優(yōu)選高中數(shù)學(xué)人教A版必修向量的數(shù)量積

數(shù)乘定義：數(shù)乘定義：

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa

的方向與a方向相同；

當(dāng)λ<0時(shí),λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時(shí),

λa=0復(fù)習(xí)回顧運(yùn)算律：運(yùn)算律：

設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：

①λ(μa)=(λμ)

a

②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb復(fù)習(xí)回顧

前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算．類比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了一個(gè)自然的問題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義呢？一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念提出疑問向量的加法向量的減法實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算結(jié)果向量向量向量是否有兩個(gè)向量的乘法運(yùn)算呢？一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念思考：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；向量的夾角已知兩個(gè)非零向量

，O是平面上的任意一點(diǎn)，作

，則

叫做向量

與

的夾角。OθOθBBAABOOO與

同向與

垂直與

反向B新課講授一、平面向量的夾角兩個(gè)非零向量，.是平面上的任意一點(diǎn)，作，，則叫做向量與的夾角.0A說出下列兩個(gè)向量和的夾角的大小是多少？(1)(3)┐(5)兩個(gè)非零向量的夾角應(yīng)該注意兩個(gè)向量共起點(diǎn).鞏固新知40O(2)╮40O60O(4)60O60O(6)60O向量的夾角2向量夾角的基本定義兩個(gè)非零向量和

已知兩個(gè)非零向量，，如圖，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA=，OB=，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量與的夾角.[0,π]

與同向

與反向

與同向，記作向量的夾角2對兩向量，夾角的理解（1）根據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量夾角是將兩個(gè)向量的

起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，這樣兩向量所成的角才是這兩個(gè)向量

的夾角（2）例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA與AB的夾角，∠BAD才是CA與AB的夾

角.其中AD是CA平移所得.（3）向量與之間的夾角θ的取值范圍是[0，π]，這與兩直線夾角的范圍

是不一樣的(向量有方向)，注意從定義上理解.（5）向量與的夾角也可以表示為平面向量數(shù)量積的概念3平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(也叫內(nèi)積)，記作，即【規(guī)定】零向量與任一向量的數(shù)量積為0（2）向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，但兩個(gè)向量的數(shù)量積卻是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，其

大小與兩個(gè)向量的長度以及夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值決定.（1）在書寫數(shù)量積時(shí)，與之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，不能寫成“×”,更不能不寫.（3）設(shè)兩個(gè)非零向量之間的夾角為θ，則當(dāng)θ=0°時(shí)，；當(dāng)θ為銳

角時(shí)，；當(dāng)θ為直角時(shí)，；當(dāng)θ為鈍角

時(shí)，;當(dāng)θ=180°時(shí)，平面向量數(shù)量積的概念3①兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算，

其結(jié)果是數(shù)量(而不是向量)，可以為正，可以為負(fù)，也可以為零.②前面學(xué)習(xí)的向量的加法、減法和數(shù)乘，其結(jié)果全都是向量，要注意這兩種不

同運(yùn)算的區(qū)別.③我們規(guī)定了與任意向量的數(shù)量積為0，但由=0，不能推出或

一定是零向量，這是因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直時(shí)，其夾角為90°，此時(shí)，

故也有=0

.④要注意=0，但0鞏固新知例9例10知三求一鞏固新知練習(xí)P20解：

p·q=|p||q|cosθ練習(xí)2（口算）鞏固新知加深記憶平面向量的數(shù)量積：與以往運(yùn)算法則的區(qū)別及注意點(diǎn):1.一種新的運(yùn)算

2.“·”不能省略，也不能寫成“×”3.數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量；而向量的線性運(yùn)算是向量4.公式可變?yōu)?，用于求夾角.向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？探究當(dāng)

時(shí)，

為正；當(dāng)

時(shí)，

為零。當(dāng)

時(shí)，

為負(fù)；MN新課講授三、投影向量設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.ABCD0探究新知P18如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與,

,之間有怎樣的關(guān)系？N0M探究新知N0MN0MN0M探究新知P18如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與,

,之間有怎樣的關(guān)系？平面向量數(shù)量積的概念3直觀理解正正0負(fù)負(fù)平面向量數(shù)量積的概念3投影補(bǔ)充①為向量在上(在上)的投影的數(shù)量.②投影的數(shù)量是一個(gè)值，不是向量.★當(dāng)θ為銳角時(shí)，投影的數(shù)量為正值；★當(dāng)θ為鈍角時(shí)，投影的數(shù)量為負(fù)值；★當(dāng)θ為直角時(shí)，投影的數(shù)量為0；★當(dāng)θ為0°時(shí)，向量在上(在上)投影的數(shù)量為

；★當(dāng)θ為180°時(shí)，向量在上(在上)投影的數(shù)量為

；☆在上的投影的數(shù)量可以記為，也可以記為在上的投影和在

上的投影，不一樣.鞏固新知P20平面向量數(shù)量積的性質(zhì)4設(shè)與都是非零向量，θ為向量與的夾角，是與方向相同的單位向量，則有如下性質(zhì)：既可以證明向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行相關(guān)計(jì)算可以用來求向量的模，實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算往向量運(yùn)算的轉(zhuǎn)化可用來求兩個(gè)向量的夾角，夾角的取值與兩個(gè)向量有關(guān)可以通過向量來證明不等式問題或者求最值問題（非常重要）課堂小結(jié)一、平面向量的夾角二、向量的數(shù)量積三、投影向量四、向量數(shù)量積的性質(zhì)6.2.4向量的數(shù)量積（2）第6章平面向量及其應(yīng)用

問題1向量a與b的數(shù)量積的含義是什么？向量的數(shù)量積具有哪些運(yùn)算性質(zhì)？a·b=|a||b|cosθ，其中θ為向量a與b的夾角．

與向量的線性運(yùn)算一樣，定義了向量的數(shù)量積后，就要研究一下數(shù)量積運(yùn)算是否滿足一些運(yùn)算律．一、復(fù)習(xí)引入設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)

a·e=e·a=|a|cosθ．(2)a⊥b?a·b=0．(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|．

特別地，a·a=|a|2或|a|=．(4)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到）二、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積運(yùn)算律

問題2類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律，你能得到數(shù)量積運(yùn)算的哪些運(yùn)算律？你能證明嗎？由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：對于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，有①a·b=b·a；②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；③(a+b)·c=a·c+b·c．|a+b|cosθe=|a|cos1e+|b|cos2e．|a+b||c|cosθ=|a||c|cos1+|b||c|cos2．二、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積運(yùn)算律(a+b)·c=a·c+b·c．證明向量的分配律：

證明：如圖，任取一點(diǎn)O，作=a，=b，=c，=a+b．設(shè)a，b，a+b與c的夾角分別為1，2，，它們在c上的投影分別為

，

，

，與c方向相同的單位向量為e，則=|a|cos1e，=|b|cos2e，=|a+b|cosθe．因?yàn)閍=，所以

，則

，即(a+b)·c=a·c+b·c．

追問：設(shè)a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立嗎？為什么？

對于實(shí)數(shù)a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但對于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)不一定成立．這是因?yàn)?a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立．二、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積運(yùn)算律向量數(shù)量積的運(yùn)算律5向量數(shù)量積的三大運(yùn)算律和實(shí)數(shù)的交換律相同和實(shí)數(shù)的結(jié)合律相同和實(shí)數(shù)的分配律相同

例1我們知道，對任意a，b∈R，恒有

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2．對任意向量a，b，是否也有下面類似的結(jié)論？（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2；（2）(a+b)·(a-b)=a2-b2．（1）(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2；（2）(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2．三、例題分析與知識鞏固解：例2解:

例3

已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直？三、例題分析與知識鞏固解：a+kb與a-kb互相垂直的充要條件是

(a+kb)·(a-kb)=0，

即a2-k2b2=0．

因?yàn)閍2=32=9，b2=42=16，所以9-16k2=0．

因此k=

．

也就是說，當(dāng)k=

時(shí)，a+kb與a-kb互相垂直．兩個(gè)向量共線分為同向共線與反向共線兩種情況，對應(yīng)的夾角分別是0°和180°，不要弄錯(cuò).

未弄清向量的夾角而弄錯(cuò)坑①顯然BA=-2BC，所以BA與BC共線，故它們的夾角為0°.顯然BA=-2BC，所以BA與BC共線，因?yàn)樗鼈兪欠聪蚬簿€，故夾角為180°A.150°B.120°C.60°D.30°如圖所示就是符合題意的向量，根據(jù)題意有ΔACO和ΔBCO都是是等邊三角形，所以∠AOB=60°+60°=120°

平面幾何性質(zhì)運(yùn)用不準(zhǔn)確坑②在ΔABC