第五章第四節(jié)數(shù)學(xué)化歸方法

數(shù)學(xué)化歸方法——數(shù)學(xué)解題的一般方法P278第五章第四節(jié)如果你解不出某道題，那肯定是有一個(gè)更容易的問題你尚未解決——找到它！

————Ｇ．波利亞解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題。

——C.A.雅諾夫斯卡婭化歸方法的基本思想化歸的一般原則化歸的基本策略途徑關(guān)系映射反演方法化歸思想方法教育所謂“化歸”，從字面上看，可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)方法論中所論及的化歸方法，是指數(shù)學(xué)中把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。一、化歸方法的基本思想待解決的問題A易（已）解決的問題B原問題A獲解證問題B的解還原（解釋）轉(zhuǎn)化（化歸途徑）化歸方法用框圖可直觀表示為：推演求解所以化歸應(yīng)包括三個(gè)基本要素，即化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)和化歸途徑(或化歸策略)。

匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得（RozsaPeter）在她的名著《無窮的玩藝》一書中曾對(duì)“化歸方法”作過生動(dòng)而有趣的描述：

如上所述的推理過程，對(duì)于數(shù)學(xué)家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對(duì)問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題。當(dāng)然，從陳舊的實(shí)用觀點(diǎn)來看，以下的一個(gè)比擬也許是十分可笑的，但這一比擬在數(shù)學(xué)家中卻是廣為流傳的；RózsaPéter（February17,1905-February16,1977）“現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當(dāng)你要燒水時(shí)，你應(yīng)當(dāng)怎樣去做呢？”“往水壺里注滿水，點(diǎn)燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上”“你對(duì)問題的回答是正確的?，F(xiàn)把所說的問題稍作修改，即假使水壺里已經(jīng)裝滿了水，而所說問題中的其他情況都不變，試問，此時(shí)你應(yīng)該怎樣去做？”此時(shí)被問者一定會(huì)大聲而頗有把握地說：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去?！彼_信這樣的回答是正確的，但是更完善的回答應(yīng)該是這樣的：“只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才所說的辦法去做，而數(shù)學(xué)家卻會(huì)回答：只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了?！睆倪@段話可以看出，化歸方法已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)家們最典型的思維模式了。事實(shí)上，數(shù)學(xué)證明一般要?dú)w結(jié)為某些中間定理上去，即實(shí)質(zhì)上也是一種化歸過程。這正如英國著名數(shù)學(xué)家哈代（HardyG.H）所說：“嚴(yán)格說來，沒有所謂證明這個(gè)東西，歸根結(jié)底，我們只是指指點(diǎn)點(diǎn)?！币簿褪钦f，數(shù)學(xué)證明只能是指出待證問題可以歸入哪個(gè)問題的證明或由哪些已證定理或成果來證明，而不可能老老實(shí)實(shí)從公理、公設(shè)、定義出發(fā)進(jìn)行邏輯推理來證明。如果那樣的話，僅勾股定理若要從希爾伯特的幾何公理系統(tǒng)出發(fā)證明，就得需要幾十頁的篇幅。笛卡爾的“萬能方法”（一般模式）：第一，把任何問題化歸為數(shù)學(xué)問題；第二，把任何數(shù)學(xué)問題化歸為代數(shù)問題；第三，把任何代數(shù)問題化歸為方程式的求解。由于求解方程問題是已經(jīng)解決或較為容易解決的，因此，在笛卡爾看來，就可利用上述方法解決任何類型的問題，故稱其為“萬能方法”。不容置疑，他所闡述的上述化歸原則事實(shí)上已成為他賴以創(chuàng)立解析幾何的思想方法基礎(chǔ)?；瘹w的一些例子霍布斯的“思維即計(jì)算”重要思想，他認(rèn)為可以把推理看成是詞語和符號(hào)的加減。他寫到：“借推理我意謂計(jì)算。計(jì)算或者是匯聚那被加在一起的許多事物的總和，或者是知道當(dāng)一事物從另一事物被取走，什么仍然存留。因而推理同于相加和相減。……如經(jīng)?？赡艿哪菢?，以致所有的推理都可理解為這兩種心智的運(yùn)算，即相加和相減?！睆臍v史的角度看，霍布斯的這一思想對(duì)于后來的數(shù)理邏輯的發(fā)展是具有重大的啟示意義的。美國著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G?波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中給出了下述解決問題的方法：

在面臨所要解決的問題時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)考慮：“這是什么類型的問題？它與某個(gè)已知的問題有關(guān)嗎？它象某個(gè)已知的問題嗎？”具體地說，我們可以從所要追求的具體目標(biāo)（未知元素、待證命題）出發(fā)來進(jìn)行考慮：“這里所謂的關(guān)鍵事實(shí)是什么？有一個(gè)具有同樣類型未知量的問題嗎（特別是過去解過的問題）？有一個(gè)具有同樣結(jié)論的定理嗎（特別是過去證明過的定理）？”另外，從更一般的角度來說，又可考慮：“你知道一個(gè)相關(guān)的問題嗎？你能設(shè)想出一個(gè)相關(guān)的問題嗎？你知道或你能設(shè)想出一個(gè)同一類型的問題、一個(gè)類似的問題、一個(gè)更一般的問題、一個(gè)更特殊的問題嗎？”?；瘹w在中學(xué)中的例子有理數(shù)的四則運(yùn)算。有理數(shù)的四則運(yùn)算應(yīng)包含兩部分，即絕對(duì)值的計(jì)算與符號(hào)的確定。而在確定了符號(hào)之后，就只需對(duì)有理數(shù)的絕對(duì)值進(jìn)行運(yùn)算，這樣就把有理數(shù)的運(yùn)算問題化歸為小學(xué)里的算術(shù)數(shù)的運(yùn)算問題。無理用方程孫的解慣法。解框無理丸方程潛通常平是通遭過兩振邊平盲方或凝換元巷的方后法去來除根蹄號(hào)，鴨從而鑒使之槍化歸營為有脆理方精程，牲再解舊這個(gè)像有理哈方程海獲得大原方手程的計(jì)解。二次吊曲線酸的圖碌象和星性質(zhì)。對(duì)費(fèi)于非軌標(biāo)準(zhǔn)倆形式犧的二次礙曲線周，研正究它鑼的方所法是普，通絲式過坐捕標(biāo)平羨移、旋轉(zhuǎn)滴公式負(fù)，將樸其化衡為標(biāo)隱準(zhǔn)形公式的已二次爆曲線策來進(jìn)行癢研究勻。二、急化歸下的一戀般原挎則1、簡(jiǎn)騾單化瓶原則變換斃問題照結(jié)構(gòu)活，使友之變險(xiǎn)得表擦現(xiàn)形烤式上支簡(jiǎn)單麗或處桃理方敏式上光簡(jiǎn)便鹿。如解暈無理窯方程針：轉(zhuǎn)化飄為求成解：2、熟英悉化驕原則波利骨亞在毀“怎仆樣解四題表論”中逮非常解看重位這一思轉(zhuǎn)化敲方向呀。例如摩，求憐圓的讀半徑墾、弦創(chuàng)心距透或弦尼長(zhǎng)的正問題斬可以胃轉(zhuǎn)化艙為已攝知的愛直角研三角梢形勾察股定盛理求這三角孝形邊罪長(zhǎng)的辰問題血。3、和陣諧統(tǒng)妹一性收原則如分下式（患數(shù)）凳的加存減運(yùn)斑算要羞統(tǒng)一右為同芳分母兵的分焰式（許數(shù)）郊相加呈減；不同戒次的解根式談的乘芬除運(yùn)乞算要揚(yáng)統(tǒng)一奸為同滴次的后根式喬相乘斜除；不同講底的使對(duì)數(shù)田式運(yùn)姻算通亞過換黑底公浙式統(tǒng)郊一為隨同底述的對(duì)歸數(shù)來巾運(yùn)算暫；不同玻名的詳三角搖函數(shù)息運(yùn)算濱換成譯同名田三角澡函數(shù)括；4、具閉體化濤原則指化控歸的泡方向梨一般氧由抽騰象到更具體澇。例如鞭，求函殲數(shù)的最紛小值槽。分析然：化宵歸為井求點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距狐離之愿和的鍵最小貌值。5、標(biāo)饞準(zhǔn)形樣式化顯原則三個(gè)朗基本懸特征送：（1）研相究的羽簡(jiǎn)便解性，莖（2）廣殲泛的醬代表煉性，諷（3）具狼有本穴原性纏，即炊最基遮本的釘形態(tài)繭。例如役，設(shè)函列數(shù)f(渴x)滿足求證紹：f(抵x)是周碧期函仙數(shù)，育并指炮出它蹦的一遼個(gè)周濤期。分析漠：聯(lián)想搞到“標(biāo)準(zhǔn)情模型莊函數(shù)”余弦每函數(shù)蘭作為刮抽象眉函數(shù)虜?shù)囊幌騻€(gè)具病體支完撐，菜引導(dǎo)列我們旁去猜睬測(cè)f(賽x)是周敗期函塊數(shù)，是它彎的一現(xiàn)個(gè)周植期。6、低聯(lián)層次接化原悠則即，仰高維侄空間很轉(zhuǎn)化猾為低淺維空世間問傘題；斯高次哄數(shù)轉(zhuǎn)罵化為映低次形數(shù)問握題；錢多元錦轉(zhuǎn)化姥為少差元問捎題。三、叼化歸山的基幼本策餡略途榨徑1、通養(yǎng)過語爸義轉(zhuǎn)炮換實(shí)損現(xiàn)化永歸例：址已知拒三個(gè)眉正數(shù)a,險(xiǎn)b,梨c構(gòu)成縱等差嗚數(shù)列抓，且糕公差底不為婆零，列證明屢它們責(zé)的倒磚數(shù)組曠成的譯數(shù)列衛(wèi)不可銷能成問等差倚數(shù)列顛。分析雁：假域設(shè)成等橋差數(shù)紫列，則，由條剪件所以陪，即表甚明三點(diǎn)躍共線烏，注意愉到這建三點(diǎn)拖都在救雙曲斷線上，直線秩與雙睡曲線庭最多急只有滋兩個(gè)星交點(diǎn)使，所頌以必饒有兩則個(gè)點(diǎn)淘重合恒，則玩與公淺差不御為零狀矛盾木，故a,祝b,小c的倒嫂數(shù)不盟可能五成等暴差數(shù)盟列。2、通飾過特養(yǎng)殊化曲或一迷般化棚實(shí)現(xiàn)黨化歸3、通膀過“甲同構(gòu)唇”映憤射實(shí)強(qiáng)現(xiàn)化仇歸4、通肺過適鐵當(dāng)變柱換實(shí)乓現(xiàn)化炭歸5、通憤過重壤新表酸征問令題實(shí)車現(xiàn)化俯歸P2榴866、通僑過“臉反面公思考貿(mào)”實(shí)量現(xiàn)化騎歸四、課關(guān)系落映射字反演較方法關(guān)系涂、映偉射、宅反演激方法而是化洲歸一靠個(gè)特窯例，肝即RM摔I方法蘇。人們寒進(jìn)行層龐大荷數(shù)字捧的乘塌法、屯除法黎、乘菜方、咸開方灶等數(shù)姑值運(yùn)杰算時(shí)該，往形往應(yīng)妹用對(duì)蓄數(shù)方飯法。對(duì)數(shù)辭是英喉國數(shù)棵學(xué)家泳納皮足爾（Na伍pi滑er）于16世紀(jì)折末首擺先發(fā)族明的氧，另執(zhí)一位舒英國腳數(shù)學(xué)玻家布俘立格其斯于16臺(tái)24年發(fā)維表第裕一張激常用功對(duì)數(shù)詢表，芹這樣憲，就宜可利茅用對(duì)哪數(shù)通么過映舞射與廁反演稅形成耐了一塔套簡(jiǎn)味化計(jì)僵算量堪的數(shù)活值計(jì)校算方但法——對(duì)數(shù)章計(jì)算須法。其RM努I原理掠框圖敬可概燈括如昆下在這斥個(gè)例饅子中到，映捐射的研運(yùn)用紹是別遠(yuǎn)開生勺面的筍：不攪是直掌接求淘原象襲關(guān)系——繁復(fù)筐的計(jì)縫算問報(bào)題，頃而是贊先求歐其在傘某種雄映射貴下的潮映象——對(duì)數(shù)慘關(guān)系仇問題渣。顯怨然，足這里淡映射登方法瞇的選軋取是滑非常仆成功乞的。納皮仿爾的搶貢獻(xiàn)耀就在伏于他浮看透診了指巡壽數(shù)運(yùn)仍算與節(jié)真數(shù)競(jìng)運(yùn)算海的對(duì)寒應(yīng)法共則（吐映射刻與反流演的至關(guān)系眠），嘗把后滲者的畫計(jì)算鈴任務(wù)畏轉(zhuǎn)化睛為前紙者的笑計(jì)算漏任務(wù)畫，即讀把乘煩法和話除法欄運(yùn)算帥轉(zhuǎn)化其為加觀法和稠減法服運(yùn)算鐮，把撲乘方觀和開帳方運(yùn)猜算轉(zhuǎn)準(zhǔn)化為槳乘法獎(jiǎng)和除捷法運(yùn)插算，份從而億大大炮地提暮高了尺計(jì)算福效率貢。對(duì)數(shù)時(shí)計(jì)算探法的楚創(chuàng)立資在歷濫史發(fā)鋒展中啟具有佳重要大的意工義。膽對(duì)此屈，拉民普拉估斯曾禍形象細(xì)地描內(nèi)述到唱：“霧對(duì)數(shù)繪計(jì)算灣通過鄙縮短躺計(jì)算溉的時(shí)蔑間，嚇而延何長(zhǎng)了功天文助學(xué)家倆的生穩(wěn)命。尊”伽腸利略編甚至出還說炸：“誤給我捧空間女、時(shí)舟間及賺對(duì)數(shù)揚(yáng)，我體即可越創(chuàng)造衛(wèi)一個(gè)走宇宙鐵。”RM曬I方法驚的提首出者約徐利天治先坑生曾琴用日瞧常生暢活中淋的一漲個(gè)典企型事慈例，必對(duì)此爐形象居地進(jìn)嶺行了刻闡述終：比如伙說，盯一個(gè)裳人對(duì)慶著鏡塊子剃膨胡子貧，鏡洞子里擋照出猶他臉籌頰上專胡子斜的映所象，互從胡妙子到歐映象肌的關(guān)易系就計(jì)是映閑射。專作為譜原象怖的胡吐子與分剃刀牽?jī)烧邆涞年P(guān)還系可芬以叫北做原藍(lán)象關(guān)臨系，雞這種螞原象撐關(guān)系恒在鏡耐子里箭表現(xiàn)泡為映搶象關(guān)果系。紹他從腿鏡子它里看亂到這逐種映姨象關(guān)億系后祝，便制能調(diào)豎整剃燒刀的辨映象遙與胡至子的譯映象狹的位少置關(guān)慶系，饒使鏡鐮子里補(bǔ)的剃攻刀映陣象去不觸及姻胡子襯映象濫。于兄是，塔他也罪就真戒正修撞剃了憤胡子僚。這翅里顯勻然用驅(qū)到了躲反演胡規(guī)則璃，因受為，蘿他正蓬是根賊據(jù)鏡壇子里缸的映房誠象能畫對(duì)應(yīng)煙地反尤演為駛原象棚的這新一原卻理，辦使剃孝刀準(zhǔn)梳確地旦修剃聾了真沖實(shí)的浩胡子蜘（原葡象）賤。五、羞化歸山思想放方法奔教育有理剩數(shù)的濃概念烤和運(yùn)艙算問服題可及以歸資結(jié)為顯小學(xué)屢的算盆術(shù)數(shù)淹問題牽；一元望一次舊方程蹦的問瓦題形介式化估歸為x=投a的形虛式，爸即未龜知數(shù)泉等于爹常數(shù)友；解二輸元一世次方劑程組升從形炒式上漆化歸滴為整式掛的加哲減是責(zé)通過塘合并頂同類勿項(xiàng)法制則化籠歸為扒有理喚數(shù)加寬減；糞分式武的加鄙減是厘通過卻通分們化歸深為整判式的腔加減坐；一元煎二次饞方程捉化歸拜為一承元一鏟次方悼程，恨簡(jiǎn)單叨高次駕方程么、無冤理方逃程、毯二元旬二次固方程士組化摔歸為籍一元成一次億方程過或一氏元二畫次方善程；四邊稱形問弟題化但歸為偶三角奸形問愿題；蘿圓、煉相似桶三角聚形問狡題化查歸為交基本彼圖形吵；正是籌由于棋化歸連思想于方法晚在數(shù)昏學(xué)中堆的普眾遍意儲(chǔ)義，惑所以潮在中畝學(xué)數(shù)旨學(xué)教津?qū)W中物，化