第講參數(shù)曲線曲面基礎(chǔ)

第4講參數(shù)曲線曲面基礎(chǔ)提出問題

由離散點來近似地決定曲線和曲面，即通過測量或?qū)嶒灥玫揭幌盗杏行螯c列，根據(jù)這些點列需構(gòu)造出一條光滑曲線，以直觀地反映出實驗特性、變化規(guī)律和趨勢等。概述工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀：初等解析曲面如：平面、圓柱面、圓錐面等，可用畫法幾何與機械制圖處理所包含的圖形信息。以復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面由所謂的自由曲線曲面組成，如：飛機、汽車、船舶的外形零件等，用單純的畫法幾何與機械制圖是不能表達(dá)清楚的。對復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面的表示：模線樣板法：以模擬量傳遞形狀信息計算機輔助幾何設(shè)計CAGD（ComputerAidedGeometricDesign）：用數(shù)學(xué)方法表示，以數(shù)值量傳遞形狀信息。概述CAGD中，依據(jù)定義形狀的幾何信息可建立相應(yīng)的曲線曲面方程，即數(shù)學(xué)模型，并在計算機上通過執(zhí)行計算和處理程序，計算出曲線曲面上大量的點及其他信息。其間，通過分析與綜合就可了解所定義形狀具有的局部和整體的幾何特征。實際上，在形狀信息的計算機表示、分析與綜合中，核心的問題是計算機表示，即需建立既適合于計算機處理，又有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計要求．同時還便于進行形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀描述的數(shù)學(xué)方法。8.1曲線曲面基礎(chǔ)8.1.1曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展弗格森雙三次曲面片首先提出了將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法，最早引入?yún)?shù)三次曲線，為自由曲線曲面數(shù)學(xué)描述提供了一種標(biāo)準(zhǔn)形式。孔斯雙三次曲面片一個具有一般性的曲面描述方法；目前孔斯雙三次曲面片得到廣泛應(yīng)用；同前者一樣都存在形狀控制與連接的問題。樣條方法提供了解決連接問題的一種技術(shù)。在構(gòu)造整體達(dá)到某種參數(shù)連續(xù)階的插值曲線、曲面是很方便的，但不存在局部形狀調(diào)整的自由度，曲線、曲面的形狀難以預(yù)測。8.1.1曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展Bezier方法以逼近為基礎(chǔ)構(gòu)造曲線、曲面，由控制多邊形定義曲線，通過移動控制點就可修改曲線形狀。仍存在連接問題和局部修改問題。B樣條方法克服了前者的不足，解決了局部控制問題，在參數(shù)連續(xù)基礎(chǔ)上解決了連接問題。非均勻有理B樣條方法用于曲線曲面描述的最為流行的方法8.1.1曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展1.唯一性:由給定的有限信息決定唯一的形狀。2.幾何不變性:由給定的有限信息所確定的形狀，不隨所取得坐標(biāo)系不同而改變。3.易于定界：幾何形狀數(shù)學(xué)描述易于定界.4.統(tǒng)一性：能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況.5.易于實現(xiàn)光滑連接:在表達(dá)復(fù)雜形狀時，經(jīng)常需要將曲線段進行連接，或曲面片進行連接。6.幾何直觀：幾何意義明顯。8.1.2曲線曲面的表示要求非參數(shù)表示顯式表示隱式表示直線：y=kx+b8.1.3曲線曲面的表示參數(shù)方程表示形式

解析幾何中，空間曲線上一點的每個坐標(biāo)可表示為某個參數(shù)的函數(shù)。用參數(shù)形式來表示圓：x(u)=cos(u)y(u)=sin(u)

0<=u<=90o或：8.1.3曲線曲面的表示對于空間中任意點p：三個坐標(biāo)分量組成了曲線上該點的位置矢量，曲線可表示為參數(shù)t的矢量函數(shù)：每個坐標(biāo)分量都是t的標(biāo)量函數(shù)這種矢量函數(shù)表示等價于如下的笛卡爾分量表示：i，j，k為單位矢量8.1.3曲線曲面的表示對于矢量函數(shù)表示，給定一個參數(shù)t值，就得到曲線上一個坐標(biāo)。由于我們一般只對曲線的一段感興趣，將參數(shù)限制在[a,b]內(nèi)，參數(shù)在[a,b]內(nèi)連續(xù)變化就得到了曲線。為了方便，可用將參數(shù)規(guī)格化到[0,1]8.1.3曲線曲面的表示8.1.3曲線曲面的表示參數(shù)表示方法的優(yōu)點：1．點動成線2．可以選取具有幾何不變性的參數(shù)曲線曲面表示形式3．斜率4．t∈[0,1]，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的5．可對參數(shù)方程直接進行仿射和投影變換6．參數(shù)變化對各因變量的影響可以明顯地表示出來同一條曲線，可以用不同的參數(shù)形式表達(dá),例如和

弧長是曲線的不變量，以弧長為參數(shù)來研究曲線的內(nèi)在性質(zhì)有重要意義。設(shè)已知曲線的矢量方程為：根據(jù)弧長微分公式：§8.1.4曲線的自然參數(shù)方程可見往，弧但長是源參數(shù)t的單擠調(diào)增晚函數(shù)扭，故廈其反翅函數(shù)t(s)存在取。一般絡(luò)參數(shù)鑄方程磁就化竿為了囑自然生參數(shù)琴方程§1.兆3曲線鴿的自絨然參慰數(shù)方謊程同一蒼條曲胃線，蒸可以導(dǎo)用不閉同的荒參數(shù)丈形式獲表達(dá),例如和弧長盡是曲續(xù)線的疊不變?nèi)×浚煲曰「唛L為鞭參數(shù)膜來研膜究曲懷線的閑內(nèi)在善性質(zhì)暗有重塊要意額義。設(shè)已帖知曲本線的列矢量裳方程皂為：根據(jù)羊弧長喘微分激公式洪：§1.溜3曲線溪的自丟然參憶數(shù)方宣程可見字，弧久長是灣參數(shù)t的單矮調(diào)增喇函數(shù)糧，故真其反荷函數(shù)t(s)存在抓。一般導(dǎo)參數(shù)箭方程直就化充為了岔自然漢參數(shù)氏方程§1.廉3曲線春的自普然參創(chuàng)數(shù)方升程1.幅4曲線臂論的?；疚霉绞紫润@建立刷曲線旬上某彈點的忙局部息坐標(biāo)布系——基本滿三棱哪形（Fr窗en訂et標(biāo)架稍）對于肯自然還參數(shù)駱方程曲率壞矢

單位切矢單位跳主法御矢曲率單位昨副法玻矢曲率駛表示掀曲線罰在某滅點處隸的切做矢方蒜向?qū)τ|弧長愧的導(dǎo)跡數(shù)1.飾5曲率票、撓城率的攻意義違及計擴算1.丙5曲率番、撓揮率的價意義紹及計宿算撓率蹤蝶表示濕曲線暴在某擱點處害的副忠法矢炕方向詳對弧仍長的舟導(dǎo)數(shù)1.曲面繭的等鬼參線碑、偏陵導(dǎo)矢泉、混軋合偏些導(dǎo)矢2.曲面億的法檢矢同樣況可以醋定義靈混合省偏導(dǎo)虎矢、總高階協(xié)偏導(dǎo)疑矢：§1.井7曲面周上的腳曲線爐及其繩切矢戰(zhàn)和曲蹈面上簽的法潤矢邊界曲、角隱點、確跨界銀導(dǎo)矢1.曲面嚇的法主曲率§1.信8*曲面賓的曲懼率過曲秋面上課一點p，并包柔含曲懷面在坦該點粉的法倉矢n的平畢面PL與曲緒面的僅交線辜稱為法截懲線。該平貌面法配截線偶在p點的迅曲率侍稱為籌曲面乒相對食于PL的法細(xì)曲率音。以n為軸四轉(zhuǎn)動油平面PL扇，則相準(zhǔn)應(yīng)的緞法曲于率隨沫之變耳化逢。2.主曲犧率、高斯朵曲率伴、平珍均曲艇率法曲報率的凡極值k1、k2主曲習(xí)率高斯規(guī)曲率平均肺曲率§1.群8*曲面豬的曲鑒率§1.天8*曲面任的曲馬率Co促lo梳re六d川Ce編nt怎ra互l局Pr孤of傳il港e6.曲面器上點的槐類型捆劃分Be友sl通過蟲高斯崇曲率K和平賭均曲唯率M的組形合，文將點府附近住的曲便面形渠狀分夏為八網(wǎng)種基慘本特魔征類土型三角總網(wǎng)格蝴模型曲率舒類型紗標(biāo)識區(qū)域譽分割§1.邀8*曲面照的曲蠻率懸鏈犧面的斥高斯連曲率手動檔工具武的平寫均曲擔(dān)率圖§1.輩8*曲面評的曲侮率在自天由曲表線面到的描士述中愿常用票的三擾種點控制喂點：用牛來確弟定曲針線和園曲面叔的位貴置與拔形狀淚，而衛(wèi)相應(yīng)釘曲線該和曲攏面不侮一定糾經(jīng)過歉的點型值猶點：用作來確姑定曲概線和私曲面北的位桃置與扇形狀濱，而納相應(yīng)騰曲線樓和曲客面一耐定經(jīng)嘆過的晨點插值柿點：為比提高篇曲線匪和曲藍(lán)面的掩輸出量精度寨，在佳型值托點之盟間插潤入的隙一系章列點8.丑1.夫4插值著和逼焰近樣碑條曲線仇曲面歷的插食值：當(dāng)用諒一組每型值卡點來迎指定搬曲線搜曲面刑的形熔狀時筍，形泉狀完剩全通鬧過給冰定的稅型值域點列盤。8.昂1.停4插值貪和逼協(xié)近樣芝條曲線貍曲面暑的逼困近：當(dāng)臟用一結(jié)組控頓制點穿來指孔定曲羞線曲汁面的僵形狀境時，刊求出火的形塊狀不毯必通護過控歡制點寶列8.日1.泄4插值不和逼精近樣夢條1.倍10參數(shù)查化過三迎點P0、P1和P2構(gòu)造枕參數(shù)乎表示抵的插刊值多覽項式的可以廢有無智數(shù)條忽，這清是因纏為對喉應(yīng)地激參數(shù)t,在[0通,舍1]區(qū)間屆中有有無數(shù)酷種取廢法。侄即P0、P1和P2可對浴應(yīng)不崖同的提參數(shù)靠值，騰比如燦，或其中伍每個禮參數(shù)渣值稱食為節(jié)堂點(k勿no侮t)。對于尸一條鏟插值蔑曲線前，型異值點屋與其狗參數(shù)吃域到內(nèi)的期節(jié)點璃之間規(guī)有一脹種對嘉應(yīng)關(guān)嚼系。騎對于雕一組辜有序費的型破值點通，所械確定衡一種擠參數(shù)若分割凱，稱腰之這抬組型熊值點拼的參章數(shù)化蠻。參數(shù)檔化常濫用方密法有屠：均勻擇參數(shù)掌化(等距珠參數(shù)保化)節(jié)點譯在參閘數(shù)軸錢上呈虛等距厭分布口，+正常少數(shù)。累加印弦長掃參數(shù)很化這種獲參數(shù)初法如寸實反宜映了莫型值謝點按厭弦長獎的分垂布情政況，掀能夠楚克服嬸型值餓點按頂弦長脊分布務(wù)不均雕勻的辛情況茶下采幻玉用均桂勻參糕數(shù)化藥所出頌現(xiàn)的形問題妥。向心各參數(shù)芹化法向心掙參數(shù)天化法言假設(shè)場在一俯段曲斥線弧椅上的默向心茫力與盯曲線跌切矢票從該蘇弧段幻玉始端奔至末屢端的該轉(zhuǎn)角庫成正拉比，梁加上涉一些僻簡化減假設(shè)維，得放到向少心參哨數(shù)化點法。礦此法緞尤其粉適用仙于非捏均勻閣型值院點分窮布。8.仔1.嶼5連續(xù)寸性條頸件假定鄰參數(shù)番曲線移段pi以參勿數(shù)形稀式進焦行描詠述：參數(shù)集連續(xù)沸性幾何村連續(xù)鞠性當(dāng)兩芝條參開數(shù)曲棚線段縱首尾溝相連艷構(gòu)成給一條蜻曲線搞時，鋸如何享保證哨各曲索線段話在連筍接處布具有困合乎別要求的連削續(xù)性佩是一立個重來要問篇題。參數(shù)鉗連續(xù)罩性稱曲抖線P孝=煩P(滋t)在柏處n階參繁數(shù)連貓續(xù)，賤如果襪它在討處n階左鼻右導(dǎo)明數(shù)存貝在，諒并且護滿足記號傳統(tǒng)睜的、猴嚴(yán)格病的連狼續(xù)性8.辣1.述5連續(xù)晴性條證件0階參搞數(shù)連絕續(xù)性，記糕作C0連續(xù)紹性，衡是指綱曲線看的幾憲何位援置連悟接，莫即1.參數(shù)杏連續(xù)悄性1階參圈數(shù)連蓋續(xù)性記作C1連續(xù)僻性，塔指代負(fù)表兩家個相哪鄰曲蟻線段盆的方誘程在稼相交伸點處其有相璃同的若一階醋導(dǎo)數(shù)眠：1.參數(shù)潑連續(xù)咬性2階參俘數(shù)連形續(xù)性，記作C2連續(xù)泳性，噸指兩眉個相碗鄰曲方線段風(fēng)的方寒程在譯相交牙點處躍具有支相同譯的一完階和優(yōu)二階告導(dǎo)數(shù)反。1.參數(shù)養(yǎng)連續(xù)展性幾何脈連續(xù)挖性只需排限定易兩個激曲線芹段在謝交點甲處的談參數(shù)冰導(dǎo)數(shù)王成比饅例，街而不璃必完云全相桑等記號直觀針的、紗易于睬交互宜控制柱的連竟續(xù)性2.幾何拾連續(xù)陳性0階幾柴何連披續(xù)性，記潮作G0連續(xù)學(xué)性，慚與0階參遇數(shù)連臥續(xù)性漢的定嫂義相隨同，床滿足撈：1階幾完何連絡(luò)續(xù)性，記持作G1連續(xù)窮性，雀指一綱階導(dǎo)京數(shù)在釋相鄰煎段的鎮(zhèn)交點邊處成炕比例2階幾河何連博續(xù)性，記帽作G2連續(xù)只性，遭指相崗鄰曲部線段嘉在交云點處少其一偶階和叔二階圖導(dǎo)數(shù)坊均成葵比例枯。2.幾何見連續(xù)侍性8.窄1.攀6樣條聽描述n次樣躺條參惰數(shù)多粱項式混曲線醋的矩滅陣：T為n+寄1個冪壟次形爭式的輝基函淋數(shù)組寨成的竄矢量G是包限含樣幻玉條形溝式的哪幾何交約束機條件俯在內(nèi)狡的矩備陣，播它包懂含了惹控制弱點的支坐標(biāo)掙值和鹿其他薪已被濤指定俗的幾譯何約竿束。MS是基慢矩陣戒，它氧將幾難何約漁束轉(zhuǎn)濕化成礦多項弱式系唐數(shù)且喉提供產(chǎn)了樣砍條曲仇線的堡特征8.逃1.吩6樣條適描述8.寺2三次渴樣條給定n+膝1個點瞇，可悄得到仙通過渠每個孝點的傘分段靠三次竭多項器式曲困線：三次箱多項博式方吊程式喂能表行示曲譯線段頓的端鍬點通尚過特吐定點副且在晉連接它處保貝持位薄置和述斜率稼的連返續(xù)性憐的最低冷階次揚的方稍程。系數(shù)犬確定改了一缸條參熊數(shù)曲通線的無形狀竿和位統(tǒng)置t為參蟻數(shù)，t=碑0對應(yīng)遇起點獄，t=內(nèi)1對應(yīng)醫(yī)終點關(guān)鍵稼：確陶定系壘數(shù)8.豆2.績1自然暫三次票樣條定義：給側(cè)定n+忙1個型波值點它，現(xiàn)恐通過徹這些滋點列騰構(gòu)造矩一條雞自然聾三次慈參數(shù)會樣條喂曲線預(yù)，要鋒求在輔所有用曲線憂段的淺公共詢連接騙處均辱具有榆位置較、一紀(jì)階和持二階干導(dǎo)數(shù)亭的連宅續(xù)性梢，即自然稿三次透樣條盜具有C2連續(xù)死性。由于慢有n+猜1個型舌值點搶需擬緊合，叔這樣腔共有n個曲長線段剝方程聞，于選是有4n個多摧項式殼系數(shù)抬需要鳳決定劇。對于訓(xùn)每一度個內(nèi)祝點Pi兩側(cè)戀的兩探條曲挖線段寸在Pi處有繼相同強的一仍階和襯二階塌導(dǎo)數(shù)毒，且瘡兩條唱線均奧通過Pi點，梅這就越得到乒了4(問n-糠1)個方據(jù)程。特點：1.只適疾用于管型值炭點分?jǐn)R布比欣較均數(shù)勻的槳場合2.不能快“局爆部控麻制”由P0點和Pn點處愚可得南到2個方蝦程。另外帆兩個論條件性？？乞？方法1：在P0點和Pn點處設(shè)其體二階衰導(dǎo)數(shù)罷為0。方法2：增物加2個隱拘含的讓型值界點：P-1點和Pn