2023年武陟某中學科數(shù)學試題二〕

武陟一中科數(shù)學試題（二〕

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符

合題目要求的.

1.設全集U是實數(shù)集R,集合M={xIf22x},N={x門Og2（Ll）W0},那么MCN

A.{1,2}B.{2}C.{1}D.[1,2]

2.i為虛數(shù)單位，假設復數(shù);=y」，那么izi=

l+2z5

A.IB.2C.V5D.2>/5

3.雙曲線f-4y2=4的離心率為

A.V6B.V5C.2D.用

22

4.某學生在一門功課的22次考試中，所得分數(shù)如下莖葉圖所示，那么此學生該門功課考試

分數(shù)的極差與中位數(shù)之和為

A.117B.118C.118.5D.119.5

5.在AABC中，M是AB邊所在直線上任意一點，假設CM=-2C4+A,那么人

A.1B.2C.3D.4

6."m=-1"是"函數(shù)f（x）=ln（mx）在（一8,。）上單調(diào)遞減”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.公差不為0的等差數(shù)列{4}的前21項的和等于前8項的和.假設。8+%=0,那么k=

A.20B.21C.22D.23

11%2

8.在如下圖的程序框圖中，假設U=lg—?log,—,V=2',那么輸出的S=

310

11

A.2B.—C.1D.一

24

9.在幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為

A.V2B.272C.—D.—

33

10.e,“分別是自然對數(shù)的底數(shù)和圓周率，那么以下不等式中不成立的是

A.4e>yj/rB.log^+loge>1

C.log.e+（log，乃）2>2D.ee—e>e”一n

11.在4ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，假設"+02=2023c?,那么

2tanA-tanB..，.?

-----------；-------的值為

tanC(tanA+tanB)

A.0B.1C.2023D.2023

12.四面體ABCD中，AD與BC互相垂直，且AB+BD=AC+CD.那么以下結(jié)論中錯誤

的是

A.假設分別作4BAD和4CAD的邊AD上的高，那么這兩條高所在直線異面

B.假設分別作ABAD和ACAD的邊AD上的高，那么這兩條高長度相等

C.AB=AC且DB=DC

D./DAB=/DAC

二、填空題：本大題共4小題，每題5分.

13.圓x2+y2-2x+my-2=0關(guān)于拋物線V=4y的準線對稱，那么m=

x-y—W0

14.不等式組對應的平面區(qū)域為D,直線y=k(x+1)與區(qū)域D有公共點，

x+y-3W0

那么k的取值范圍是.

15.函數(shù)f(x)=---,假設存在0G(―,—),使f(sin。)+f(cos^z?)=0,那么

x-a42

實數(shù)a的取值范圍是.

16.設｛4｝是等差數(shù)列，他,｝是等比數(shù)列，記屹,｝的前n項和分別為S.,Tn.假

設a3=b3，a4=b4?且￡~^=5,那么.

《工打+打

三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題總分值12分)

a=(2cosx+25/3sinx,1),b=(y,cosx),且?！ā?gt;.

(I)將y表示成x的函數(shù)/(x),并求/(x)的最小正周期；

⑴)記/(x)的最大值為a、b、c分別為AABC的三個內(nèi)角A、B、C對應

的邊長，假設/(q)=M,且。=2,求力c的最大值.

18.(本小題總分值12分)為了參加2012省高中籃球比賽，某中學決定從四個籃球較強的

班級的籃球隊員中選出12人組成男子籃球隊，代表該地區(qū)參賽，四個籃球較強的班級籃球

隊員人數(shù)如下表：

班級高三(7)班高三(17)班高二(31)班高二(32)班

人數(shù)12699

(I)現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這四個班中抽取運發(fā)動，求應分別從這四個班抽出的隊員人

數(shù)；

(H)該中學籃球隊奮力拼搏，獲得冠軍.假設要從高三年級抽

出的隊員中選出兩位隊員作為冠軍的代表發(fā)言，求選出的兩名隊

員來自同一班的概率.

19.(本小題總分值12分)

如圖5,如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD是矩形,

24，平面48。。，E、廠分別是AB、的中點.

(I)求證：AF〃平面PEC；

(H)假設PD與平面ABCD所成角為60,且

AO=2,A8=4,求點A到平面PEO的距離.圖5

20.(本小題總分值12分)

3

橢圓E的焦點在x軸上，離心率為工，對稱軸為坐標軸,且經(jīng)過點(1,彳).

2

(I)求橢圓E的方程;

(II)直線丁=H一2與橢圓￡相交于A、B兩點，。為原點，在OA、上分別存在異

于。點的點/、N,使得。在以MN為直徑的圓外，求直線斜率上的取值范圍.

21.(本小題總分值12分)

設m為實數(shù)，函數(shù)f(x)=-e2'+2x+m,xGR

1I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

111)求證：當mWl且x>0時，e2x>2x2+2mx+l.

請考生在第22、23、24三題中任選一題作答

22.(本小題總分值10分)選修4—1：幾何證明選講

如圖，。0的半徑為1,MN是。O的直徑，過M點/

作。O的切線AM,C是AM的中點，AN交。O于B點，(I\\\

假設四邊形BCON是平行四邊形；I

(I)求AM的長；\XV\

(II)求sinZANC._____

23.(本小題總分值10分)選修4—4：坐標系與參數(shù)方程MC

曲線Ci的極坐標方程為Pcos(6=-1,曲線C2的極坐標方程為P=2返

3

cos(e以極點為坐標原點，極軸為X軸正半軸建立平面直角坐標系.

4

(I)求曲線C2的直角坐標方程；

(II)求曲線C2上的動點M到曲線Cl的距離的最大值.

24.(本小題總分值10分)選修4一5：不等式選講

不等式2IX—3I+IX—4I<2a.

(I)假設a=l,求不等式的解集；

UI)假設不等式的解集不是空集，求a的取值范圍.

武陟一中數(shù)學文科〔二〕答案

(1)B(2)A(3)D(4)B(5)C(6)A

(7)C(8)B(9)D(10)D(11)C(12)A

(13)2(14)[0,1]

，3

I22J5

17、解：⑴由a〃〃得2cos2x+26sinxcos-y=02'

即y=2cos2%+2V3sinxcos=cos2x+Gsin2x+l=2sin(2x+—)+1

6

JT

所以/(x)=2sin(2x+—)+1,4f

6

2JI2n

又T=』=』=乃

co2

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為九6'

（II）由（I）易得M=37'

于是由7（4）=〃=3,即2sin（A+馬+l=3nsin（4+馬=1,

266

因為A為三角形的內(nèi)角，故A=27T9'

3

由余弦定理cr-h2+c2-2/?ccosA得4=〃+C2-bc>2bc-hc=bc11'

解得。cW4

于是當且僅當"=c=2時，/?c的最大值為4.12'

18、解：

12

（I）由題，應從高三（7）班中抽出12x—=4人，

36

應從高三（17）班中抽出12x9=2人，

36

9

應從高二（31）班中抽出12x—=3人，

36

9

應從高二（32）班中抽出12*—=3人。......................................4、

36

（II）記高三⑺班抽出的4人為A、&、A3、A「高三（17）班抽出的兩人為⑸、B2,

那么從這6人中抽出2人的根本領(lǐng)件有：（A”a）、（A，4）、（A，A）、（4,與）、（4，當）、

（&,4）、（4，4）、⑷，用）、（七層）、（&,4）、（&出）、（&，當）、（兒,用）、

（4,魚）、（石，當）共15件，7、

記“抽出的2人來自同一班"為事件C,那么事件C含：（4，42）、（4,4）、（A，At）、

（4,4）、（4,4）、（A3,A4）>（耳出）共7件，10'

7

故P（C）=—12'

15

19、解：【法一】（I）證明：如圖，取PC的中點O,連接OfOE.

由得OF//DCROF=-DC,

2

又一￡是AB的中點，那么OFHAE且

OF=AE,

.'.A￡0F是平行四邊形，4'

：.AF//OE

又?OEu平面PEC,AEz平面PEC

〃平面PEC6'

（II）設A平面PEZ）的距離為d,

【法一】：因P4_L平面ABC。，故NPZM為PD與平

面ABCD所成角，所以NPDA=60",

lAD

所以物=A￡>tan600=2g,PD==4,

cos600

又因46=4,E是AB的中點所以AE=2,

PE=^PA2+AE2=4,

DE=y/DA2+AE2=2V2.

作FHLDE于“，因PZ)=PE=4,OE=2j5,那么

DH=后,PH7PD2-DH)=?,.................................9'

那么SMDE=~XAD.AE=2,S"DE=gxPH-DE=

因^P-AED=^A-PDE

所以dJ4sm=也2=巫.....................................

SRPDE2幣7

【法二】因_L平面ABCD,故ZPDA為PO與平面ABC。所成角，所以ZPDA=60",

lAn

所以Q4=AZ>tan60"=2近，PD=------=4,又因A5=4,E是AB的中點所以

cos60"

AE=2=AD,PE=VPA2+AE2=4,DE=DA2+AE2=242.

作PH上DE于H,連結(jié)A”，因PD=PE=4,那么〃為。E的中點，故AH_LO￡

所以DE_L平面PAH,所以平面POE_L平面PAH,作AG_LP”于G,那么AG,平

面POE,所以線段AG的長為A平面PEO的距離。

又DH=6,PH7Pbi-DH。=9,AH7AD?-DH。=五

所以AG=^^=^1=酒...................................12,

PH履7

20、⑴依題意，可設橢圓E的方程為=+與=1(4>6>0).

CTb-

由￡=工=>。=20力2-cr-c2=3c2

a2

31g

??,橢圓經(jīng)過點(1,彳)，那么彳+卷=L解得。2=1

X2y2

???橢圓的方程為一+匕=14'

43

y=kx-2

(II)聯(lián)立方程組1/2,消去丁整理得(4%2+3)》2—16日+4=05'

——+—=1

143

???直線與橢圓有兩個交點，

△=(一16左)2_]6(4公+3)>0,解得公>J_①6

4

:原點。在以MN為直徑的圓外，

:.NMON為銳角,即OM-ON>0.

而M、N分別在OA、08上且異于。點，即。4?。8>08'

設A,3兩點坐標分別為A(x”y),B(x2,y2),

那么0/4?。3=（%,名>（%2，%）=%%2+X%=（”2+1）x|工2—2左（X1+々）+4

解得％2<芻，②11'

3

綜合①②可知：-氈，一氈]12'

（21）解：（I）/,（%）=-2（e2v-l）,xeR,令/'（x）=0可得x=0,

易知XG(-00,0)時r(x)>0./(x)=-e2x+2x+/n為增函數(shù)，

xe(0,+oo)時/'(x)<0,/(x)=-e2'+2x+m為減函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)有極大值，無極小值，極大值為/(0)=機一1...............................(6分)

(II)令g(x)=e2*-2x?,x>0,那么

g'(x)=2e2v—4x—2==—2(-e"+2x+——2/(x),

由(I)知，當x>0時，/(x)</(0)=m-K0,所以g'(x)=—2/(x)>0,

故g（x）在（0,+8）上為增函數(shù),

所以g(x)>g(0)=0,故e2*>2/+2〃/+1....................................................(12分)

（22）解：（I）連接那么NMBN=90°,

因為四邊形BCON是平行四邊形，所以BC〃MN,

因為AV是。。的切線，所以肱VLA",可得

又因為C是AM的中點，所以防f=B4,

得NM4M=45°,故AM=2......