線性代數(shù)課件

線性代數(shù)的主線線性方程組

§3.3帶度量的向量空間

在解析幾何中，對(duì)平面上的有向線段與可做點(diǎn)乘運(yùn)算其中，表示有向線段與的夾角，和分別有向線段與的長(zhǎng)度。利用點(diǎn)乘可得取定平面直角坐標(biāo)系后，設(shè)則易得

在幾何中，與均有直觀的幾何意義。但對(duì)一般的n元實(shí)向量則無(wú)法直接討論它們的長(zhǎng)度與夾角。我們仿照點(diǎn)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法，把當(dāng)作向量與的“點(diǎn)乘”，就可反向引入向量的長(zhǎng)度與夾角的概念。

一、向量的內(nèi)積

定義設(shè)V是實(shí)向量空間。任取，設(shè)則與的內(nèi)積規(guī)定為

設(shè)，則

性質(zhì)設(shè)V是實(shí)向量空間。對(duì)任意及，均有（1）

（2）

（3）

（4）

，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

定義定義了內(nèi)積運(yùn)算的實(shí)向量空間稱(chēng)為Euclid空間，簡(jiǎn)稱(chēng)為歐氏空間。二、向量的度量

定義設(shè)V是歐氏空間，任取，則的長(zhǎng)度規(guī)定為定理設(shè)

V是歐氏空間，則對(duì)任意均有上式稱(chēng)為Cauchy-Schwarz不等式。

注

(1)

(2)為單位向量

(3)是單位向量（稱(chēng)上述過(guò)程

為對(duì)單位化）

(4)

證明

(1)，結(jié)論成立；(2)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有即因的系數(shù)大于零，故

即于是

定義設(shè)V是歐氏空間，，且均不是零向量，則與的夾角規(guī)定為這里

。▌

定義若，則稱(chēng)向量與向量正交，記為。

例設(shè)，則對(duì)任意與任意，均有。

定理設(shè)V是歐氏空間，與是V中任意兩個(gè)向量，則有（1）三角不等式：

（2）勾股定理：若，則三、標(biāo)準(zhǔn)正交基

定義設(shè)V是歐氏空間，是V中m個(gè)非零向量。若兩兩正交，則稱(chēng)是正交向量組。由單位向量構(gòu)成的正交向量組稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

例在歐氏空間中，自然基是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

例在歐氏空間中，一個(gè)單位向量本身也是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

定理設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)正交向量組，則線性無(wú)關(guān)。

證明設(shè)是正交向量組，令兩邊同時(shí)與做內(nèi)積，得因兩兩正交，故

于是又，故，由此得。

同理可證。所以線性無(wú)關(guān)。▌

把兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量化為兩個(gè)正交的向量：

設(shè)1,2

線性無(wú)關(guān)，令

則因要求，故又，故。從上式解得

已知線性無(wú)關(guān)，故。于是1,2是正交向量組。

令，則是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。此外，

定理設(shè)V是歐氏空間，是V中m個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，則V中存在m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的向量，并且,Schmidt正交化方法：已知線性無(wú)關(guān)1.

正交化：

2.

單位化：

例已知中的，求三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的向量。解

1.

正交化

2.

單位化則即為所求的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。▌

定義設(shè)V是歐氏空間，則V中由正交向量組構(gòu)成的基稱(chēng)為正交基，V中由標(biāo)準(zhǔn)正交向量組構(gòu)成的基稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基。

例歐氏空間V的自然基即是標(biāo)準(zhǔn)正交基。

定理設(shè)是歐氏空間，且，則V一定存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。

例已知?dú)W氏空間中的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量把擴(kuò)充為的標(biāo)準(zhǔn)正交基。解

1．把擴(kuò)充為的一個(gè)基：

取向量，易證線性無(wú)關(guān)，因此它們是的一個(gè)基。2．把化為的一個(gè)正交基：

則兩兩正交，且都不是零向量，因此它們是的一個(gè)正交基。令3．把化為的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基：

令

則即為的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。▌四、正交矩陣

定義設(shè)，若，則稱(chēng)A是正交矩陣。顯然，正交矩陣A滿(mǎn)足。設(shè)是正交矩陣，其列向量組為

由得

所以又（歐氏空間），且

（與的內(nèi)積）故有即是中的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

定理設(shè)，則A是正交矩陣的充分必要條件是A的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交的。

例設(shè)，其中。證明：B是正交矩陣。證明

∵B的列向量組標(biāo)準(zhǔn)正交∴B是正交矩陣。

（另法）∵

∴又，而故。所以于是，B是正交矩陣。

例設(shè)，證明：若A可逆，則A可表示為其中

Q是n階正交矩陣，R是n階可逆上三角陣。上式稱(chēng)為實(shí)方陣A的正交分解。▌小結(jié)

1.

向量空間