大學數(shù)學工程數(shù)學線性代數(shù)教材

(完好版)大學數(shù)學工程數(shù)學線性代數(shù)教材(完好版)大學數(shù)學工程數(shù)學線性代數(shù)教材(完好版)大學數(shù)學工程數(shù)學線性代數(shù)教材第一章n階隊列式在初等數(shù)學中議論過二階、三階隊列式，而且利用它們來解二元、三元線性方程組.為了研究n元線性方程組，需要把隊列式推行到n階，即議論n階隊列式的問題.為此，下邊先介紹全擺列等知識，然后引出n階隊列式的觀點.§1全擺列及其逆序數(shù)先看一個例子.引例用1、2、3三個數(shù)字，能夠構(gòu)成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解這個問題相當于說，把三個數(shù)字分別放在百位、十位與個位上，有幾種不一樣的放法？明顯，百位上能夠從1、2、3三個數(shù)字中任選一個，所以有3種放法；十位上只好從剩下的兩個數(shù)字中選一個，所以有兩種放法；個位上只好放最后剩下的一個數(shù)字，所以只有1種放法.所以，共有3216種放法.這六個不一樣的三位數(shù)是：123，132，213，231，312，321.在數(shù)學中，把觀察的對象，如上例中的數(shù)字1、2、3叫做元素.上述問題就是：把3個不一樣的元素排成一列，共有幾種不一樣的排法？關(guān)于n個不一樣的元素，也能夠提出近似的問題：把n個不一樣的元素排成一列，共有幾種不一樣的排法？把n個不一樣的元素排成一列，叫做這n個元素的全擺列，簡稱排列.n個不一樣元素的全部擺列的種數(shù)，往常用Pn表示.有引例的結(jié)果可知P3=3.2.1=6.1為了得出計算Pn的公式，能夠模仿引例進行議論：從n個元素中任取一個放在第一個地點上，有n種取法；又從剩下的n－1個元素中任取一個放在第二個地點上，有n－1種取法；這樣持續(xù)下去，直到最后只剩下一個元素放在第n個地點上，只有1種取法.于是Pn=n.（n－1）..3.2.1=n!.關(guān)于n個不一樣的元素，我們規(guī)定各元素之間有一個標準序次（例如n個不一樣的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大為標準序次），于是在這n個元素的任一擺列中，當某兩個元素的先后序次與標準序次不一樣時，就說有1個逆序.一個擺列中全部逆序的總數(shù)叫做這個擺列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的擺列叫做奇擺列，逆序數(shù)為偶數(shù)的擺列叫做偶排列.下邊我們來議論計算擺列的逆序數(shù)的方法.不失一般性，不如設n個元素為1至n這n個自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標準序次.設p1p2pn為這n個自然數(shù)的一個擺列，考慮元素pi(i1,2,,n)，假如比pi大的且排在pi前面的元素有ti個，就說pi這個元素的逆序數(shù)是ti.全體元素的逆序數(shù)之總和ntt1t2tnti，i1即是這個擺列的逆序數(shù).例1求擺列32514的逆序數(shù).解在擺列32514中，23排在首位逆序數(shù)為0；2的前面比2大的數(shù)只有一個“3”，故逆序數(shù)為1；5是最大數(shù)，逆序數(shù)為0；1的前面比1大的數(shù)有三個“3、2、5”，故逆序數(shù)為3；4的前面比4大的數(shù)只有一個“5”，故逆序數(shù)為1；于是擺列的逆序數(shù)為t010315.§2n階隊列式的定義為了給出n階隊列式的定義，我們先研究三階隊列式的構(gòu)造.三階隊列式定義為：a11a12a13a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a11a23a32a12a21a33a13a22a31.(1)簡單看出：①（1）式右側(cè)的每一項都正是三個元素的乘積，這三個元素位于不一樣的行、不一樣的列.所以，（1）式右端的隨意項除正負號外能夠?qū)懗蒩1p1a2p2a3p3.這里第一下標（稱行標）排成標準擺列123，而第二個下標（稱列標）排成p1p2p3，它是1、2、3三個數(shù)的某個擺列.這樣的擺列共有6種，對應（1）式右端共含6項。②各項的正負號與列標的擺列比較：帶正號的三項列標擺列是：123，231，312；帶負號的三項列標擺列是：132，213，321.經(jīng)計算可知前三個擺列都是偶擺列，爾后三個擺列都是奇擺列.3所以各項所帶的正負號能夠表示為(1)t，此中t為列標擺列的逆序數(shù).總之，三階隊列式能夠?qū)懗蒩11a12a13a21a22a23(1)ta1pa2pa3p，123a31a32a33此中t為擺列ppp的逆序數(shù)，表示對1、、3三個數(shù)的全部1232擺列p1p2p3取和.仿此，我們能夠把隊列式推行到一般情況.2a11a12a1na21a22a2nan1an2ann,作出表中位于不一樣行不一樣列的n個數(shù)的乘積，并冠以符號(1)t；得到形如(1)taaanp(2)1p12p2n的項，此中p1p2pn為自然數(shù)1,2,,n的一個擺列，t為這個擺列的逆序數(shù).因為這樣的擺列共有n!個，因此形如（2）式的項共有n!項.4全部這n!項的代數(shù)和(1)ta1pa2p2anpn1稱為n階隊列式，記作a11a12a1nDa21a22a2n，an1an2ann簡記作det(aij).數(shù)aij稱為隊列式的元素.按此定義的二階、三階隊列式，與對角線法例定義的二階、三階隊列式，明顯是一致的.當n1時，|a|a，注意這里|a|不是a的絕對值.例2證明對角線隊列式（此中對角線上的元素都是i，未寫出的元素都是0）12n；12n12n(n1)(1)2n.12n5證第一式是明顯的，下邊證第二式.若記iai,ni1,則依隊列式定義1a1n2a2,n1nan1(1)ta1na2,n1an1(1)t12n,此中t為擺列n(n1)21的逆序數(shù)，故t012(n1)n(n1).證畢2對角線以下（上）的元素都為0的隊列式叫做上（下）三角隊列式，它的值與對角隊列式相同.例3證明下三角隊列式a11a21a220ann.Da11a22an1an2ann證因為當ji時，aij0，故D中可能不為0的元素aipi，其下標應有pii，即p11,p22,,pnn.在全部擺列p1p2pn中，能知足上述關(guān)系的擺列只有一個自然6擺列12n，所以D中可能不為0的項只有一項(1)ta11a22ann，此項的符號(1)t(1)01，所以Da11a22ann.例4設a11a1k0Dak1akkc11c1kb11b1ncn1cnkbn1bnna11a1kD1det(aij)ak1akkb11b1nD2det(bij)bn1bnn證明DD1D2.證記Ddet(dij)，此中dijaij，(i1,,k;j1,,k)7dki,kjbij，(i1,,n;j1,,n).觀察D的一般項(1)td1rddk1,r1dkn,rn,krkk1k因為當ik,jk時，dij0，所以r1,,rk只有在1,,k中選用時，該項才可能不為零.而當r1,,rk在1,,k中選用時，rk1,,rkn只好在k1,,kn中選用.于是D中可能不為零的項能夠記作(1)ta1pakpb1qbnq.1k1n這里，piri,qirk1k，而l為擺列p1pk(kq1)(kqn)的逆序數(shù).以t、s分別表示擺列p1pk及q1qn的逆序數(shù)，應有l(wèi)ts.于是D(1)tsa1pakpb1q1bnqnp1pkq1qn1k(1)ta1pakpk(1)sb1q1bnqnp1pkq1qn8(1)ta1pakpD2p1pk1k(1)ta1pakpD2p1pk1kD1D2.§3對調(diào)為了研究n階隊列式的性質(zhì)，我們先來議論對調(diào)以及它與擺列的奇偶性的關(guān)系.在擺列中，將隨意兩個元素對調(diào)，其他的元素不動，這類作出新擺列的手續(xù)叫做對調(diào).將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對調(diào).定理1一個擺列中的隨意兩個元素對調(diào)，擺列改變奇偶性.證先證相鄰對調(diào)的情況.設擺列為a1alabb1bm，對調(diào)a與b，變成a1albab1bm.明顯，a1al；b1bm這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對調(diào)其實不改變，而a、b兩元素的逆序數(shù)改變成：當ab時，經(jīng)對調(diào)后a的逆序數(shù)增添1而b的逆序數(shù)不變；當ab時，經(jīng)對調(diào)后a的逆序數(shù)不變而b的逆序數(shù)減少1.所以擺列a1alabb1bm與擺列a1albab1bm的奇偶性不一樣.再證一般對調(diào)的情況.設擺列為a1alab1bmbc1cn，把它作m次相鄰對調(diào)，調(diào)成a1alabb1bmc1cn，再作m1次相鄰對調(diào)，調(diào)成9a1albb1bmac1cn.總之，經(jīng)過2m1次相鄰對調(diào)，擺列a1alab1bmbc1cn調(diào)成擺列a1albb1bmac1cn，所以這兩個擺列的奇偶性相反.推論奇擺列調(diào)成標準擺列的對調(diào)次數(shù)為奇數(shù)，偶擺列調(diào)成標準擺列的對調(diào)次數(shù)為偶數(shù).證由定理1知對調(diào)的次數(shù)就是擺列奇偶性變化的次數(shù)，而標準擺列是偶擺列（逆序數(shù)是0），所以得悉推論建立.證畢利用定理1，我們來議論隊列式定義的另一種表示法.關(guān)于隊列式的任一項(1)ta1paipiajpjanp，1n此中1ijn為自然擺列，t為擺列p1pipjpn的逆序數(shù)，對調(diào)元素aipi與ajpj成(1)ta1pajpjaipianp，1n這時，這一項的值不變，而行標擺列與列標擺列同時作了一次相應的對調(diào).設新的行標擺列1jin的逆序數(shù)為t1，則(1)t1(1)t.故(1)t(1)rt1，于是(1)ta1p1aipiajpjanp(1)rt1a1pajpjaipianp.n1n這就表示，對調(diào)乘積中兩元素的序次，進而行標擺列與列標擺列同時作出了相應的對調(diào)，則行標擺列與列標擺列的逆序數(shù)之和其實不改變奇偶性.經(jīng)過一次對調(diào)這樣，經(jīng)過多次對調(diào)仍是這樣.于是，經(jīng)過10若干次對調(diào)，使：列標擺列p1p2pn（逆序數(shù)為t）變成自然擺列（逆序數(shù)為0）；行標擺列則相應地從自然擺列變成某個新的擺列，設此新擺列為q1q2qn，其逆序數(shù)為s，則有(1)ta1p1a2p2anpn(1)saq11aq22aqnn.又，若pij，則qji（即aipiaijaqj）.可見擺列jq1q2qn由擺列p1p2pn所獨一確立.由此可得定理2n階隊列式也可定義為D(1)tap1ap2apnn，12此中t為行標擺列p1p2pn的逆序數(shù).證按隊列式定義有D(1)ta1p1a2p2a3p3anpn，記D1(1)tap11ap22ap33apnn.按上邊議論知：關(guān)于D中任一項(1)taaaa，總有1p2p23p3npn1且僅有D1中的某一項(1)saq11aq22aq33aqnn與之對應并相等；反之，關(guān)于D1中的任一項(1)tap11ap22ap33apnn，也總有且僅有D中11的某一項(1)sa1qa2qa3q3anq與之對應并相等，于是D與D1中的12n項能夠一一對應并相等，進而DD1.§4隊列式的性質(zhì)記a11a12a1na11a21an1Da21a22a2n，Da12a22an2，an1an2anna1na2nann隊列式D稱為隊列式D的轉(zhuǎn)置隊列式.性質(zhì)1隊列式與它的轉(zhuǎn)置隊列式相等.證記Ddet(aij)的轉(zhuǎn)置隊列式b11b12b1nDb21b22b2n，bn1bn2bnn即bijaji,(i,j1,2,,n)，按定義D(1)tb1p1b2p2bnpn(1)tap1ap2apn.12n而由定理2，有12D(1)tap1ap2apn，12n故DD.證畢由此性質(zhì)可知，隊列式中的行與列擁有相同的地位，隊列式的性質(zhì)凡是對行建立的對列也相同建立，反之亦然.性質(zhì)2交換隊列式的兩行（列），隊列式的值改變符號.證設隊列式b11b12b1nb21b22b2nD1bn1bn2bnn是由隊列式Ddet(aij)交換i,j兩行獲得的，即當ki,j時，bkpakp；當ki,j時，bipajp，bjpaip.于是D1(1)tb1pbipibjpjbnp1n(1)ta1pajpiaipjanpn1(1)ta1paipjajpianp,1n此中1ijn為自然擺列，t為擺列p1pipjpn的逆序數(shù).設擺列p1pjpipn的逆序數(shù)為t1，則(1)t(1)t1，故D1(1)t1a1paipjajpianpnD.證畢1以ri表示隊列式的第i行，以ci表示隊列式的第i列.交換i,j兩13行記作rirj，交換i,j兩列記作cicj.推論假如隊列式有兩行（列）完好相同，則此隊列式為零.證把完好相同的兩行（列）交換，有DD，故D0.性質(zhì)3隊列式的某一行（列）中全部的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此隊列式.第i行（或列）乘以k，記作rik（或cik）.性質(zhì)4隊列式中假如有兩行（列）元素成比率，則此隊列式的值等于零.性質(zhì)5若隊列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和，比如a11a12(a1ia1'i)a1nDa21a22(a2ia2'i)a2n，an1an2(ania'ni)ann則D等于以下兩個隊列式之和：a11a12a1ia1na11a12a1'ia1na21a22a2ia2na21a22a2i'a2n.Dan1an2aniannan1an2ani'ann性質(zhì)6把隊列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)而后加到另一列（行）上去，隊列式的值不變.比如以數(shù)k乘第j列加到第i列上去（記作cikcj），有14a11a1ia1ja1na21a2ia2ja2nan1anianjanna11(a1ika1j)a1ja1na21(a2ika2j)a2ja2n,(ij).cikcjan1(anikanj)anjann（以數(shù)k乘第j行加到第i行上，記作rikrj）性質(zhì)3至性質(zhì)6的證明，請讀者自行達成.這些性質(zhì)可用于簡化隊列式的計算.例5計算3112D5134201.11533解15例6計算31111311D13.111113解這個隊列式的特色是各列4個數(shù)之和都是6.今把第2、3、4行同時加到第1行，提出公因子6，而后各行減去第1行：16例7計算abcdDaababcabcda2ab3a2bc4a3b2cda3ab6a3bc10a6b3cd解從第4行開始，后行減前行：§5隊列式按行（列）睜開一般說來，廉價隊列式的計算比高價隊列式的計算要簡易，于是，我們自然地考慮到用廉價隊列式來表示高價隊列式的問題.為此，先引進余子式和代數(shù)余子式的觀點.17在n階隊列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n1階隊列式叫做元素aij的余子式，記作Mij；記Aij(1)ijMij，Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式.比如四階隊列式a11a12a13a14a21a22a23a24Da31a32a33a34a41a42a43a44中元素a32的余子式和代數(shù)余子式分別為a11a13a14Ma21a23a24，a41a43a44A(1)32M32M32.32引理一個n階隊列式，假如此中第i行全部元素除aij外都為零，那么這個隊列式等于aij與它的余子式的乘積，即DaijAij.18證先證aij位于第1行第1列的情況，此時a11000a21a22a2nD.an1an2ann這是例4中當k1時的特別情況，照例4的結(jié)論，即有a11M11.又A11(1)11M11M11，進而Da11A11.再證一般情況，此時a11a1ja1nD0aij0.an1anjann為了利用前面的結(jié)果，把D的隊列作以下調(diào)動：把D的第i行挨次與第i1行、第i2行、、第1行對調(diào)，這樣aij就調(diào)到本來a1j的地點上，調(diào)動的次數(shù)為i1.再把第j列挨次與第j1列、第j2列、、第1列對調(diào)，這樣aij就調(diào)到左上角，調(diào)動的次數(shù)為j1.19總之，經(jīng)過ij2次對調(diào)，把aij調(diào)到左上角，所得的隊列式D1(1)ij2D(1)ijD，而元素aij在D1中的余子式仍舊是aij在D中的余子式Mij.因為aij位于D1的左上角，利用前面的結(jié)果，有D1aijMij，于是D(1)ijD1(1)ijaijMijaijAij.定理3隊列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n),或DaAaAaA(j1,2,,n).1j1j2j2jnjnj證a11a12a1nD000ai2000ainai1an1an2ann20a11a12a1na11a12a1nai1000ai20an1an2annan1an2anna11a12a1n00ain，an1an2ann依據(jù)引理可知Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)近似地，若按列證明，可得Da1jA1ja2jA2janjAnj(i1,2,,)證畢n這個定理叫做隊列式按行（列）睜開法例.利用這一法例并聯(lián)合隊列式的性質(zhì)，能夠簡化隊列式的計算.下邊，我們用此法來計算例5的隊列式31125134D01.211533我們保存a33，把第3行其他元素變成0，而后按第3行睜開：21例8計算aba0babD2n00.cdc0dcd2n解按第1行睜開，有22adD2(n1)bc(1)2n11D2(n1)(adbc)D2(n1)，以此作遞推公式，即可得D2n(adbc)D2(n1)(adbc)2D2(n2)(adbc)n1D2(adbc)n1abbc)n.c(add23例9證明范德蒙隊列式111x1x2xnDnx12x22xn2(xixj).(3)nij1x1n1x2n1xnn1此中記號“”表示全體同類因子的乘積.證用數(shù)學概括法.因為D211x2x1(xixj)，x1x22ij1所以當n2時（3）式建立.此刻假定（3）式關(guān)于n1階范德蒙行列式建立，要證（3）式對n階范德蒙隊列式也建立.為此，想法把Dn降階：從第n行開始，后行減去前行的x1倍，有11110x2x1x3x1xnx1Dn0x2(x2x1)x3(x3x1)xn(xnx1)，0x2n2(x2x1)x3n2(x3x1)xnn2(xnx1)按第1列睜開，并把每列的公因子（xix1）提出，就有24111Dn(x2x1)(x3x1)(xnx1)x2x3xn.x2n2x2n2x2n2上式右端的隊列式是n1階范德蒙隊列式，按概括法假定，它等于全部（xixj）因子的乘積，此中nij2.故Dn(x2x1)(x3x1)(xnx1)(xixj)nij2.(xixj)證畢nij2由定理3，還可得下述重要推論：推論隊列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,ij，或a1iA1ja2iA2janiAnj0,ij.證把隊列式Ddet(aij)按第j行睜開，有25a11a1nai1ainaj1Aj1aj2Aj2ajnAjn,aj1ajnan1ann在上式中把ajk換成aik(k1,,n)，可得a11a1nai1ain第i行ai1Aj1ai2Aj2ainAjnai1ain第j行an1ann當ij時，上式右端隊列式中有兩行對應元素相同，故隊列式為零，即得ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,(ij)上述證法如按列進行，可得a1iA1ja2iA2janiAnj0,(ij)證畢26§6克萊姆法例含有n個未知數(shù)x1,x2,,xn的n個線性方程的方程組a11x1a12x2a1nxnb1,a21x1a22x2a2nxnb2,(4)an1x1an2x2annxnbn,與二、三元線性方程組相近似，它的解能夠用n階隊列式表示，即有克萊姆法例假如線性方程組（4）的系數(shù)隊列式不等于零，即a11a1nD0，an1ann那么，方程組（4）有獨一解x1D1,x2D2,,xnDn,DDD（5）此中Dj(j1,2,,n)是把系數(shù)隊列式D中第j列的元素用方程組右端的自由項取代后所獲得的n階隊列式，即a11a1,j1b1a1,j1a1nDj.an1an,j1bnan,j1ann證用D中第j列元素的代數(shù)余子式A1j,A2j,Anj挨次乘方27程組（4）的n個方程，再把它們相加，得nnnak1Akjx1akjAkjxjaknAkjxnk1k1k1nbkAkj,k1依據(jù)代數(shù)余子式的重要性質(zhì)可知，上式中xj的系數(shù)等于D，而其他xi(ij)的系數(shù)均為0；又，等式右端即是Dj.于是DxjDj,(j1,2,,n).（6）當D0時，方程組（6）有獨一的一個解（5）.因為方程組（6）是由方程組（4）經(jīng)乘數(shù)與相加兩種運算而得，故（4）的解必定是（6）的解。今（6）僅有一個解（5），故（4）假如有解，就只好是解（5）.為證明（5）是方程組（4）的獨一解，還需考證解（5）確是方程組（4）的解，也就是要證明D1D2Dnbi,(i1,2,,n)，ai1ai2ainDDD為此，考慮有兩行相同的n1階隊列式biai1ainb1a11a1n(i1,2,,n)，bnan1ann它的值為0.把它按第1行睜開，因為第1行中aij的代數(shù)余子式為28b1a11a1,j1a1,j1a1n(1)1j1，bnan1an,j1an,j1ann(1)j2(1)j1DiDj,所以有0biDai1D1ainDn，即ai1D1ai2D2ainDnbi,(i1,2,,n).DDD例10解線性方程組2x1x25x3x48,x13x26x49,2x2x32x45,x14x27x36x40.解3327,722981519306D12181,52047628511906D251108,02107621811396D32527,02140621581309D42127,051470于是得x13,x24,x31,x41.克萊姆法例有重要的理講價值，撇開求解公式（5），克萊姆法例可表達為下邊的重要定理.定理4假如線性方程組（4）的系數(shù)隊列式D0，則（4）一定有解，且解是獨一的.定理4的逆否認理為定理4'假如線性方程組（4）無解或有兩個不一樣的解，則它的30系數(shù)隊列式必為零.線性方程組（4）右端的自由項b1,b2,,bn不全為零時，線性方程組（4）叫做非齊次方程組，當b1,b2,,bn全為零時，線性方程組（4）叫做齊次方程組.關(guān)于齊次線性方程組a11x1a12x2a1nxn0,a21x1a22x2a2nxn0,（7）an1x1an2x2annxn0.x1x2xn0必定是它的解，這個解叫做齊次方程組（7）的零解.假如一組不全為零的數(shù)是（7）的解，則它叫做齊次方程組（7）的非零解.齊次方程組（7）必定有零解，但不必定有非零