高等數(shù)學(xué)下冊-第8章-向量代數(shù)與空間解析幾何

本章導(dǎo)學(xué)第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）主講教師|向量代數(shù)與空間解析幾何2本章內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)中很獨立的一部分內(nèi)容,在這里進行研究,是因為就像在學(xué)習(xí)一元函數(shù)的微積分時使用了許多平面解析幾何的知識一樣,在下面多元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)時,必須用到這些空間解析幾何知識.

因此,本章是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ).它不僅為二元函數(shù)微積分提供必要的幾何圖形知識,且其中的向量代數(shù)也是學(xué)習(xí)后繼課程不可缺少的工具.第8章3二、向量代數(shù)向量的運算---加減,數(shù)乘,點乘,叉乘,混合積.

一、空間直角坐標系向量位置關(guān)系的刻畫---平行,垂直,夾角.空間直角坐標系向量的概念---大小,方向,相等,向徑,坐標等.

向量的方向角、方向余弦.空間兩點間的距離向量代數(shù)與空間解析幾何第8章4三、空間的平面平面的方程兩平面的位置關(guān)系點到平面的距離四、空間的直線直線的方程兩直線的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系向量代數(shù)與空間解析幾何第8章5五、曲面與曲線柱面旋轉(zhuǎn)曲面二次曲面曲面與曲線方程的一般概念本章主要在在空間直角坐標系下,利用向量代數(shù)的知識研究幾何問題,刻畫空間中直線與平面的位置關(guān)系,建立許多重要的空間曲線和曲面的方程,為后面多元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)做好準備.

特殊的曲面及其方程曲線在坐標面的投影向量代數(shù)與空間解析幾何第8章第1講向量及其運算第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）主講教師|空間直角坐標系本講內(nèi)容空間兩點間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運算向量的坐標向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積01

空間直角坐標系8以空間中一定點??為原點,過定點??,引3條互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標系,稱為空間直角坐標系.點??叫做坐標原點.這3條數(shù)軸分別叫作??軸（橫軸）,??軸（縱軸）,??

軸（豎軸）,統(tǒng)稱為坐標軸.其正向通常符合右手法則.xyOz901

空間直角坐標系3個坐標軸兩兩決定一個平面,稱為坐標平面,分別記為??????、??????、??????平面,3個坐標平面將空間分為8個卦限.

ⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅦⅠ1001

空間直角坐標系在空間直角坐標系中,空間中的點與三維有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.點??,??,??也稱為點??在三個坐標平面??????,??????,??????內(nèi)的投影.空間直角坐標系本講內(nèi)容空間兩點間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運算向量的坐標向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積1202

空間兩點間的距離

解設(shè)??(1,1,1)與??

(2,3,4)為空間兩點,求??

與B兩點間的距離.1302

空間兩點間的距離

由兩點之間距離公式可得,A與B兩點間的距離為??例1

在??軸上求與點??(3,5,?2)和??(?4,1,5)等距離的點??.1402

空間兩點間的距離??例2解由空間兩點間的距離公式,得由于所求的點??在??軸上,因此??點的坐標可設(shè)為(0,0,??),又由于

從而解得即所求的點為

空間直角坐標系本講內(nèi)容空間兩點間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運算向量的坐標向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積1603

向量的概念既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）.??稱為向量的起點,??稱為向量的終點,用有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.通常用黑體ɑ,b,c

或帶箭頭的字母

來表示向量.數(shù)學(xué)上,我們用有向線段來表示向量,

1703

向量的概念如果兩個向量??和??的大小相等,且方向相同,我們就說向量??和??為相等向量,記作??=b.與向量??大小相等,方向相反的向量叫作??的負向量（反向量）,記作???.1803

向量的概念兩個非零向量如果它們的方向相同（或者相反）,就稱這兩個向量平行.又稱兩向量共線.向量??

與b

平行,記作??∥b.設(shè)有??(??≥3)個向量,當它們的起點放在同一點時,如果??個終點和公共起點在一個平面上,則稱這??個向量共面.空間直角坐標系本講內(nèi)容空間兩點間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運算向量的坐標向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積就表示??

與b的和,記作??+b.2004

向量的線性運算??+bBbC??A??定義8.1該法則稱為三角形法則,如圖所示.對向量??,b

,任取一點??作為向量??

的起點,作

再以??為起點,作

連接????,那么向量

1.向量的加法2104

向量的線性運算該法則稱為平行四邊形法則,如圖所示.??O??+bBb當向量??

和b

不平行時,將向量??

與b

平移到同一起點??,以此兩向量為鄰邊作平行四邊形,以起點??到定點??所做的向量為向量??與b的和,即

2204

向量的線性運算向量的加法滿足以下運算法則.(1)交換律:

(2)結(jié)合律:

2304

向量的線性運算??定義8.2向量ɑ與b的負向量?b的和,稱為向量ɑ與b的差,

特別地,當b=??

時,??+(???)=0.2.向量的減法2404

向量的線性運算??定義8.3

3.數(shù)乘向量2504

向量的線性運算3.數(shù)乘向量??定理8.1若??和??為實數(shù),向量的數(shù)乘滿足以下運算法則.向量的加法運算與數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.

空間直角坐標系本講內(nèi)容空間兩點間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運算向量的坐標向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積2705

向量的坐標

2805

向量的坐標

設(shè)

即r2905

向量的坐標

設(shè)則

3005

向量的坐標??例3解

e

3105

向量的坐標??例4

解

3205

向量的坐標

所以

解得??的坐標為3305

向量的坐標

??例5

解

上的點??將它分為兩條有向

和

線段

求分點??的坐標.

空間直角坐標系本講內(nèi)容空間兩點間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運算向量的坐標向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積3506

向量的數(shù)量積與方向余弦??定義8.4

1.向量的數(shù)量積3606

向量的數(shù)量積與方向余弦由數(shù)量積定義可得數(shù)量積滿足如下運算性質(zhì).特別地,有

(1)交換律

(2)分配律

(3)結(jié)合律

3706

向量的數(shù)量積與方向余弦

由數(shù)量積的運算性質(zhì)得

設(shè)非零向量

3806

向量的數(shù)量積與方向余弦與3條坐標軸正向的夾角分別為設(shè)非零向量

OxyzRM2βαM1γ

稱為向量ɑ

的方向余弦.

2.向量方向余弦3906

向量的數(shù)量積與方向余弦

??例6

則

由題意可知解

4006

向量的數(shù)量積與方向余弦

4106

向量的數(shù)量積與方向余弦又

所以向量ɑ的方向余弦為

這就是方向余弦的計算公式.將以上3式平方后相加,得

4206

向量的數(shù)量積與方向余弦

則??例7由題意知解

由于

空間直角坐標系本講內(nèi)容空間兩點間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運算向量的坐標向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積4407

向量的向量積與混合積??定義8.5設(shè)兩向量??

,

b的向量積確定的一個新向量c

,

c滿足下列條件.

(2)c同時垂直于向量??與b

,即c垂直于向量??

,

b所決定的平面;(3)c的方向,按順序??,b,c符合右手法則拇指的指向.1.向量的向量積4507

向量的向量積與混合積??注c=??×b.即向量??與b的向量積（也稱為外積或叉積）,記作??×b,兩向量??與b的向量積??

×b是一個向量,其模|??×b|的幾何意義是以為??,

b鄰邊的平行四邊形的面積4607

向量的向量積與混合積

(4)與數(shù)乘的結(jié)合律:

(3)分配律:

(2)反交換律:對向量??,b及任意實數(shù)??,由向量積的定義可以推得如下性質(zhì).

4707

向量的向量積與混合積由向量積的定義與性質(zhì),對空間直角坐標系的坐標軸的單位向量

i,j,k有

向量??={x1,

y1,

z1}和向量b={x2,

y2,

z2}的向量積的坐標表示4807

向量的向量積與混合積

為了便于記憶,借助于線性代數(shù)中的二階行列式及三階行列式,則有4907

向量的向量積與混合積??注

對兩個非零向量??={x1,

y1,

z1},b={x2,

y2,

z2}則有

5007

向量的向量積與混合積??例8解

已知向量??={3,?1,?2},??={1,2,?1},求??×2??.5107

向量的向量積與混合積

??例9

解

因此

根據(jù)向量積模的幾何意義知,三角形ABC的面積為

5207

向量的向量積與混合積

試用向量的線性運算證明：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，且其長度等于第三邊的一半.??例10

解如圖所示，D、E分別是CA與BC的中點.1即三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，且其長度等于第三邊的一半.

得

5307

向量的向量積與混合積

??例11

2解

根據(jù)向量的線性運算有

07

向量的向量積與混合積

5507

向量的向量積與混合積

??例123解

由兩點之間距離公式可得，

5607

向量的向量積與混合積

??例12

解4

5707

向量的向量積與混合積

??例135

解07

向量的向量積與混合積

5907

向量的向量積與混合積

??例146

解

07

向量的向量積與混合積

6107

向量的向量積與混合積

??例157

解

6207

向量的向量積與混合積

??例168

解

07

向量的向量積與混合積

6407

向量的向量積與混合積

??定義8.6

2.向量的混合積6507

向量的向量積與混合積??定理8.2

那么

(3)混合積的幾何意義:3個不共面向量??,b,c的混合積的絕對值等于以??,b,c為棱的平行六面體的體積v.6607

向量的向量積與混合積(2)3個向量??,b,c共面的充分必要條件是它們的混合積為零,即[??bc]=0;

??注第2講空間平面方程高等數(shù)學(xué)（下冊）第8章向量代數(shù)與空間解析幾何主講教師|本講內(nèi)容空間平面方程表示兩平面的位置關(guān)系02點到平面的距離03016901空間平面方程表示??定義8.1設(shè)Π,是空間中的一個平面如果非零向量n

與平面Π垂直則稱向量n為顯然,一個平面的法線向量不唯一,且法線向量與平面上的任何一個向量都垂直.平面Π的法線向量（簡稱平面的法向量）.1.向量平面的點法式方70其中A,B,C不同時為零.下面要建立平面Π方程,就是刻畫平面上任意一點所滿足的關(guān)系式.

01空間平面方程表示71法線向量的定義得

所以

由于xOyzM0M因此有設(shè)??(??,??,??)為平面Π上的任一點,根據(jù)如圖所示,01空間平面方程表示72唯一確定了這個平面.方程（8.1）對于平面上的所有點都成立,對于不在平面上的點就不成立,所以方程（8.1）

01空間平面方程表示73由平面的點法式方程(8,1),得所求平面的方程為整理得解??例1

01空間平面方程表示74

??例2為該平面的一個法向量n,的向量積因此可取

即解

解法一所求平面Π的法向量同時垂直于01空間平面方程表示75因此由于

01空間平面方程表示76化簡得

解

??例3

01空間平面方程表示77解

??例4

01空間平面方程表示78即

化簡得01空間平面方程表示79上式稱為平面的三點式方程.解

??例5

01空間平面方程表示80稱(8.2)式為平面的一般式方程,其中n={??,??,??}為平面的一個法向量.平面的點法式方程(8.1)可化為??定義8.2令得

2.平面的一般式方程01空間平面方程表示81??幾個特殊平面（1）若??=0時,平面????+????+????=0過原點.01空間平面方程表示xyz82(2)平行于坐標軸的平面當??=0時,平面????+????+??=0的法向量

特別地,當??=0時,平面????+????=0表示過??軸的平面.01空間平面方程表示xyzO83xyzOxyzO同理,平面????+????+??=0平行于??軸,特點：??=0平面????+????+??=0平行于??軸,特點：??=0.01空間平面方程表示84xyz(3)平行于坐標面的平面平行于??????平面.此平面既平行于??軸,又平行于??軸,即

01空間平面方程表示85xyzOxyzO特點：??=??=0.特點：??=??=0.同理，平面????+??=0平行于??????平面,平面????+??=0平行于??????軸,01空間平面方程表示86求過兩點??(3,0,?2),??(?1,2,4)且與??軸平行的平面方程.解法一由已知，所求平面的法向量同時與

和??軸垂直.即法向

作為該平面的一個法向量.因此,可取垂直.

解??例601空間平面方程表示87

由平面的點法式方程得

01空間平面方程表示88若平面過三點??(??,0,0),??(0,??,0),根據(jù)平面的三點式方程得化簡整理得

??定義8.3C（0,0,c）B（0,b,0）A（a,0,0）(8.3)式稱為平面的截距式方程,其中??,??,??分別稱為平面在??軸,??軸和??軸上截距.

3.平面的截距式方程??(0,0,??)(??????≠0),如圖所示.01空間平面方程表示本講內(nèi)容空間平面方程表示兩平面的位置關(guān)系02點到平面的距離0301

9002兩平面的位置關(guān)系定義兩平面法線向量的夾角θ（通常指銳角和直角）稱為兩平面的夾角.設(shè)有兩個平面的方程分別為θθ

9102兩平面的位置關(guān)系則兩平面的法向量分別為

（8.4）

式（8.4）就是兩平面夾角的公式.9202兩平面的位置關(guān)系兩平面的位置特征：(1)兩平面垂直(2)兩平面平行時,兩平面重合.

特別地,當

9302兩平面的位置關(guān)系解求兩平面?????+2???6=0和2??+??+???5=0的夾角.??例7

根據(jù)公式(8.4),得

本講內(nèi)容空間平面方程表示兩平面的位置關(guān)系02點到平面的距離03019503點到平面的距離

外的一點，M0M1θd

(8.5)

求兩個平行平面x?y+3z+1=0與x?y+3z?5=0間的距離.9603點到平面的距離在平面?????+3??+1=0上選取一點(?1,0,0),由點到平面的距離公式（8.5）得

解??例8

9703點到平面的距離

解

??例91

，

即

99

解

??例102

即

102

解

??例113

故可設(shè)103

??例124解

所以兩平面夾角

104

??例135解

由點到平面的距離公式得

.第3講空間直線方程第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）主講教師|本講內(nèi)容空間平面方程表示0110701

空間直線方程如果一個非零向量s與直線??平行,則稱向量s是直線??的一個方向向量.任一方向向量的坐標稱為該直線??定義8.9的一組方向數(shù).

求此直線的方程1.直線的點向式方程108的一個方向向量.所以兩向量對應(yīng)坐標成比例.在直線??上任取點??(??,??,??),如圖所示,

的坐標為LOxyMM0z設(shè)

是直線??上的一個點,s={m,

n,

p}為??

01

空間直線方程109

方程（8.6）稱為直線L的點向式方程（或叫對稱式方程）.因此有

01

空間直線方程110方程組(8.7)稱為直線??的參數(shù)方程.由直線的點向式方程可以推導(dǎo)出直線的參數(shù)方程.令得

2.直線的參數(shù)式方程01

空間直線方程111所求直線的方向向量為{2,1,5},因為過點(4,?1,3),求過點(4,?1,3)且平行于直線

解??例1

根據(jù)點向式方程得所求直線方程為

01

空間直線方程112

所求的直線與Π1與Π2都平行,即與Π1、Π2的法向量Π1、Π2都垂直,其中因此可用n1×n2作為直線的一個方向向量s.解??例2

01

空間直線方程113取s={3,

1,

?3},于是所求直線方程為

01

空間直線方程114方程(8.8)式為直線L的一般式方程.空間直線??可以看成是兩個相交平面的交線.如果兩個相交平面的方程為則直線??的方程為

3.直線的一般式方程01

空間直線方程115

將直線的一般式方程

解之得

解??例3所以M0(2,

3,

0)為直線上的一點.01

空間直線方程116

作為直線的一個方向向量s.再求直線的一個方向向量S.由于直線與兩個平面的法向量n1、n2都垂直,

其中因此可用

01

空間直線方程117

令

即

于是，該直線的點向式方程為

01

空間直線方程118對于空間的兩條直線,規(guī)定他們的方向向量的夾角(通常指銳角或直角)稱為兩條直線的夾角.

??定義8.10

4.兩直線的夾角01

空間直線方程119它們的方向向量是s1={m1,n1,p1},s2={m2,n2,p2}

,設(shè)它們的夾角為??,則有

01

空間直線方程120從而可求出??,由此可得以下結(jié)論.

01

空間直線方程121直線L1的方向向量為s1={1,?4,1}

,解??例4直線L2的方向向量為求直線和

的夾角.

01

空間直線方程122則兩直線的夾角余弦為

所以

01

空間直線方程123直線與它在平面上的投影之間的夾角??(0≤??<π/2),稱為直線與平面的夾角.??定義8.11已知直線

平面

5.直角與平角的夾角01

空間直線方程124所以,從而可求出??,并由此可得以下結(jié)論

01

空間直線方程125平面的法向量為n={1,?1,?1},因為s?n=0,所以直線與平面夾角為0.解

直線的方向向量為

??例5

01

空間直線方程126不平行，即直線??與??平面相交,下面求其交點.

把直線??的方程化為參數(shù)方程已知直線

和平面

6.直角與平角的交角01

空間直線方程127代回直線??的參數(shù)方程,即求得交點坐標.代入平面??的方程,得

這是關(guān)于??的一元一次方程,從中解出??,得

01

空間直線方程求點??(3,?1,2)到直線

的距離.

128從而直線的點向式方程為解??例6進而可得直線的參數(shù)方程為

直線

的方向向量

01

空間直線方程

求點??(3,?1,2)到直線

的距離.

點??(3,?1,2)到該直線的距離

取最小值，

129解??例7進而可得直線的參數(shù)方程為

01

空間直線方程通過空間直線??可以作無數(shù)多個平面,所有這些平面的集合，稱為過直線??的平面束.130設(shè)空間直線??為兩個不平行平面

即??定義8.12

7.平面束01

空間直線方程131則過該直線的平面束方程為當??取遍全體實數(shù)時,方程（8.9）就給出了過直線??的平面束方程（平面Π2

除外）.特別當??=0時，方程（8.9）給出的是平面Π1的方程.其中??為任意實數(shù)(8.9)01

空間直線方程

求直線

132設(shè)過直線??的平面束方程為

在這個平面束中,要找一個平面與Π垂直,即兩平面的法線向量垂直.解??例8

01

空間直線方程133平面的法線向量n1={1,1,1}

，平面束的法線向量

01

空間直線方程134解出??=?2,代入平面束方程中,得這是一個過直線??且與Π垂直的平面方程.解??例9顯然它與平面Π的交線就是直線??在平面Π上的投影直線求直線在平面

內(nèi)的投影直線方程.

01

空間直線方程135解??例1001

空間直線方程1

136解??例1101

空間直線方程2

于是所求直線的方程為

137解??例1201

空間直線方程3

01

空間直線方程

01

空間直線方程

于是，該直線的點向式方程為

140解??例1301

空間直線方程4

01

空間直線方程

142解??例1401

空間直線方程5

由此可知，直線與平面平行，夾角為0．143解??例1501

空間直線方程6

01

空間直線方程

第4講空間曲面第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）主講教師|01空間曲面的定義本講內(nèi)容02特殊的空間曲面14701空間曲面的定義定義8.12如果曲面Σ與方程??(??,??,??)=0滿足如下關(guān)系：(1)曲面Σ上每一點的坐標都滿足方程??(??,??,??)=0；(2)以滿足方程??(??,??,??)=0的解為坐標的點都在曲面Σ上.ΣzOxy??則稱方程??(??,??,??)=0為曲面Σ的方程,而稱曲面Σ為此方程的圖形,如圖所示.01空間曲面的定義本講內(nèi)容02特殊的空間曲面14902特殊的空間曲面1.球面在空間中,到一定點的距離等于定長的點的集合叫做球面

,其中定點為球心,定長為半徑.15002特殊的空間曲面建立球面的中心點為M0(x0,y0,z0)

,半徑為??的球面方程,如圖所示.??例1MM0ROxyz15102特殊的空間曲面解

設(shè)??(??,??,??)是球面上任一點,則即

兩邊平方,得這也就是說，球面上任意一點的坐標都滿足方程(8.10),而不在球面上的點的坐標一定不滿足方程(8.10).特別地,以坐標原點為球心,以??為半徑的球面方程為

15202特殊的空間曲面

令

將（8.10）式展開得

15302特殊的空間曲面球面方程具有下列兩個特點：(1)它是??,??,??之間的二次方程,且方程中缺????,????,????項；(2)x2,y2,z2的系數(shù)相同且不為零.

則有此方程稱為球面的一般方程.15402特殊的空間曲面方程x2+y2+z2?4x+2y

=0表示怎樣的曲面？通過配方原方程可以改寫為解??例2

15502特殊的空間曲面

準線C母線L2.柱面用直線??沿空間一條曲線??平行移動所形成的曲面稱為柱面.下面只研究在空間直角坐標系中準線在坐標面上,母線平行于坐標軸的柱面方程.動直線L稱為柱面的母線，定曲線??稱為柱面的準線,如圖所示.??例3在??????平面上,方程x2+y2=R2表示圓心在坐標原點,半徑為??的圓.15602特殊的空間曲面解分析方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？在空間直角坐標系中,由于方程缺少??,這意味著不論空間的點??怎么取,坐標??和??滿足x2+y2=R2的點都在曲面上.15702特殊的空間曲面MM0xyOz因此,任意點??(??,??,??)在曲面上的充分必要條件是??0(??,??,0)在圓x2+y2=R2上,而點??是過點??0且平行于??軸的直線組成,即方程x2+y2=R2表示柱面，此柱面為圓柱面,如圖所示.15802特殊的空間曲面一般地：方程中缺少??,即??(??,??)=0,表示準線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面；方程中缺少??,即??(??,??)=0,表示準線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面；方程中缺少??,即?(??,??)=0,表示準線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面.15902特殊的空間曲面xyOz（a)常見柱面

(1)方程

表示母線平行于??軸的雙曲柱面,

其準線為??????平面上的雙曲線

如圖(??)所示；16002特殊的空間曲面

xyOz（b)

16102特殊的空間曲面3.旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線??繞同一平面內(nèi)的一條定直線??旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.曲線??稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線,母線旋轉(zhuǎn)軸定直線??稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸,簡稱軸，如圖所示.繞??軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,如圖8.26所示,其方程為16202特殊的空間曲面解??例4圖8.26Oyxz將坐標面??????上的

分別繞??軸和??軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

16302特殊的空間曲面繞??軸旋轉(zhuǎn)生成旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,如圖8.27所示,其方程為

圖8.27Oxyz

16402特殊的空間曲面??例5

16502特殊的空間曲面或

這是一個頂點在原點,對稱軸為??軸的圓錐面,如圖8.28所示.解

其中

yoz面上直線方程為z=ycotα,因為旋轉(zhuǎn)軸為Z軸,所以只要將方程中的

??改成

便得到這個圓錐面方程

xyOz圖8-28

設(shè)直線??過??(1,0,0),??(0,1,1)兩點,將??繞??軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面Σ,求曲面Σ的方程.16602特殊的空間曲面??例6解所以直線??繞??軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面Σ方程為即

過??(1,0,0),??(0,1,1)兩點的直線方程為

設(shè)直線??過??(1,0,0),??(0,1,1)兩點,將??繞??軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面Σ,求曲面Σ的方程.16702特殊的空間曲面??例7解

1其圖形是一個開口向下的旋轉(zhuǎn)拋物面.

16802特殊的空間曲面??例8解2

16902特殊的空間曲面??例9解3

02特殊的空間曲面

第5講空間曲面與二次曲面第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）主講教師|本講內(nèi)容空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程02空間曲線在坐標面上的投影03二次曲面040117301空間曲線的一般方程空間曲線可看作兩曲面的交線.設(shè)??(??,??,??)=0和??(??,??,??)=0是量曲面的方程，它們的交線為C,如圖所示.OxyzS2S1C曲線上的任何點的坐標(??,??,??)應(yīng)同時滿足這兩個曲面方程,因此，應(yīng)滿足方程組

17401空間曲線的一般方程反過來，如果點M

不在曲線C

上，那么它不可能同時在兩曲面上.所以，它的坐標不滿足方程組(8.11)

.由上述兩點可知，曲線C

可由方程組(8.11)

表示.方程組(8.11)

稱作空間曲線的一般方程.17501空間曲線的一般方程

x2+y2=1表示母線平行于z

軸的圓柱面，其準線是xOy

面上的單位圓，2x+3z=6表示母線平行于y

軸的平面，所以方程組就表示圓柱面與平面的交線，即橢圓，如圖所示.xyOz方程組

表示怎樣的曲線？

??例1解17601空間曲線的一般方程P100

例8.28

討論方程組

??例2

方程

表示球心在坐標原點O，解

半徑為a

的上半球面；方程表示母線平行于z軸的圓柱面，它的準線是xOy

面內(nèi)圓心在半徑為的圓.

17701空間曲線的一般方程該方程組表示上半球面與圓柱面的交線C，如圖所示.CaOxyz本講內(nèi)容空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程02空間曲線在坐標面上的投影03二次曲面040117902空間曲線的參數(shù)方程對于空間曲線C，若C上的動點的坐標x，y，z

可表示成為參數(shù)t的函數(shù)隨著t的變動可得到曲線C上的全部點，此方程組叫作空間曲線的參數(shù)方程.

將空間曲線

表示成參數(shù)方程

18002空間曲線的參數(shù)方程化簡整理得

由于C在此橢圓柱面上，故C的方程可用如下形式來表示??例3

由方程組消去Z,得解

18102空間曲線的參數(shù)方程令

由橢球柱面方程有

而則曲線可表示成為

18202空間曲線的參數(shù)方程將y=x代入x2+y2+z2=9得2x2+z2=9??例4解

將曲線

化成參數(shù)方程.

取

則z=3sinθ，從而可得該曲線的參數(shù)方程

18302空間曲線的參數(shù)方程

螺旋線是實際中常用的曲線，例如，平頭螺絲釘?shù)穆菁y就是螺旋線.螺旋線的運動軌跡如下：??例5空間一點M

在圓柱面x2+y2=??2

以角速度ω

繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時以線速度v

沿平行于z

軸的正方向上升（這里ω，v

都是常數(shù)），點M

的軌跡稱為螺旋線.試建立其數(shù)學(xué)模型.

取時間t

為參數(shù)，如圖所示，建立直角坐標系.設(shè)

t=0

時，動點在x

軸上的點A(??,0,0)處，經(jīng)過t

時間，動點由A

運動到點M(x,y,z).

18402空間曲線的參數(shù)方程解所以∠AOM′=ωt，M′M=vt，從而得螺旋線方程為記點M

在xOy

面上的投影為M′(x,y,0).由于動點在圓柱面上以角速度ω

繞z

軸旋轉(zhuǎn)，以線速度v

沿平行于z

軸的正方向上升，18502空間曲線的參數(shù)方程當θ=2π時，M點就上升固定的高度為?=2πb，這個高度在工程技術(shù)上叫螺距.令θ=ωt，

螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為

18602空間曲線的參數(shù)方程MaAM′ωtOyxz螺旋線有廣泛的應(yīng)用，例如，平頭螺絲釘—

圓柱螺旋線，圓錐對數(shù)螺旋天線，植物中的對數(shù)螺旋線現(xiàn)象.本講內(nèi)容空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程02空間曲線在坐標面上的投影03二次曲面040118803空間曲線在坐標面上的投影設(shè)空間曲線C

的一般方程為下面，我們來研究上述方程組消去變量z

之后所得到的方程

因(8.13)是由(8.12)消去z

后所得，則當坐標x，y，z

適合方程組

(8.12)

時，前兩個坐標x，y

必定適合方程

(8.13)，即曲線C

上的所有點都在由

(8.13)

表示的曲面上.

18903空間曲線在坐標面上的投影而方程

(8.13)

表示一個母線平行于z

軸的柱面，因此，此柱面必定包含曲線C

.以曲線C

為準線，母線平行于z

軸的柱面叫做關(guān)于xOy

面的投影柱面.19003空間曲線在坐標面上的投影

面上的投影曲線方程.中消去z,有

??例6

先求包含曲線C且母線平行于Z軸的柱面，從方程組解

已知19103空間曲線在坐標面上的投影坐標面上的橢圓

母線平行于Z

軸的橢圓柱面.此方程為投影柱面方程，即一個準線為

于是，曲線C在

面上的投影曲線為

19203空間曲線在坐標面上的投影上半球面與錐面的交線

C

為??例7解求上半球面

和錐面

在面上的投

影區(qū)域.由方程組消去變量Z

，有

19303空間曲線在坐標面上的投影這是母線平行于Z軸的投影柱面，空間立體

好鑲在該柱體內(nèi)，該柱體在xOy面上的投影區(qū)域

投影柱面在

面上的交線為

它所圍成的區(qū)域為

如圖8.33所示圖8.33xyDzxOy

由

解得x2+y2=2x，故曲面在xOy

面上的投影區(qū)域

19403空間曲線在坐標面上的投影??例8解記圓錐面與柱面的交線為C，所以C

在xOy

平面上的投影曲線的方程為設(shè)薄片型物體S

是圓錐面

被柱面

割下的有限部分.

求C

在xOy

平面上的投影曲線的方程.本講內(nèi)容空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程02空間曲線在坐標面上的投影03二次曲面040119604二次曲線1.橢圓錐面特別地，當??=b

時，方程x2+y2=??2z2

表示圓錐面.由方程

所確定的曲面稱為橢圓錐面，如圖所示.

Oxyz19704二次曲線由方程

所確定的曲面稱為橢球面，??，b，c

稱為橢球面的半軸，此方程稱為橢球面的標準方程．橢球面的形狀如圖所示.2.橢球面Oyxzb??c19804二次曲線特別地，當??=b=c

時，方程x2+y2+z2=??2

表示球面；當??=b≠c

時，

方程

表示繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)橢球面.19904二次曲線所確定的曲面稱為單葉雙曲面，如圖所示.Ozyx由方程

3.單葉雙曲面20004二次曲線所確定的曲面稱為雙葉雙曲面，如圖所示.Oyxz由方程

4.雙葉雙曲面20104二次曲線??注方程

和

也都是單葉雙曲面；

方程

和

也都是雙葉雙曲面.

20204二次曲線所確定的曲面稱為橢圓拋物面，如圖所示.Oyxz5.橢圓拋物線

由方程特別地，當??=b

時，方程

表示旋轉(zhuǎn)拋物面.

20304二次曲線雙曲拋物面的圖形形狀很像馬鞍，因此也稱馬鞍面．所確定的曲面稱為雙曲拋物面，如圖所示.

yxOz6.雙曲拋物線

由方程204??例9

1

（3）這是（1）中的球面與（2）中的柱面的交線，顯然仍是圓C．由此例可以看出，用兩個曲面方程表示曲線的方式不是唯一的．207??例10

2解

空間直線是空間曲線的特殊情況，它可以看成空間兩個平面的交線．209??例11

3解

210??例12

4解

本章小結(jié)第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）主講教師|本講內(nèi)容知識點歸納教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議020101知識點歸納214數(shù)量積概念與性質(zhì)向量積平面的方程直線的方程空間曲線空間曲面二次曲面位置關(guān)系向量代數(shù)與空間解析幾何空間平面和直線空間曲面和曲線向量及其運算本講內(nèi)容知識點歸納教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議0201（3）（2）（1）21602教學(xué)要求與學(xué)習(xí)建議

理解空間直角坐標系與向量的有關(guān)概念,掌握向量的表示.掌握向量的代數(shù)運算的定義、坐標公式（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積）,了解兩個向量垂直、平行的條件.

理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式,掌握用坐標表達式進行向量運算的方法.（4）（5）（6）21702教學(xué)要求與學(xué)習(xí)建議

掌握平面的點法式、一般式方程及其求法；直線的對稱式、參數(shù)式、一般式方程及其求法.會求點到直線以及點到平面的距離,會求直線與直線、平面與平面、直線與平面之間的夾角,并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題.了解空間曲面方程,曲線方程的有關(guān)概念.（7）21802教學(xué)要求與學(xué)習(xí)建議

掌握旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、拋物面、橢球面等曲面的方程及幾何圖形.會求空間曲線在坐標平面上的投影曲線方程.

習(xí)題課第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）主講教師|220習(xí)題課已知

求：（1）

（2）

（3）

（4）

解??例1所以

（2）（1）

221（3）所以（4）

所以

習(xí)題課222解??例2已知

求與??,b（1）C為單位向量；（2）

其中

因為故可設(shè)

習(xí)題課223（1）由C為單位向量易知

（2）故

習(xí)題課224解??例3已知

求：（1）以??,b為邊的平行四邊形的面積；（2）這平行四邊形的兩條高的長.（1）因為

所以以??,b為邊的平行四邊形的面積為

習(xí)題課225

b邊上的高

習(xí)題課226解??

例4

已知4點

判斷它們是否共面,若不共面,求以它們?yōu)轫旤c的四面體的體積和從頂點D所引出的高的長.由條件易知

因為

習(xí)題課227所以

不共面,即4點不共面.進而可得四面體的體積從頂點D引出的高而所以

習(xí)題課228【方法歸納】（1）向量的各種運算中只有數(shù)量積和混合積的結(jié)果是標量，這一點一定要注意,在計算時需要明確結(jié)果是向量還是標量，若是向量,則需要給出其模和方向；（2）向量的向量積同時垂直于參與運算的兩個向量,.在求同時垂直于??,b且滿足其他條件的向量c時,可設(shè)

即再根據(jù)條件計算k的值.

習(xí)題課229（3）注意向量的向量積沒有交換律,因此,多項式的一些公式對它來說并不適用,例如平方差公式、完全平方公式等.（4）向量積和混合積的幾何意義一定要牢記,前者和平行四邊形面積有關(guān),后者與平行六面體體積有關(guān),利用向量可以很輕松地記住計算公式.習(xí)題課

方法1基本思路：可由平面過L1確定平面上的一點，考慮點法式,由法向量與已知兩直線垂直,即可確定法向量.230解??例5求過直線

且與直線

平行的平面方程.所求平面過L1故經(jīng)過點(-5,2,-3)可設(shè)所求平面方程為

習(xí)題課231由已知條件易得平面的法向量與所給兩條直線均垂直，故可解得

故所求平面方程為

即

習(xí)題課232方法2基本思路：可由平面過L1確定平面上的一點,考慮確定平面上3個向量共面，再利用混合積可得平面方程.且所求平面與向量

及

均平行.所求平面過L1,故經(jīng)過點Q(-5,2,-3)習(xí)題課

233設(shè)點P(x,y,z)是所求平面上的任一點,則

共面,故化簡可得所求平面的方程為

習(xí)題課234方法3基本思路：可由平面過L1確定平面上的一點,法向量與已知兩直線垂直,故可直接根據(jù)向量積確定法向量,進而利用點法式.易知所求平面法向量與向量

及

均垂直,故可取平面法向量

習(xí)題課235因為平面過L1,故經(jīng)過點(-5,2,-3),由點法式并化簡整理可得所求平面的方程為方法4基本思路：由平面經(jīng)過L1考慮平面束方法.整理L1的方程為一般式,經(jīng)過L1的平面可寫成其中??,b為待確定參數(shù).整理得

習(xí)題課236因為平面與直線L2平行,故{??,b,3??-2b}?{2,-3,3}=0化簡得

代入上式并化簡整理可得所求平面的方程為

習(xí)題課

方法1基本思路：利用垂直求出垂足,利用兩點確定L0的方程.237解??例6過原點作直線L0垂直于直線

將直線L化成參數(shù)方程可得

設(shè)垂足

習(xí)題課238顯然

與直線L的方向向量

垂直,故解得

故直線L0的方向向量

由直線L0過原點可得其方程為

化簡整理得

習(xí)題課239方法2基本思路：利用直線L和平面??(過原點與??垂直的平面)的交點求出垂足,利用兩點確定L0的方程.設(shè)平面??是過原點且與??垂直的平面,則??的方向向量??={1,?2,1}可視為平面??的法向量,易得

習(xí)題課240聯(lián)立平面??與直線L得方程組

解該方程組得垂足

故直線L0的方向向量

由直線L0過原點可得其方程為

化簡整理得

習(xí)題課241解法3基本思路：將直線視為平面??1（過原點且與??垂直的平面）與平面??2（經(jīng)過原點且與??平行的平面）的交線.設(shè)??1是過原點且與??垂直的平面,則??的方向向量??={1,?2,1}可視為??1的法向量,易得

習(xí)題課242設(shè)經(jīng)