演示文稿二叉樹期權(quán)定價模型

（優(yōu)選）二叉樹期權(quán)定價模型目前一頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)1、從開始的上升到原先的倍，即到達(dá)；2、下降到原先的倍，即。圖8.1時間內(nèi)資產(chǎn)價格的變動把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格只有兩種運(yùn)動的可能：其中.如圖8.1所示。價格上升的概率假設(shè)為，下降的概率假設(shè)為。相應(yīng)地，期權(quán)價值也會有所不同，分別為和。目前二頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)二叉樹模型實(shí)際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運(yùn)動目前三頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)二叉樹模型可分為以下幾種方法：（一）單步二叉樹模型

1.無套利定價法

2.風(fēng)險中性定價法

3.風(fēng)險中性定價法（二）證券價格的樹型結(jié)構(gòu)4.證券價格的樹型結(jié)構(gòu)（三）倒推定價法

5.

倒推定價法二叉樹方法的一般定價過程－以無收益證券的美式看跌期權(quán)為例

6.一般定價過程目前四頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)無套利定價法：構(gòu)造投資組合包括份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭當(dāng)則組合為無風(fēng)險組合此時因?yàn)槭菬o風(fēng)險組合，可用無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，得將代入上式就可得到：其中

目前五頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)在風(fēng)險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。在風(fēng)險中性的條件下,參數(shù)值滿足條件：假設(shè)證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動，則：再設(shè)定：（第三個條件的設(shè)定則可以有所不同，這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件）由以上三式可得，當(dāng)很小時：從而

以上可知，無套利定價法和風(fēng)險中性定價法具有內(nèi)在一致性。目前六頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)一般而言，在時刻，證券價格有種可能，它們可用符號表示為：

其中注意：由于，使得許多結(jié)點(diǎn)是重合的，從而大大簡化了樹圖。目前七頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)

得到每個結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權(quán)定價。

如果是歐式期權(quán)，可通過將時刻的期權(quán)價值的預(yù)期值在時間長度內(nèi)以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價值；

如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個結(jié)點(diǎn)上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價值。目前八頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)假設(shè)把該期權(quán)有效期劃分成N個長度為的小區(qū)間，同時用表示結(jié)點(diǎn)處的證券價格可得：，其中假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，后，則：（表示在時間時第j個結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價值）若有提前執(zhí)行的可能性，則：目前九頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)目前十頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為的紅利時，在風(fēng)險中性條件下，證券價格的增長率應(yīng)該為，因此：對于股價指數(shù)期權(quán)來說，為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說，為國外無風(fēng)險利率，因此以上式子可用于股價指數(shù)和外匯的美式期權(quán)定價。目前十一頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)支付已知紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價可通過調(diào)整在各個結(jié)點(diǎn)上的證券價格，算出期權(quán)價格；如果時刻在除權(quán)日之前，則結(jié)點(diǎn)處證券價格仍為：如果時刻在除權(quán)日之后，則結(jié)點(diǎn)處證券價格相應(yīng)調(diào)整為：若在期權(quán)有效期內(nèi)有多個已知紅利率，則時刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價格為：（為0時刻到時刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率）目前十二頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)已知紅利額將證券價格分為兩個部分：一部分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來紅利的現(xiàn)值。

假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日在到之間，則在時刻不確定部分的價值為：

當(dāng)時當(dāng)時（表示紅利）在時刻：當(dāng)時，這個樹上每個結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的證券價格為：當(dāng)時，這個樹上每個結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的證券價格為：（為零時刻的值）目前十三頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)利率是時間依賴的情形

假設(shè)，即在時刻的結(jié)點(diǎn)上，其應(yīng)用的利率等于到時間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率，則：這一假設(shè)并不會改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，所以我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖目前十四頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)的二叉樹圖在確定參數(shù)、和時，不再假設(shè)，而令，可得：該方法優(yōu)點(diǎn)在于無論和如何變化，概率總是不變的目前十五頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)三叉樹圖每一個時間間隔內(nèi)證券價格有三種運(yùn)動的可能：1、從開始的上升到原先的倍，即到達(dá)；2、保持不變，仍為；3、下降到原先的倍，即目前十六頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)一些相關(guān)參數(shù)：目前十七頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)控制方差技術(shù)基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。假設(shè)：（代表期權(quán)B的真實(shí)價值，表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值，和表示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計(jì)值）則期權(quán)A的更優(yōu)估計(jì)值為：目前十八頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)適應(yīng)性網(wǎng)狀模型在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價時，當(dāng)資產(chǎn)價格接近執(zhí)行價格時和接近到期時，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個時間步長進(jìn)一步細(xì)分，如分為，每個小步長仍然采用相同的三叉樹定價過程目前十九頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)

隱含樹圖通過構(gòu)建一個與目前市場上的期權(quán)價格信息相一致的資產(chǎn)價格樹圖，從而得到市場對標(biāo)的資產(chǎn)價格未來概率分布的看法。其具體方法是在二叉樹圖中，通過前一時刻每個結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價格向前推出（注意不是倒推）下一時刻每個結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價格和相應(yīng)概率

隱含樹圖的主要作用在于從交易活躍的常規(guī)期權(quán)中得到的關(guān)于波動率微笑和期限結(jié)構(gòu)的信息，來為奇異期權(quán)定價目前二十頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)

二叉樹圖模型的基本出發(fā)點(diǎn)：假設(shè)資產(chǎn)價格的運(yùn)動是由大量的小幅度二值運(yùn)動構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動可能遵循的路徑。模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險中性世界中的概率，從而為期權(quán)定價取當(dāng)前時刻為，在給定參數(shù)、和的條件下，當(dāng)時，二叉樹公式：可以在進(jìn)行泰勒展開，最終可以化簡為：在時，二叉樹模型收斂于布萊克－舒爾斯偏微分方程。目前二十一頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)MonteCarlo:BasedOnProbability&Chance基本思路：由于大部分期權(quán)價值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風(fēng)險中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價格的多種運(yùn)動路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價值。目前二十二頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)

隨機(jī)路徑：在風(fēng)險中性世界中，為了模擬的路徑，我們把期權(quán)的有效期分為N個長度為時間段，則上式的近似方程為或

（是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機(jī)樣本）重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回報值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值目前二十三頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)單個變量和多個變量的蒙特卡羅模擬：1、當(dāng)回報僅僅取決于到期時的最終價值時可直接用一個大步（）（假設(shè)初始時刻為零時刻）來多次模擬最終的資產(chǎn)價格，得到期權(quán)價值：2、當(dāng)回報依賴于多個市場變量時每次模擬運(yùn)算中對每個變量的路徑都必須進(jìn)行抽樣，從樣本路徑進(jìn)行的每次模擬運(yùn)算可以得出期權(quán)的終值。的離散過程可以寫為：

（期權(quán)依賴于個變量，，為的波動率，為在風(fēng)險中性世界中的期望增長率，為和之間的瞬間相關(guān)系數(shù)）目前二十四頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)

常數(shù)利率和隨機(jī)利率的蒙特卡羅模擬利率為常數(shù)時：期權(quán)價值為（初始時刻設(shè)為0）：.

其中，表示風(fēng)險中性世界中的期望。利率為變量時：期權(quán)價值為（初始時刻設(shè)為0）：為有效期內(nèi)瞬間無風(fēng)險利率的平均值。目前二十五頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)隨機(jī)樣本的產(chǎn)生和模擬運(yùn)算次數(shù)的確定：1.的產(chǎn)生是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個隨機(jī)數(shù)。如果只有一個單變量，則可以通過下式獲得：其中是0到1的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。2.模擬運(yùn)算次數(shù)的確定如果對估計(jì)值要求95％的置信度，則期權(quán)價值應(yīng)滿足（是進(jìn)行運(yùn)算的個數(shù)，為均值，是標(biāo)準(zhǔn)差）目前二十六頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)（一）對偶變量技術(shù)（二）控制方差技術(shù)（三）重點(diǎn)抽樣法（四）間隔抽樣法（五）樣本矩匹配法（六）準(zhǔn)隨機(jī)序列抽樣法（七）樹圖取樣法目前二十七頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)主要優(yōu)點(diǎn)：

1.在大多數(shù)情況下，人們可以很直接地應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法，而無需對期權(quán)定價模型有深刻的理解

2.蒙特卡羅模擬的適用情形相當(dāng)廣泛主要缺點(diǎn)：1.只能為歐式期權(quán)定價，難以處理提前執(zhí)行的情形。2.為了達(dá)到一定的精確度，一般需要大量的模擬運(yùn)算。目前二十八頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)主要思想是：應(yīng)用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，即用離散算子逼近、和各項(xiàng)，之后用迭代法求解，得到期權(quán)價值。具體地說，有限差分方法就是用有限的離散區(qū)域來替代連續(xù)的時間和資產(chǎn)價格在坐標(biāo)圖上，有限差分方法則體現(xiàn)為格點(diǎn)（Grids）目前二十九頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)可以理解為從格點(diǎn)圖內(nèi)部向外推知外部格點(diǎn)的期權(quán)價值。如圖所示：下面介紹一下、和的差分近似－>8.3.1(2)、和的差分近似目前三十頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)1.的近似對于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn)，期權(quán)價值對資產(chǎn)價格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來表示：、

和2.的近似對于點(diǎn)處的，我們則采取前向差分近似以使時刻的值和時刻的值相關(guān)聯(lián)：3.的近似點(diǎn)處的的后向差分近似為，因此點(diǎn)處期權(quán)價值對標(biāo)的資產(chǎn)價格的二階差分為這個二階差分也是中心差分，其誤差為。目前三十一頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)差分方程 把以上三個近似代入布萊克－舒爾斯偏微分方程，整理得到：

其中， 目前三十二頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)邊界條件1.時刻看跌期權(quán)的價值為其中2.當(dāng)股票價格為零時，下方邊界上所有格點(diǎn)的期權(quán)價值：

3.當(dāng)股票價格趨于無窮時目前三十三頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)求解期權(quán)價值：聯(lián)立個方程：

和時，時，解出每個

的期權(quán)價值最后可以計(jì)算出，當(dāng)?shù)扔诔跏假Y產(chǎn)價格時，該格點(diǎn)對應(yīng)的就是我們要求的期權(quán)價值。目前三十四頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)頁面呈現(xiàn)顯性有限差分法：

其中，

即直接從時刻的三個相鄰格點(diǎn)的期權(quán)價值求出時刻資產(chǎn)價格為時的期權(quán)價值，可理解為從格點(diǎn)圖外部推知內(nèi)部格點(diǎn)期權(quán)價值的方法目前三十五頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)有限差分方法樹圖方法VS相同點(diǎn)：兩種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動不同點(diǎn)：樹圖方法中包含了資產(chǎn)價格的擴(kuò)散和波動率情形；有限差分方法中的格點(diǎn)則是固定均勻的，只是參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的變化，以反映改變了的擴(kuò)散情形。目前三十六頁\總數(shù)四十頁\編于二十三點(diǎn)VS隱性有限差分方法