巖土力學(xué)教案

56第四章土中應(yīng)力計算§4.1概述一、土中應(yīng)力計算的目的建筑物、構(gòu)筑物、車輛等的荷載，要通過根底或路基傳遞到土體上。在這些荷載及其它作用力〔如滲透力、地震力〕等的作用下，土中產(chǎn)生應(yīng)位移；土的變形過大時，往往會影響建筑物的安全和正常使用。此外，土土體的變形、強(qiáng)度、地基承載力、穩(wěn)定性等問題，而不管爭論上述何種問的重要內(nèi)容之一。二、土中應(yīng)力計算的方法為均質(zhì)的、連續(xù)的、各向同性的半無限空間線彈性體。事實(shí)上，土體是一其他更為符合實(shí)際的計算方法，如非線性力學(xué)理論、數(shù)值計算方法等等。三、土中一點(diǎn)的應(yīng)力在土中任取一單元體，如以以下圖所示。3〔正應(yīng)力〕重量分別為,,，六x y z個剪應(yīng)力重量分別為xy

,yx

,zy

。剪應(yīng)力的腳標(biāo)前面一個表示xz剪應(yīng)力作用面的法線方向，后一個表示剪應(yīng)力的作用方向。應(yīng)特別留意的是，在土力學(xué)中法向應(yīng)力以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)，四、土中應(yīng)力的種類自重應(yīng)力：由土體重力引起的應(yīng)力稱為自重應(yīng)力。自重應(yīng)力一般是自土形成之日起就在土中產(chǎn)生，因此也將它稱為長駐應(yīng)力。附加應(yīng)力：由于外荷載〔如建筑物荷載、車輛荷載、土中水的滲透力、地震力等〕的作用，在土中產(chǎn)生的應(yīng)力增量。土層中。為自重應(yīng)力和附加應(yīng)力之和，稱為總應(yīng)力，即總應(yīng)力＝自重應(yīng)力＋附加應(yīng)力§4.2 土中自重應(yīng)力的計算一、均質(zhì)地基自重應(yīng)力場假設(shè)1如以以下圖所示。〔2〕土質(zhì)均勻，其重度為。在地面下深度z重應(yīng)力

cz

cy

cxy

cyx

0；cyz

czy

0；

czx

cxz

0。豎向自重應(yīng)力豎向自重應(yīng)力，等于單位面積上土柱體的重力W，如上圖所示。當(dāng)?shù)鼗蔷|(zhì)土體時，在深度z處土的豎向自重應(yīng)力為： W

zF

zcz F F式中：——土的自然重度，kN/m3；W——土柱體重力，kN；F——土柱體截面積。Z示。水平自重應(yīng)力變形，而不能產(chǎn)生側(cè)向變形，即： cx cy定律，有

0，且cx

。依據(jù)廣義虎克cy1 cx E

cy

cz將側(cè)限條件代入上式，得 cx cy

1 cz令K 0 1

，稱為土的側(cè)壓力系數(shù)或靜止土壓力系數(shù)，則 K Kzcx cy 0 cz 0值有所不同，一般狀況下應(yīng)承受實(shí)測法確定該值的大小。無實(shí)測資料時，也可近似承受閱歷值，見P493－1。重應(yīng)力場的分析要針對豎向自重二、成層自重應(yīng)力的計自然地基土

應(yīng)力 。cz算—般都是成層的，而且每層的重力密度也不同，如以以下圖所示。則豎向自重應(yīng)力計算公式為： hhcz 11 2

nhnn i ii1nz范圍內(nèi)的土層總數(shù)；hii也應(yīng)作為分界面；----第i層土的重度，地下水位以下取浮重度。i i述計算出的四層土的豎向自重應(yīng)力分布如上圖所示。三、下埋不透水層時自重應(yīng)力的計算層面及層面以下自重應(yīng)力應(yīng)按上覆土層的水土總重計算，如上圖所示?！?.3 基底壓力分布及簡化計算基底壓力：根底底面與地基間的接觸壓力稱為基底壓力。大小及分布規(guī)律。一、基底壓力的實(shí)際分布規(guī)律柔性根底假設(shè)一個根底作用著均布荷載并假設(shè)根底是由很多小塊組成如以以下圖所示各小塊之間光滑而無摩擦力則這種根底即為抱負(fù)柔性根底〔即根底的抗彎剛度EI 0根底上的荷載通過小塊直接傳遞到地基土上根底隨著地基一起變形基底壓力均勻分布但根底底面的沉降則各處不同，中心大而邊緣小。土筑成的路基，可以近似地認(rèn)為路堤本身不傳遞剪力,那么它就相當(dāng)于一種柔性根底,路堤自重引起的基底壓力分布就與路堤斷面外形一樣是梯形分布，如上圖所示。剛性根底是指根底剛度大大超過地基剛度，理論與實(shí)測證明，在中心受壓時，剛性根底的接觸壓力為馬鞍形分布，如以以下圖所示。布變成鐘形。所允許的。二、基底壓力簡化計算法中心荷載作用下的基底壓力對于中心荷載作用下的矩形根底，如以以下圖a、b均勻分布，其數(shù)值可按下式計算，即pFGAp——基底〔平均〕壓力，kPa；F——上部構(gòu)造傳至根底頂面的垂直荷載，kN；G——根底自重與其臺階上的土重之和，一般取G20kN/m3計算，kN；AAlb，m2。對于條形根底〔l10b1m來計算。此時上式中的F、G代表每延米內(nèi)的相應(yīng)值，如上圖c所示。偏心荷載作用下的基底壓力單向偏心荷載作用下的矩形根底〔F＋G〕的作用，偏心距為e,如用一等代應(yīng)有一力距M(FG)ep

,maxp

。依據(jù)材料力學(xué)公式有：minp FG Mmax pmin

A WW——基底抵抗矩，W則

1bl2。6p max

FG16e pmin

A l1〕當(dāng)e<l6

min

>0,基底壓力呈梯形分布；當(dāng)e=當(dāng)e>

lP6 lP

=0,基底壓力呈三角形分布；0,也即產(chǎn)生拉應(yīng)力。6 min與土脫開，而不能傳遞荷載，基底壓力將重分布，如以以下圖所示。最大壓力用P 表示，依據(jù)靜力平衡條件有：max1P 3kbFG2P

max2(FG)2(FG)max

3kb 2

e)b定性的要求，建筑物易傾倒，造成災(zāi)難性的后果。(2〕偏心荷載作用下的條形根底〔l10bb方向的基底壓力計算，只需取l1mp FG

pmax

A 1 b minF——上部構(gòu)造傳至每延米長度根底上的垂直荷載，kN/m；G——每延米長度的根底自重與其臺階上的土重之和，取 20kN/m3計算，kN/m。G(3)雙向偏心荷載作用下的矩形根底假設(shè)矩形根底受雙向荷載作用，如以以下圖所示。則基底壓力可按下式計算p FG Mmax

M yxypmin A W Mxyp FG M M1 x yxyp2 A W Mxy式中：Wx

——基底對x軸的抵抗矩，Wx

1bl2；6W y軸的抵抗矩，Wy

1lb2。6三、基底附加壓力基底壓力減去基底處豎向自重應(yīng)力稱為基底附加壓力，即：P P0 cz

Pd0p0——基底附加壓力；p——基底壓力；d——根底埋深； ——根底埋深范圍內(nèi)土的加權(quán)平均重度，0

h i i。d生變形。只有建筑物的荷載引起的基底壓力大于基底處豎向自重應(yīng)力時，形，應(yīng)以基底附加壓力為依據(jù)?！?.4土中附加應(yīng)力的計算起來的，即假定地基土是均勻、連續(xù)、各向同性的半無限空間彈性體。但異，打算了地基土是非均質(zhì)體，也是非連續(xù)體；從宏觀構(gòu)造上看，自然地異性；試驗(yàn)結(jié)果說明，土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系也不是直線關(guān)系，而是非線性的，特別是當(dāng)應(yīng)力較大時。盡管如此，大量的工程實(shí)踐說明，當(dāng)?shù)鼗献饔玫暮奢d不大，土中塑性變形區(qū)很小時，土中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可近似為還普遍承受彈性理論。-Flamant解在半無限空間彈性體的外表，作用在一條無限長直線上的均線荷載：在半無限空間彈性體的外表，作用在一條無限長直線上的均布荷載稱為線荷載，如以以下圖所示。xozy軸平面上的應(yīng)力狀態(tài)都一樣。這種狀況的應(yīng)力解答是由Flamant1892Flamant彈性力學(xué)中的一個根本解。承受極坐標(biāo)時，F(xiàn)lamant解為 2q cos2 r z 0 r

0r假設(shè)承受直角坐標(biāo)系，可依據(jù)彈性力學(xué)中的坐標(biāo)變換公式，即 2q cos2 sin2 cos4z r r z 2q x

sin2

cos2r

cos2sin2qzq

sin2 cos3sinxz zx 2

r r z。由zx2z2x2z2

，代入上式，可得 2q

2

2 qz z

1x/z2 zx2z2 令 2 1 2l1x/z2 則 qz lz式中：zl

——地基中某點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力；——線荷載作用下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)；q——線荷載集度；z——計算點(diǎn)至地表的垂直深度。l

代入上式計算出。z-Boussinesq解在半無限空間彈性體的外表，作用一豎向集中力，如以以下圖所示。J.V.Boussinesq1885Boussinesq解，是彈性力學(xué)中的另一個根本解。承受極坐標(biāo)時，Boussinesq 3Q cos5Q z Q z1 2 3sin2cos3

cos2 r

1cos Q

cos2

cos3

1cos 3Qrz

sincos4 0r rz

0z式中：

——豎向附加應(yīng)力；z——徑向附加應(yīng)力；r——切向附加應(yīng)力；rz、z、r——附加剪應(yīng)力；Q——豎向集中力；——泊松比。z代入上式，可得

由上圖可見，cosz z ，rr2z2 3Q3Q3Qz5r2z2 25

z5 R3 Q31r/z25/2 z2令 3 Q 1r/z25/2則 Qz z2式中：Q

——集中荷載作用下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)；z——計算點(diǎn)至地表的垂直深度。在工程實(shí)踐中，是沒有集中力的，均為分布荷載。但當(dāng)計算點(diǎn)的r值據(jù)計算點(diǎn)的rz

值或依據(jù)r/z3－2得Q

上式計算出。z三、條形根底均布荷載作用下地基中的附加應(yīng)力〔很大，如l/b10時〕受中心荷載作用時，基底附加壓力可近似認(rèn)為均勻分布，即為均布條形荷載。均布條形荷載如以以下圖所示。y軸各xoz平面內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)就可以了。極坐標(biāo)系下 2q cos4z zzq線荷載下， q

2cos2sin2 x z 2q cos3sinxz zx zM點(diǎn)到荷載邊緣的連線與豎直線間的夾角分別為1和2，其正負(fù)號規(guī)定是，從豎直線MN到連線逆時針轉(zhuǎn)時為正，反之為負(fù)。在以以下圖中的1和2均為正值。取微單元dx

Rd qp

dx

pRd

pzd00cos 0 cos cos200代替，利用Flamant解，則該線荷載在M點(diǎn)引起的附加應(yīng)力為d z

2pcos2d00則2p1＝ 0 cos2p11 2Z z 2 2p0 1

cos2

sin2

20 psincos0，計算點(diǎn)與條形荷載兩端線的夾角；1 2，計算點(diǎn)到荷載邊緣的連線與豎直線間夾角之和。1 2同理，可得0 p0

sincosx xz zx

0sinsinp依據(jù)材料力學(xué)的有關(guān)公式，M點(diǎn)的主應(yīng)力為p

p 13

z x2

sinzz2x22xz02z則

＝tanx 1 22 2的作用方1向正好在視角相等的所示。pp

max

12

3

0sin(max

)max

p00.318p0發(fā)生在以條形根底寬度為直徑的半圓上。直角坐標(biāo)系下豎向附加應(yīng)力計算假設(shè)承受直角坐標(biāo)系，如以以下圖所示。d，其上的荷載用線荷載qp0

dFlamant〔z

z

4M點(diǎn)引起的附加應(yīng)力為：2pd 0z z

cos4

d2p

0z20

z3

2則0 2p0

b2

z3 z b2

pt 0

22式中：t

——條形均布荷載作用下豎向附加應(yīng)力系數(shù)，查P603－5。 1 1) tn=x/b；

arctan

arctan2m

4m2

16m2應(yīng)力在地基外表作用三角形分布條形荷載，其最大值為pm

。假設(shè)計算土中任意點(diǎn)Mx,y的豎向附加應(yīng)力 建立直角坐標(biāo)系如以以下圖所示坐標(biāo)原點(diǎn)z在三角形荷載的零點(diǎn)處。取微單元d，其上的荷載用線荷載qbM點(diǎn)引起的附加應(yīng)力為

p d代替，利用FlamantFlamant公2p zd mcos4d m dz bz b z2x22則 2pmb

dz b 0

z2x22 ps 0式中：s

——三角形分布條形荷載作用下豎向附加應(yīng)力系數(shù)，查P623－6。 1 n n1 m(n1)snarctanmarctanm n=x/b；

m=z/b。學(xué)中的疊加原理通過求和的方法計算總的附加應(yīng)力。五、均布矩形荷載作用下地基中的附加應(yīng)力計算點(diǎn)位于角點(diǎn)下時l，寬度為b，其上作用著均勻分布荷載p，如下0圖所示。求矩形荷載角承受雙重積分的方法來求其準(zhǔn)確解。

點(diǎn)下z深度處的 ，zzz3Qcos53Qr2z3z252Qx2z3y2z252在基底面積上取微面積單元dAdxdy，其上的均布荷載用一集中力dQp

dxdyM點(diǎn)處引起的豎向附加應(yīng)力為：0x2y2x2y2z252 z 2

z3 dxdy則3p 0z 2

0

b2z3y2z252pc0

dxdy式中：——均布矩形荷載角點(diǎn)下豎向附加應(yīng)力系數(shù)，查P643－8。cm1m2m1m2n21m2n200

mn

1 1 c

arctg

2

m2n2

nl/b；m=z/b；計算點(diǎn)不位于角點(diǎn)下時-角點(diǎn)法值得特別指出的是，是均布矩形荷載角點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)，c時，應(yīng)怎樣計算附加應(yīng)力呢？M在基底平面的垂直投影點(diǎn)為M。M點(diǎn)位于荷載邊緣時 z (Mbe) (Mcf) 0M點(diǎn)位于荷載面內(nèi)時 z (Mbe) (Mcf) (Mah) (Mdg) 0M點(diǎn)位于荷載邊緣外側(cè)時 z (Mbe) (Mcf) (Mag) (Mdf) 0M點(diǎn)位于荷載角點(diǎn)外側(cè)時 z (Mbe) (Mce) (Mag) (Mdg) 0承受角點(diǎn)法時，應(yīng)特別留意：①劃分的每一個矩形都要有一個角點(diǎn)是M①劃分的每一個矩形都要有一個角點(diǎn)是M點(diǎn)；②全部劃分的矩形面積總和應(yīng)等于原受荷面積；bl表示。六、矩形基底在三角形分布垂直荷載作用下地基中的附加應(yīng)力77角形荷載，并利用疊加原理進(jìn)展計算。77均布矩形荷載作用下地基中附加應(yīng)力的計算如上所述，下面講三角形荷載作用下的基底尺寸及荷載分布如以以下圖所示，坐標(biāo)pt0的角點(diǎn)。在基底面積上取微面積單元dAdxdy，其上的分布荷91載用一集中力dQ豎向附加應(yīng)力為

xpdxdyM點(diǎn)處引起的bt d z 2b

z3x

dxdyxx2y2z252t 3ptz 2bmn

lb2z3xy2z2521

dxdy11m2 1m2m2n2p

n2

t

psc0P68sc3－9。nl/b；m=z/b；應(yīng)特別指出的是，公式〔3－35〕計算的附加應(yīng)力是荷載強(qiáng)度為零的zp的角點(diǎn)下t的豎向附加應(yīng)力，則可利用應(yīng)力疊加原理來計算，如以以下圖所示。對于求三角形分布荷載下任意點(diǎn)附加應(yīng)力的計算，仍可承受角點(diǎn)法。GG點(diǎn)把矩形受荷面積劃分為4個小塊組成的面積〔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、ⅣG點(diǎn)的荷載強(qiáng)度，即bp 1 pG bb t1 2首先假定有pG

大小的均布荷載作用在整個矩形面積上，則不難用角GEFJ三G點(diǎn)位于荷載強(qiáng)度為零的角點(diǎn)上，附加應(yīng)力可求。FI則 zG z

式中：——均布矩形荷載pz

G點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力；

——Ⅰ、Ⅱ兩塊面積在三角形荷載〔EJF〕作用下G點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力。七、均布圓形荷載作用下地基中的附加應(yīng)力用下，基底附加壓力簡化為均勻分布。a，如以以下圖所示，其上作用均布荷載，并將柱坐標(biāo)的原點(diǎn)放在圓心位置。

3Qz

z5R R 在基底面積上取微面積單元dA rdrd其上的分布荷載用一集中力dQ

rdrd來代替，并以R0

rlcosz21代入上式，則該2集中力在任意點(diǎn)M(l,,z)處引起的豎向附加應(yīng)力為2p3pd 0z 2

z3r

drdrr2l22rlcosz2523p 0

a z3

drdr2l2r2l22rlcosz2 25py 0式中——均布圓形荷載任意點(diǎn)下豎向附加應(yīng)力系數(shù)查P71表3－12。ya——圓形基底的半徑；l——計算點(diǎn)到原點(diǎn)的水平距離。特別地，對于圓心下〔l0〕深度z處有3p 0z 2

0 0

drd11a2/z2321－令

rr2z252z3rp01a2/z2321 0

，稱為均布圓形荷載中心點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力系則 pz 0 0z——計算點(diǎn)至地表的垂直深度；a——圓形基底的半徑。形分布垂直地基中的附

基底在三角荷載作用下加應(yīng)力對于圓周上壓力為零的點(diǎn)〔點(diǎn)1〕下z深度〔點(diǎn)M〕處的 ，可由1 下式求得，即pt

pt——三角形分布垂直荷載的最大值，kPa；——三角形分布圓形荷載作用下圓周上壓力為零點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)，查P733－14。對于圓周上壓力為p的〔點(diǎn)2〕下z深〔點(diǎn)M處的 的計算，t 2 z(2)也有類似的關(guān)系式，即

pz(2) sy(2) t——三角形分布圓形荷載作用下圓周上最大壓力值點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)，查P733－14。九、不規(guī)章面積上均布荷載作用下地基中的附加應(yīng)力紐馬克感應(yīng)圖的原理由式

p〔

1－

，可以求得a與豎向附加應(yīng)力系z 0 0 0 3 z0a/z 10a/z0附表0.10.20.30附表0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.2680.4000.5180.6370.7660.9181.1101.3871.908

/z2 2紐馬克感應(yīng)圖由9個同心圓和20條通過圓心均勻分布的放射線組成，如以以下圖所示。依據(jù)上表中的 數(shù)據(jù)，這9個同心圓的半徑a〔i1,2,,9分別為：a0.268z，a

0.518z……。i 1 2 3則由第一個圓〔半徑為a1

〕p0

OZ深度處所引0.1p；其次個圓〔a〕p在同0 2 00.2p；依此類推，荷載面積每擴(kuò)大到另一個0OZ深度處所引起的豎向附加應(yīng)力便增加0.1p，0pOZ深度處所引起的豎向附0加應(yīng)力均為0.1p。通過圓心O20根均布射線，把每個環(huán)形面積劃分020個面積相等的小塊，即感應(yīng)面積。明顯，每小塊感應(yīng)面積上的均布p在圓心O點(diǎn)下Z深度處所引起的豎向附加應(yīng)力為0.1p/200.005p。0 0 0pDZ處的附加應(yīng)0中心，并數(shù)出感應(yīng)面積的個數(shù)〔非整塊數(shù)目可憑肉眼估量，則所求點(diǎn)處的豎向附加應(yīng)力為

0.005pNz 0N——感應(yīng)面積的個數(shù)；p——均布荷載強(qiáng)度。0紐馬克感應(yīng)圖的用法應(yīng)用紐馬克感應(yīng)圖時，具體步驟如下：選定比例尺；分別以半徑a分別以半徑a0.268z，1aa20.400z，a30.518z……9O20根均布射線，制成紐馬克感應(yīng)圖；在透亮紙上，按上述一樣的比例尺，繪出建筑物根底基底平面圖；將該透亮紙蓋在感應(yīng)圖上，使待求點(diǎn)D對準(zhǔn)感應(yīng)圖的圓心，數(shù)估算出待求點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力。用于基底附加壓力均勻分布的狀況。十、等代荷載法集中荷載下3Q Q z

cos5

Qz2其中 3 1Q 2

r2521z 等代荷載法的原理是將荷載面積分成很多小塊〔稱為單元，將每個單元上的分布荷載近似地用一個作用在單元形心上的集中力來代替再利用Boussinesq解及疊加原理求出地基中的 ，如以以下圖所示。z對于第i單 元，其上作用的分布荷載用一集中力Qi

代替，并確定第iM點(diǎn)的水平距離r。i依據(jù)r

/z的值，按式

3 1 3－2可得

，則第i單i

2

r252 Qi1iz

元上的集中力Qi

M點(diǎn)引起的豎向附加應(yīng)力為 zi Qiz2M點(diǎn)總的豎向附加應(yīng)力為 nz i1

1nz2i1

QQi i等代荷載法是一種近似計算方法，其計算精度取決于單元劃分的多少。單元劃分的數(shù)目越多，每個單元面積就越小，其計算精度就越高。機(jī)計算以提高計算精度。對于任意面積、任意分布荷載均適用?！?.5其他條件下地基中應(yīng)力的計算〔自學(xué)〕§4.6有效應(yīng)力原理一、土中兩種應(yīng)力試驗(yàn)置一層性質(zhì)完全一樣的松散砂土。頂面下降，說明松砂發(fā)生壓縮，亦即砂土的孔隙比e減小。乙量筒松砂頂面不加鋼球，而是留神緩慢地注水，在砂面以上高h(yuǎn)處正好使砂層外表也增加未發(fā)生壓縮，亦即砂土的孔隙比e不變。這種狀況類似于在量筒內(nèi)放一塊飽水的棉花，無論向量筒內(nèi)倒多少水也不能使棉花發(fā)生壓縮一樣。上述甲、乙兩個量筒底部松砂都作用了的壓力，但產(chǎn)生了兩種不同的效果，反映出土體中存在兩種不同性質(zhì)的應(yīng)力：①由鋼球施加的應(yīng)力，來表示；②由水施加的應(yīng)力通過孔隙中水來傳遞稱為孔隙水壓力，用u來表示。這種孔隙水壓力不能使土層發(fā)生壓縮變形。二、有效應(yīng)力原理在土體中某點(diǎn)截取一水平截面，其面積為A，截面上作用應(yīng)力，為總應(yīng)力。aa 截面是沿著土顆粒間接觸面截取的曲線狀截面，