dá)式是虛構(gòu)的，想像的，并且稱它為”虛數(shù)”。目前四十九頁\總數(shù)六十七頁\編于四點目前五十頁\總數(shù)六十七頁\編于四點目前五十一頁\總數(shù)六十七頁\編于四點

“虛數(shù)”這個名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因為當(dāng)時的觀念認(rèn)為這是真實不存在的數(shù)字。虛數(shù)，人們開始稱之為“實數(shù)的鬼魂”，1637年笛卡兒稱為“想像中的數(shù)”，后來發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對應(yīng)平面上的縱軸，與對應(yīng)平面上橫軸的實數(shù)同樣真實。

1777年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)開始使用符號i表示虛數(shù)的單位。歐拉創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并把它們應(yīng)用到水利學(xué)、地圖繪制學(xué)上。目前五十二頁\總數(shù)六十七頁\編于四點1797年，威賽爾給出了虛