帶參數(shù)的分類數(shù)據(jù)的檢驗

第四講帶參數(shù)的分類數(shù)據(jù)的檢驗一、引例根據(jù)性別和色盲狀態(tài)把人分為四類：男性正常，女性正常，男性色盲，女性色盲。根據(jù)遺傳學理論，這四類人的比例分別為川2，02/2+0(1-0)，(1-9)2，(1-9)2；'2，其中0<9<1。隨機調(diào)查1000人，男性正常，女性正常，男性色盲，女性色盲這四類人各有442，514，38，6人。問調(diào)查數(shù)據(jù)是否與理論模型相符？分析：總體為所有人，按性別和色盲狀態(tài)分為四類：A—男性正1常，A—女性正常，A—男性色盲，A—女性色盲；234每類人的比率(概率)分別為：p=9/2，p=92'-2+9(1-0)=9-92'-2，p=(1-9)2=1/2-9：2，p=(1-9)2；2=1/2+92；2-9；每類人的比率p，p，p，p都依賴于未知參數(shù)9；1234根據(jù)理論或經(jīng)驗提出假設：p=p(9)，p=p(9)，p=p(9)，112233p4=p4(9)；4)做試驗獲得觀察數(shù)據(jù)H:p=0；2，p=0—02；2,p=1/2_W2，p=12+022—0若接受H，說明調(diào)查數(shù)據(jù)符合理論模型；0若拒絕H，說明調(diào)查數(shù)據(jù)不符合理論模型。0二、帶參數(shù)的分類數(shù)據(jù)檢驗問題的統(tǒng)計模型（一）問題的一般提法1、總體分布設總體根據(jù)某項指標分為n類，記為A,A，…,A，各類所占的比例12r記為p（0，…,0）,p（0….,0）….卩0…0）其中0，…,0為未知參數(shù)，11m21mr1m1m且p（0，…,0）>0，Yp（0，…,0）=1。也即總體分布為:i1mi1mi=1總體類別A1A …2? Ar比例p（0，…,0）1 1 mp（0，…,0） ?2 1 m- p（0，…,0）r 1 m2、假設檢驗根據(jù)理論，或從經(jīng)驗出發(fā)提出一個原假設TOC\o"1-5"\h\zH:p=p（0，…，0），i=1,2,…,r （*）0ii1 m其中p（0?,??0,的表達式已知，i=1,2,…,r已知，且i1 m工p（0，…,0）=1。i1 mi=13、研究內(nèi)容對該總體獨立重復觀察n個個體，記n個個體中，屬于A的觀察i個數(shù)為n，i=1,2,…,r，其中工n=n，基于觀察值n，i=1,2,…,r對原i i ii=1假設（*）進行檢驗。二）檢驗方法1、帶參數(shù)分類數(shù)據(jù)的X2檢驗（1） 在h成立時，先求未知參數(shù)0，…,0的最大似然估計0，…,001m1mH成立時，隨機向量（n,n，…,n）?M（n,p（0，…,0）,???,p（0，…,0）），012r11mr1m（n,n，…,n）的聯(lián)合分布列為：12rP（n,n，…,n;0，…,0）= ； H[p（0，…,0）]n;TOC\o"1-5"\h\z1 2 r1 mn!n!?…n! i1 m1 2 ri=1也即樣本（n,n，…,n）的似然函數(shù)為：1 2rL（0，…,0;n,n，…,n）= ? H[p（0，…,0）]?.1m1 2rn!n!…n! i1m1 2 ri=1基于似然函數(shù)求出0，…,0的最大似然估計0，…,0；1m 1 m注：具體求解方法依賴于函數(shù)p（0，…,0）的具體表達式。i1m（2） 由最大似然估計的變換不變性求出p,p,…,p的最大似然估1 2r計p=p（0,—,0）,p=p（0,—,0）,???,p=p（0，…，0）；1 11m2 21m rr1m（3）檢驗統(tǒng)計量r(n—np)2X2=Li44）統(tǒng)計量的漸進分布若H成立，當nT+8時，X2=YM_ x2（r—m—1）0 npi=1 i（5）拒絕域（給定檢驗水平?，一般取a=0.1,0.05,0.01）W={X2>X2(r—m—1)}1—a若x2eW，則在檢驗水平a下拒絕H；0

若x2EW，則在檢驗水平a下接受H；0（6）檢驗p值（給定檢驗水平a，一般取a=0.1,0.05,0.01）p=P（咒2（r一m一1）>咒2）則在檢驗水平a下拒絕H;0若p>a，則在檢驗水平a下接受H；02、似然比檢驗檢驗問題（*）的似然比Sup L（p （9，…,0 ）,p （0，…,0 ），…,p （0，…,0 ）;n,n，…,n）11m2 1m r1m1 2r0”0。，”0 m SupL（p,p，…,p;n,n，…,n）1 2r1 2rpi，“2,,人Supn[p（0，…,0）]n.i1m—0.0.一.0 ：i ~ —12m—^1Sup11pn.iPi，佇…,pri—1（1）同帶參數(shù)分類數(shù)據(jù)的x2檢驗的（1）,求出0，…,0的最大似1m然估計0，…,0；1m（2）同帶參數(shù)分類數(shù)據(jù)的咒2檢驗的（2）,求出p,p，…,p的最大TOC\o"1-5"\h\z1 2r似然估計p=p?，…,0）,p=p?）,???,p=pG，…?）；111m221m（3）Sup1[p（0，…,0）]n（.—R[p（0，…,0）]n,-—pn1p"2…pn”i1m i1m 1 2r0，0，…，0i—1 i—112…mi—1 i—1Sup1[pSup1[p（0，…,0）]n. Pipn.i1m iA—01，02，…,0mi—1 —i—1Sup1pnii片,卩2,,pri—14）檢驗統(tǒng)計量1（nnLii—1i=1In/n丿Ip(p\-21n(A)=-2乙nIn-^―i^ii vn7n丿5)統(tǒng)計量的漸進分布若H成立，當nT+8時,P iP i—5./n丿If^x2(r-m-1)-21n(A)=一2工n1nii=1(6)拒絕域(給定檢驗水平?，一般取a=0丄0.05,0.01)W={-21n(A)>x2(r—m-1)}1-a若-21n(A)eW，則在檢驗水平a下拒絕H；0若-21n(A)電W，則在檢驗水平a下接受H；0(7)檢驗p值(給定檢驗水平a，一般取a=0.1,0.05,0.01)p=P(x2(r-m-1)>-21n(A))若p<a，則在檢驗水平a下拒絕H；0若p>a，則在檢驗水平a下接受H；0三、引例分析(1)記號A—男性正常，A—女性正常，A—男性色盲，A—女性1234色盲；p=P(A)，p=P(A)，p=P(A)，p=P(A)；11223344n：正常男性人數(shù)，n：正常女性人數(shù)，n：男性色盲人

123數(shù)，n：女性色盲人數(shù)；4(2)觀察數(shù)據(jù)n=442，n=514，n=38，n=6，n=n+n+n+n=1000；123412343)原假設H：0p=0/2，p=0-02/2,P3H：0p=0/2，p=0-02/2,P3=12-0/2， P4=1/2+02；2-04)0的最大似然估計似然函數(shù)：L（0；*鈴“3-）=n!n!n!n!"［代（°加1 2 34i=11000!442!514!38!6!（0/2）442（0-02；2）14（12-0,2）38（1/2+02：2-0）對數(shù)似然函數(shù)l（0;n,n,n,n）=lnL（0;n,n,n,n）1234+442ln（0/2）+514ln（0-02『2）+38ln（12—0./2）+6ln（;2+02；2-0）1234'1000!、、442!514!38!6!丿

令dl（0;n,n,n,n）M1 2 3 4 =060=ln即442+1028（1-0） 38 12=°~^+0（2-0）-1^-1-0=整理得152002-34820+1912=0八_3482±J34822-4x1520x19120= 2X15200’=1.3779（舍去）0=0.9129（5）p,p,p,p的最大似然估計1234p=0：'2=0.4565，1?八 /\ .p2=0-02,2=0.4962，p=12-0、2=0.04355，3 ' 'p4=1/2+02,.'2-0=0.003793(6)咒2檢驗類別pnnp(n—np)2 i i npA10.4565442456.50.46057A20.4962514496.20.638533A30.043553843.550.70729A40.00379363.7931.284168合計1.00004310001000.0433.090560812參數(shù)個數(shù)m1自由度r-m-12X23.0905608p值0.2132521p值為0.2132521，表明不能拒絕H，即認為調(diào)查數(shù)據(jù)符合理論模型。07)似然比檢驗類別pinin/nIp.I2nln厶iIn/n丿lA10.45654420.4421.03280543-28.53447507A20.49625140.5140.96536965